Нестандартные методы решения заданий при подготовке к ЕГЭ

Нестандартные методы решения заданий при
подготовке к ЕГЭ
Учителя математики высшей категории МОУ «Лицей №2» г.Чебоксары
Илларионова Марина Протольевна и Сатеева Анна Ивановна
В настоящее время в процессе обучения в школе делается акцент не на передачу
готовых знаний, а на вооружение учащихся различными умениями, как общеучебными, так и
предметными. Работа по совершенствованию и обновлению содержания математического
образования в инженерном и экономическом классах направлена, прежде всего, на
углубление и расширение знаний учащихся в области математики; формирование у них
познавательной активности, творческой инициативы, самостоятельности суждений, т.е.
личностных компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и
групповой исследовательской деятельности, а также обеспечивающих успех в любой сфере
деятельности, в том числе и учебной. Важным направлением работы является подготовка
учащихся профильных классов к единому государственному экзамену и к вступительным
экзаменам в высшие учебные заведения. В последние годы появилась необходимость
уделять большое внимание успешному решению заданий С3 и С5 при подготовке к единому
государственному экзамену. Понятно, что с каждым годом задания части С становятся всё
сложнее и сложнее. И гадать, что нас ожидает в следующем году, нет смысла.
В связи с этим нашей основной целью является поиск эффективных средств и методов
организации учебного процесса при подготовке учащихся к единому государственному
экзамену и к конкурсным экзаменам в вузы, в частности изучение и освоение
нестандартных методов решения уравнений и неравенств части С единого
государственного экзамена и вступительных заданий в МГУ.
Задачи, которые мы поставили перед собой:
• сформировать навыки использования нетрадиционных методов решения уравнений и
неравенств;
• развивать умения самостоятельно приобретать и применять знания;
• сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету для дальнейшей
самостоятельной деятельности при подготовке к ЕГЭ и к конкурсным экзаменам в вузы;
Формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы. Основой проведения занятий
может служить технология деятельностного метода, которая обеспечивает системное
включение ребенка в процесс самостоятельного построения им нового знания и позволяет
учителю проводить разноуровневое обучение. Занятия должны носить проблемный
характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют
задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется
обсуждение результатов этой работы.
Так как в профильных классах учащиеся ориентированы на выполнение заданий более
высокого уровня сложности, то им предлагается:

самостоятельное изучение некоторых вопросов курса с последующей презентацией
(программные продукты Microsoft Power Point);

самостоятельное решение предложенных задач с последующим разбором вариантов
решений;

самостоятельное построение изучения метода, позволяющего решить предложенную
задачу;

самостоятельный подбор задач на изучаемый метод из дополнительной
математической литературы.
При повторении и обобщении материала в 11 классе мы уделили особое внимание таким
нестандартным методам, как:
1) метод областей,
2) метод тригонометрических подстановок,
3) метод замены множителей,
4) нестандартная техника решений неравенств с модулем,
5) метод мажорант.
На данный момент имеются разработанные нами и учениками презентации по данным
нестандартным методам.
В результате изучения нестандартных методов решения заданий при подготовке к ЕГЭ и к
вступительным экзаменам в ВУЗы
выпускники получили возможность существенно
сэкономить время на ЕГЭ и вступительных экзаменах, столь необходимое для решения
задач повышенной сложности. И в итоге это позволило старшеклассникам, учитывая их
интересы и профессиональные склонности, получить более высокий конечный результат.
Результаты ЕГЭ:
2009-2010 уч.г. – средний балл 64,4;
2010-2011 уч.г. – средний балл 72.
Результаты вступительных экзаменов в МГУ на мехмат:
2010 год – около 90 баллов;
2011 год – 100 баллов.
Положительная динамика очевидна. Поэтому всем коллегам, работающим в выпускных
классах, рекомендуем воспользоваться данным материалом. Надеемся, что он будет вам
полезен.
Приложения.
1. Применение тригонометрических подстановок.
2. Метод замены множителей (опорный конспект для учеников)
3. Конспект урока по теме: Решение уравнений и неравенств методом мажорант.
4. Презентации по методам:
 универсальная тригонометрическая подстановка;
 метод областей;
 метод трёх точек;
 метод мажорант.
Урок по алгебре и началам анализа в 11-м классе
"Решение уравнений и неравенств методом мажорант"
(II полугодие, 2 часа)
Задачи урока:
Образовательная:
 решение уравнений и неравенств, содержащих рациональные, иррациональные,
тригонометрические, логарифмические и показательные функции, в сходных и измененных
ситуациях, используя метод мажорант;
 провести актуализацию опорных знаний;

свойства функций
непрерывность, монотонность, возрастание и убывание,
ограниченность);
 производные функций, производная сложной функции;
 алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции с помощью
производной;
 понятие мажоранты функции;
 опорные неравенства;
 алгоритм метода мажорант.
провести актуализацию умений:
 грамотно использовать свойства функций для нахождения метода мажорант;
 находить производные функций, производную сложной функции;
 находить наибольшее и наименьшее значение функции с помощью производной;
 находить мажоранты функций;
 грамотно использовать опорные неравенства для нахождения мажорант;
 применять алгоритм метода мажорант.
Развивающая: формирование мыслительных операций (анализ, рефлексия, проектирование);
Воспитательная: воспитание у учащихся математической культуры при решении задач.
Ценность урока, прежде всего, в том, что материалы ЕГЭ содержат большое количество заданий, в
которых требуются умения находить мажоранты функций, а также решать уравнения и неравенства
методом мажорант.
Оборудование: Мультимедийная аппаратура.
ХОД УРОКА
Приглашаются 3 учащихся для работы у доски.
I. В это время на экране высвечивается теоретический материал по данной теме (см.
приложение).
Обсуждаются вопросы:
 уравнения и неравенства, решаемые методом мажорант;
 определение мажоранты функции;
 алгоритм метода мажорант;
 опорные неравенства.
II. Устная работа.
Определить мажоранты (если они существуют) и область значений функций:
1)
2)
3)
(опорное неравенство).
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Применим опорное неравенство
если
если
то
и
то
III. Проверка выполненных на доске заданий.
1 учащийся.
Найти мажоранту для функции
с помощью опорного неравенства.
Решение
Используем опорное неравенство
Мажорантой является любое число, большее или равное 12.
2 учащийся.
Найти мажоранту для функции
Решение.
с помощью производной.
Непрерывная на R функция имеет единственный экстремум и он минимум, значит, это наименьшее
значение функции.
Учитель. Сравнить нахождение мажоранты для одной и той же функции разными способами.
Преимущество какого способа очевидно? Почему же для нас все-таки важно уметь находить
мажоранту с помощью производной?
3 учащийся.
Найти мажоранту для функции
используя свойства
Решение.
Функция
убывающая,
следовательно,
Мажорантой является любое число, меньшее или равное -2.
III. Решение упражнений у доски.
1. Найти мажоранту для функции
с помощью производной.
Решение.
т.к.
Найдем критические точки
при любом значении
Так как непрерывная на
функция имеет единственный экстремум и он максимум, то это
наибольшее значение функции.
2 учащийся.
Решить неравенство
(1)
Решение.
Функция
возрастающая,
значит,
Неравенство (1) равносильно системе:
1 – решение системы, следовательно, и неравенства (1).
Ответ: 1.
Вопросы учителя.
1. Если бы система была несовместна?
Ответ: нет решений.
2. Если было бы неравенство
Ответ: решений нет.
Ответ: R.
Ответ:
3 учащийся.
Решить уравнение.
(1).
Решение.
Оценим левую часть уравнения.
Квадратный трехчлен
наименьшее значение принимает при
- наименьшее значение квадратного трехчлена.
Функция
возрастает на промежутке [-1;1],
значит,
Оценим правую часть
(опорное неравенство
Уравнение (1) равносильно система
).
- корень 1 уравнения системы,
- верное равенство,
- решение системы, а значит, и уравнения (1).
Ответ:
.
IV. Самостоятельная работа.
1. Решить уравнение, используя свойства функций и опорные неравенства:
I вариант
II вариант
(1)
(1)
Решение
- функция возрастающая,
значит,
Функция
- возрастающая,
значит,
Уравнение (1) равносильно системе
Уравнение (1) равносильно системе
0 – корень уравнения (1).
0 – корень уравнения (1).
Ответ: 0.
Ответ: 0.
2. С помощью производной найти мажоранту функции.
Решение.
- критическая точка.
- критическая точка.
На экране высвечивается верное решение самостоятельной работы. Учащиеся осуществляют
самоконтроль и самооценку выполненной работы с самостоятельным определением для себя
программы регулирования и коррекции знаний по допущенным ошибкам (в рабочей тетради).
Листы с самостоятельными работами сдаются учителю.
V. Итог урока.
Домашнее задание.
1)
2)
3)
4)
5)
ПРИЛОЖЕНИЕ
Тема урока. Метод мажорант.
Основные теоретические положения.
1. Мажорантой данной функции
на заданном промежутке называется такое число М, что
либо
для всех х из данного промежутка, либо
для всех х из данного промежутка.
2. Основная идея метода мажорант состоит в следующем. Пусть мы имеем уравнение
(1), и существует такое М, что для любого х из ООУ имеем
наоборот). Тогда уравнение (1) равносильно системе
3. Опорные неравенства.
1. а)
б)
2.
3.
при
при
при
равенство при
равенство достигается при
равенство достигается при
и
(или