Средние величины

Методическая разработка Матвеевой Елизаветы Денисовны, учителя математики высшей
категории МОУ «СОШ № 20» г. Новочебоксарска.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ......................................................................................................................................... 3
Средние величины. Классические неравенства .......................................................................... 6
Обобщение ................................................................................................................................... 11
Использованная литература ....................................................................................................... 14
Введение
Вопрос о средних величинах исключительно важен в целом ряде вопросов
прикладного характера: в статистике, экономике, теории вероятностей, теории
приближённых вычислений, физике и т.д. Например, пусть произведено n измерений
одной и той же величины. Условия опыта сохранялись по возможности неизменными.
Несмотря на это, получено, вообще говоря, n разных чисел: а1, а2, …, аn. (1)
Можно почти с уверенностью сказать, что среди этих чисел найдутся как большие,
так и меньшие истинной величины, которую мы не знаем. Обычно вместо истинного
значения величины мы принимаем число, не большее наибольшего из полученных чисел и
не меньше наименьшего из них. Такое число называется средним чисел ai. Если min(a)наименьшее из чисел (1), а max(a)- наибольшее из них, то среднее М есть число из
сегмента min(a) ;max(a).
Рассмотрим некоторые положения относительно средних величин:
а2
а
а
а  а2  ...  аn
Дробь 1
,… n ,
 h является средней дробей 1 ,
b1  b2  ...  bn
b1
bn
b2
если все b1 одного знака.
Имеем: min
(
а
а
а
)  i  max ( ); (i = 1, 2, …, n). (2)
b
b
bi
Требуется доказать, что min
а
а
( )  h  max ( ).
b
b
Предположим сначала, что все bi положительны. Тогда из (2)
а
а
bi · min ( )  a1  bi · max ( ).Суммируем по всем i, найдем:
b
b
(b1+b2+…+bn) · min (
а
)  a1+a2+…+an
b
 (b1+b2+…+ bn) · max ( а ),
и, деля на положительное число b1+b2+…+ bn, получим min
b
а
а
( )  h  max ( ).
b
b
Если все bi отрицательны, то проводим те же рассуждения, лишь в некоторых местах
придется изменить все знаки неравенств на обратные.
a1  a 2  ...  a n
= А = М1(а)
n
называется средним арифметическим чисел а1, а2, …, аn.
Среднее арифметическое М1 есть среднее, т.е. М1(а)=М (а).
a) Выражение
Действительно, дробь (1.1) при b1=b2=…=bn=1 и будет средним арифметическим чисел
2
а1
а2
=а1,
=а2,
1
1
…,
аn
=аn .
1
Со средним арифметическим мы не раз встречались в курсе элементарной математики.
Например, любой член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому
двух его соседних, абсцисса середины отрезка равна среднему арифметическому абсцисс
его концов.
б) Выражение G(a) = n a1 a 2 ...a n ,
где все аi положительны, называется средним
геометрическим чисел а1, а2, …, аn.
Среднее геометрическое есть среднее, т.е. G(a)=M(a).
В самом деле, возьмем логарифмы чисел G(a)= n а1а2 ...аn ,
а1, а2, …, аn
По произвольному основанию b>0. Получим соответственно
1
(lg a1+ lg a2 + … + lg an), lg a1, lg a2 , … , lg an.
n
Применим к последним n числам формулу
n
 ai =n · M1(a). Получим:
i 1
1
(lg a1+ lg a2 + … + lg an)=М (lg ai), где М (lg ai)- среднее чисел lg a1, lg a2,…, lg an .
n
n
Вспомнив формулы: Х lg ху=у и X lgx y1 lgx y2 ... lgx yn  y1 y 2 ... y n   yi   yi , известные из
i 1
курса средней школы, получим:
1
G(a)  n a1a2 ...an  n b lg a1 lg a2 ...lg an  b n
(lg a1 lg a2 ... lg an )
 b м(lg a1 )  b lg м( а )  М (а).
Теорема доказана.
Среднее геометрическое неоднократно встречается в курсе средней школы. Например,
любой член геометрической прогрессии, члены которой положительны, равен среднему
геометрическому двух соседних. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на
гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы. Катет есть средний
пропорциональный между гипотенузой и соответствующим отрезком гипотенузы.
в) Выражение
H = M-1(a) =
n
1/a1 + 1/a2 + … + 1/an
называется средним гармоническим чисел a1, a2, …, an.
Среднее гармоническое чисел а1,а2,…аn является средним, т.е.
min( a)  H  max( a) .
Доказательство теоремы простое, если заметить, что среднее арифметическое чисел,
обратных числам а1, а2, …, аn, и есть число, обратное среднему гармоническому, т.е.
3
1 1 1
1 1
1 1
1
   ...    . Следовательно, min     max  .
n  a1 a2
an  H
a H
a
1
1
1
1
, max   
Принимая во внимание равенства: min   
(при возрастании
 a  max( a)
 a  min( a)
знаменателя дроби, числитель и знаменатель которой положительны, дробь уменьшается
и наоборот), получим:
1
1
1
 
, т.е. max( a)  H  min( a), что и требовалось
max( a) H min( a)
доказать.
С средним гармоническим мы встречаемся в арифметике, например, при изучении
обратных пропорций, в геометрии, например, в теореме, что треть радиуса r круга,
вписанного в треугольник, равна среднему гармоническому радиусов r1, r2, r3, внешне
вписанных в треугольник, т.е.
1 1 1 1
= = = , и ещё в ряде вопросов курса элементарной
r r1 r2 r3
математики.
г) Выражение M 2 
a12  a22  ...  an2
n
называется средним квадратичным чисел a1, a2, …, an.
Среднее квадратичное М2 чисел а1, а2,…, аn является средним их абсолютных величин, т.е.
средним чисел а1 , а2 ,…, аn , или сокращённо: М2=М  a  .
В самом деле, пусть min a - наименьшая, а max a - наибольшая из абсолютных величин
данных чисел, т.е. min a  ak  max a . Отсюда имеем: min a   a k
2
2
 max a  , т.е.
2
квадрат числа, имеющего наименьшую абсолютную величину, будет наименьшим, а
квадрат числа, имеющего наибольшую абсолютную величину, будет наибольшим чисел
а12 , а 22 ,..., а n2 . Применив к этим числа теорему о том, что среднее арифметическое является
 
средним, получим: min a 2 
min a 
2

a12  a 22  ...  a n2
 max a 2 , или
n
 
a12  a 22  ...  a n2
2
 max a  . Извлекая квадратный корень из последних
n
неравенств, получим: min a 
a12  a 22  ...  a n2
 max a или min a  M 2  max a , что и
n
требовалось доказать.
Среднее квадратичное используют в теории вероятностей, статистике для того, чтобы
придать большее значение большим погрешностям.
4
Средние величины. Классические неравенства
Главным (и по сути, единственным) неравенством в области действительных чисел
является неравенство х2  0-его верность сомнений не вызывает. Из него уже следуют
другие, очень известные и употребительные неравенства, первым из которых, безусловно,
является неравенство Коши или, как его ещё называют, неравенство о средних:
ab
 ab для любых a, b  0
2
Доказывается оно очень просто: a  b  2 ab
Поскольку a + b  0, а - b 0, значит неравенство можно возводить в квадрат:
(a + b)2  4ab, a2 + 2ab + b2  4ab, a2 + 2ab + b2 –4ab  0, a2 – 2ab + b2  0
(a – b)2  0
Таким образом, полученное неравенство верно для любых a, b, и в том числе при
положительных.
Итак, исходное неравенство верно для любых a, b  0.
Существуют различные геометрические интерпретации доказанного неравенства.
Рассмотрим одну из них:
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC (угол С-прямой), где CD-высота, COрадиус описанной окружности (см. рис).
Обозначим AD= a, BD= b, СD= h, CO= r. Поскольку в прямоугольном треугольнике
h2 =ab, то h  ab
Так как r – радиус описанной окружности, то по свойству прямоугольного треугольника
ab
имеем: r 
.
2
Понятно, что r  h, притом данные отрезки совпадают, если треугольник ABCab
 ab
равнобедренный. Таким образом, неравенство доказано:
2
Среднее гармоническое двух положительных чисел a и b равно отношению удвоенного
произведения этих чисел к их сумме.
Если среднее гармоническое положительных чисел a и b обозначить буквой h, то
2ab
1 1 a 1 b
можно записать: h 
или 
ab
h
2
Из такой записи видно, что величина, обратная среднему гармоническому a и b, есть
среднее арифметическое величин, обратных a и b.
2ab
;
Докажем, что ab 
ab
2
aba  b   4a 2 b 2
4a 2 b 2
4a 2 b 2
ab a 2  2ab  b 2  4a 2 b 2

0
;
ab 
;
ab


0
;
 0;
a  b 2
a  b 2
a  b2
a  b 2

aba  b 
2
a  b 2
 0;
Итак, данное неравенство верно для положительных чисел a и b.

5
ab

2
2ab
;
ab
2ab
ab
 ab 
Следственно имеет место неравенство:
.
ab
2
Ещё в математике используется понятие среднего
Заметим,
ab и
ab 
квадратичного:
положительных чисел a и b среднее квадратичное равно
для
двух
a b
.
2
2
2
a 2  b 2 a  b a 2  b 2 a  b 

;
Покажем, что
;

2
4
2
2
2
2a 2  b 2   a  b   0; 2a 2  2b 2  a 2  2ab  b 2  0; a 2  2ab  b 2  0;
2
a  b 2  0;
Итак, для любых положительных a и b всегда будет выполняться неравенство:
a2  b2 a  b

2
2
Таким образом, все приведённые средние значения связаны неравенствами:
2ab
ab
a2  b2
для любых a, b > 0
 ab 

ab
2
2
При этом, знак равенства достигается лишь в том случае, когда a=b.
Геометрическую интерпретацию о средних положим на трапецию:
Пусть дана трапеция с основаниями a и b.
1.По теореме о средней линии трапеции отрезок MN, параллельный основаниям и
соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен среднему арифметическому
ab
оснований: MN 
2
2.Отрезок KF, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям,
2ab
равен среднему гармоническому оснований: KF 
ab
6
Докажем данное свойство:
Пусть дана равнобедренная трапеция АВСD, где О-точка пересечения диагоналей. На
сторонах АВ и СD соответственно взяты точки K,F так, что отрезок KF проходит через
точку О и параллелен основаниям трапеции. Пусть KO= x.
Проведём дополнительное построение: на продолжении стороны AD отложим отрезок DN
так, что DN=BC.
Рассмотрим треугольники АОD и ACN. Они подобны по 2-ум углам. Из подобия следует
AO
b

пропорция:
.Треугольники ABC и AKO также подобны (по 2-ум углам). Из
AC a  b
x AO
последнего следует пропорция: 
.
a AC
x
b
ab

Из полученных равенств следует:
,т.е. x 
.Поскольку трапеция
a ab
ab
равнобедренная, то KO=ON, т.е.
3.Если в трапеции провести отрезок, разбивающий её на две равновеликие трапеции, то
этот отрезок есть среднее квадратичное оснований: EF 
a2  b2
2
Докажем это свойство.
Обозначим AE= p, ED = q, EF= x, h1 и h2-высоты равновеликих трапеций. По формуле
h1 x  b
h1 a  x  h2 b  x 
ha  b 
S тр 
имеем
(3).Из подобия

;

; отсюда
2
h2 x  a
2
2
h
p ax
треугольников AEE1 и ЕDD1 следует: 1  
; (4).
h2 q x  b
a x xb

;
Приравнивая правые части равенств (3) и (4) имеем:
xb a x
x2 – b2 = a2 + x2.
a2  b2
Итак, получаем x 
2
4. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, является
средним геометрическим (чисел a и b) оснований трапеции.
7
Докажем, что h2=ab, т.е. h  ab .
ab
a
b
a b ab
AM 
;
, AN  AK  ; BN  BE  ; AB   
2
2
2
2 2
2
a  b 2  a  b 2 ; т.е. BM  ab ;
По теореме Пифагора BM 
4
4
2ab
ab
a2  b2
,для любых a, b > 0
 ab 

ab
2
2
следовательно в трапеции среднее геометрическое оснований трапеции расположено
следующим образом:
Из доказанного ранее
где m-среднее гармоническое основание;
n-среднее геометрическое;
p-среднее арифметическое;
q- среднее квадратичное.
Следует отметить, что при различных значениях a и b последовательность этого
расположения не меняется.
Применение рассмотренные мною неравенства находят в следующем:
-Неравенства в математической статистике и экономике. Задачи на оптимизацию.
-Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных
неравенств.
Для примера рассмотрим задачу:
Две стенки ящика, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда и объём 1 м 3,
изготовляются из одного материала, а четыре другие - из материала, который стоит в
8 раз меньше. При каких размерах x, y, z ящика стоимость материалов, нужных для его
изготовления, минимальна?
Решение:
3
Пусть стоимость 1 м второго материала равна p рублей. По условию, xyz=1.
Возможны 2 случая: либо стенки, изготовленные из первого материала, - смежные, либо нет. В первом случае стоимость материалов равна
9 9 2
S1  8 pxy  yz   pxy  yz  2 xz  pxyz   ;
z x y
8 1 1
8 1 1
во втором – S 2  8 p 2 xy  p2 xy  2 yz   2 pxyz     2 p   ;
 z y x
 z y x
abc
 abc
Применим неравенство
3
между средним арифметическим и средним геометрическим к этим выражениям.
Получим
S1  9 6 p и S 2  12 p . Легко видеть, что 9 6 p > 12p. Стоимость S2 будет минимальна
тогда и только тогда, когда минимальной будет сумма
8 1 1
  , а это последнее условие будет выполнено в том и только в том случае, когда
z y x
8
8 1 1
8 1 1
  примет значение 3 * * ;
z y x
z y x
8 1 1
  .
z y x
Поскольку xyz = 1, отсюда следует, что x = y = 0,5; z = 4.
Таким образом, стенки из первого материала должны быть несмежными и иметь форму
квадрата со стороной 0,5 м, а расстояние между ними равно 4 м.
Рассмотрим ещё одну задачу:
Из А в В автомобиль выехал со скоростью V1 км/ч, а возвращался из В в А со скоростью
60 км/ч. Какова была средняя скорость автомобилей?
Часто такие задачи решают автоматически, не задумываясь всерьёз над условием, т.е. по
формуле среднего арифметического получаем:
V1 + V2
Vср =
.
2
Но давайте посмотрим, можно ли в данном случае использовать формулу среднего
арифметического? Вспомним сначала, что такое средняя скорость движения. Это
отношение пройденного пути ко времени движения:
S
Vср =
, где s-это весь пройденный путь, а t-всё время движения.
t
Если расстояние от А до В обозначить через р, тогда весь пройденный путь s будет
равен 2р. Понятно, что время движения от А до В есть
P
p
t1 =
, а время движения от В до А- t2 =
.
V1
V2
p
p
Тогда всё время движения t = t1 + t2 =
+
.
V1
V2
2p
Теперь найдём Vср: Vср =
p/V1 + p/V2
2V1V2
После преобразований получим: Vср =
V1 + V2
Для этого, в свою очередь, необходимо и достаточно
9
ОБОБЩЕНИЕ
Обобщим
переменных:
понятия средних величин. Дадим определения для n количества
a1  a2  a3  ...  an
n
называется срeдним арифметическим чисел a1,a2,a3,…,an.
2.Корень n-й степени из произведения n неотрицательных чисел a1, a2, a3, …, an, т.е.
число G  n a1a2 a3 ...an называется средним геометрическим этих чисел.
A
1.Число
a1m  a2m  a3m  ...  anm
средним степенным чисел a1, a2, a3…an порядка m.
n
В частности, среднее степенное первого порядка
a11 + a12 + a13 +…+ a1n
n
есть среднее арифметическое чисел a1, a2, a3,…,an, а среднее степенное второго порядка
3.Число Sm  m
a12  a22  a32  ...  an2
n
называется средним квадратическим чисел a1, a2, a3,…,an.
n
H 
4.Число
называется средним гармоническим чисел
1 a1  1 a2  1 a3  ...  1 an
a1, a2, a3,…,an.
Докажем рассмотренное мною неравенство в обобщённом виде, т.е. докажем, что
Q
a12  a 22  ...  a n2
a1  a2  ...  an

n
1 / a1  1 / a 2  ...  1 / a n
n
1.Гармоническое среднее чисел а ,а ,…,а ,где а >0 , не больше их среднего
геометрического. Знак равенства имеет место только при равенстве всех чисел
между собой:
n
H  G, т.е.
 n a1a 2 ...a n
1 / a1  1 / a 2  ...  1 / a n
Доказывается оно очень просто.
n
1 1
1
Так как H =
, то применив к числам
, , …,
1 / a1  1 / a 2  ...  1 / a n
a1 a 2
an
теорему о том, что среднее геометрическое не больше среднего арифметического,
получим:
1 1
1 1 / a1  1 / a2  ...  1 / an
n
. Обернув дроби, а следовательно, и знак неравенства,
... 
a1 a 2 a n
n
n
получим: n a1a 2 ...a n 
, или G  H, ч.т.д.
1 / a1  1 / a 2  ...  1 / a n
Причём знак равенства имеет место лишь при условии: а1=а2=…=аn.
2.Среднее арифметическое положительных чисел a1 , а 2 ,..., an не меньше их среднего
a  a2  ...  an n
геометрического, т.е. 1
 a1a 2 ...a n , причём знак равенства достигается
n
лишь в случае, когда a1  a2  ...  an .
Докажем это неравенство методом математической индукции.
n

n
a1a 2 ...a n 
10
Для n = 2 имеем:
a1  a 2
 a1a2 . Доказательство полученного неравенства я провела в
2
начале работы.
Допустим, что при n = k данное неравенство выполняется, тогда докажем его для n = 2k,
т.е.
a1  a 2  ...  a 2 k 2 k
 a1a2 ...a2 k .Действительно 2 k a1a2 ...a2 k = k a1 a 2 ...a k k a k 1 ...a 2 k 
2k
a1  a 2  ...  a k a k 1  ...  a 2 k

k a ...a  k a
...
a
a  a 2  ...  a 2 k
1
k
k 1
2k
k
k

 1
.
2
2
2k
Таким образом данное неравенство верно для n = 2k, а значит, верно и для n количества
a  a 2  ...  a 2 k
переменных, т.е. 2 k a1a2 ...a2 k  1
.
2k
3.Абсолютная величина среднего арифметического чисел а1, а2, …, аn меньше их
среднего квадратичного, если среди чисел а k имеются неравные между собой, т.е.
M1 
a1  a 2  ...  a n
 M2 
n
a12  a 22  ...  a n2
.
n
В случае, когда все числа ak равны между собой, имеет место равенства, что очевидно.
Докажем предварительно следующее тождество:
a1  a2  ...an 2  a1  a2 2  a1  a3 2  ...  a1  an1 2  a1  an 2  a2  a3 2  a2  a4 2  ...


 a2  an   ..........  an1  an   n a12  a22  ...  an2 , которое символически можно
2
2
 n 
записать так:   ai 
 i 1 
2 n
  a
i 1
n
j i 1
 a j   n ai2 (1.4.).
n
2
i
i 1
2
 n 
2
Имеем,   ai   a1  a2  ...  an   a12  a22  ...  an2 
 i 1 



 a a
 2 a1 a 2  a1 a3  ...  a1 a n  a 2 a3  a 2 a 4  ...  a 2 a n  ...  a n 1 a n 
Переходим к выражению
  a
n
i 1
n
j i 1
n
i 1
j i 1
i
j
.
 a j  . В нём квадрат каждого числа ai содержится
2
i
n-1 раз, т.е. в нём содержится произведение n  1a12  a 22  ...  a n2   n  1 ai2 .
n
i 1
Кроме того в нём содержатся все удвоенные парные произведения, взятые со знаком
i , j n
минус, т.е. сумма  2a1a2  2a1a3  ...  2a1an  2a2 a3  2a2 a4  ...  2a n1an  2  ai a j .
i 1
j i 1
11
Итак, левая часть равенства (1.4) равна:
n
i , j n
n
i , j n
n
i 1
i 1
j i 1
i 1
i 1
j i 1
i 1
 ai2  2  ai a j  n  1 ai2  2  ai a j  n ai2 ,
что и требовалось доказать.
Отбросим в тождестве (1.4) член
  a
n
n
i 1 j i 1
 a j  . Так как все эти слагаемые
2
i
неотрицательны(и среди них обязательно найдутся и положительные, поскольку хотя бы
одна из разностей вида ai –aj отлична от нуля), то мы этим только уменьшим левую часть.
2
n
 n 
Отсюда имеем:   ai   n ai , или, извлекая квадратный корень из обеих частей и деля
i 1
 i 1 
на n, получим:
a
n

a
n
2
, т.е. M 1  M 2 .
Теперь теорема доказана.
Это неравенство доказывается аналогично, как и предыдущее, методом математической
индукции.
Таким образом, верно неравенство
n
1 / a1  1 / a 2  ...  1 / a n

n
a1a 2 ...a n 
a1  a2  ...  an

n
a12  a 22  ...  a n2
n
12
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Анциферов Е.Г., Ащенков Л.Т., Булатов В.П. Методы оптимизации и их приложения.
Ч.1. Математическое программирование. – Новосибирск: Наука, 1990.
2. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.
3. Балк М., Мазалов М. Как же доказать это неравенство?- М.:Квант 1995.- №6.
4. Башмаков М. Геометрические неравенства.- М.: Квант, 1979.- №2.
5. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант,
1975.- №4.
6. Дорофеев Г.В. Математика для 9 класса средней школы.-М.: Дрофа, 2000.
7. Погорелов А.В. Геометрия, 7-11 класс.- М.: Просвещение, 1993.
8. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука, 1967.
9. Сивашинский И.Х. Неравенства в задачах.- М.:Наука, 1989.
10. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М.: Школа-Пресс, 1999.
11. Соминский И.С. Метод математической индукции. – М.: Наука, 1974.
12. Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы.- М.: Наука, 1981.
13. Шарыгин И.Ф. Решение задач.- М.: Просвещение, 1994.
14. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на
максимум и минимум. - М.: Наука, 1970.
15. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее применение. – М.: Мир,
1983