 u

Доказательства теорем по ВМ
3 семестр
1.) Признак Даламбера. Если предел отношения последующего члена ряда

n1 u n к
предыдущему меньше 1 , то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится.
u n 1
Если lim
= l, то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 –сомнительный случай.
n un
u
Док-во. Рассмотрим отношения последующего члена ряда к предыдущему n 1 . Пусть
un
u
u n 1
при n > N выполняется неравенство n 1 < q , а lim
= l. Эти отношения образуют
un
n un
бесконечную чис-ю последовательность uN+1 <quN, uN+2 <q uN+1 < q2uN, uN+3 < q3uN , . . (а)
Введем ещё две числовые последовательности:
uN , uN+1 , uN+2 , . . . (б) и

uN , q uN , q2 uN, q3 uN . . . (в) и построим из них ряды  n N u n (б) и   q n u N (в).
n 1
Ряд (в) это геометрическая прогрессия, которая при q <1 сходится. Из последовательности
(а) следует, что члены рядов связанны неравенством uN+n < uN qn. По признаку сравнения,
если ряд с большими членами (в) сходится, то ряд с меньшими членами

nN u n также
сходится. Согласно свойству рядов 10 отбрасывание конечного числа членов не влияет на
сходимость ряда и поэтому из сходимости ряда
ряда

n1 u n при q < 1.

nN u n следует сходимость исходного
При q > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.
2) Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда

n1 (1) n1 u n , un > 0
последовательно убывают ( un > un+1 ) и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n   ), то ряд
сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u1.
Док-во. Члены частичной суммы S2m сгруппируем двумя способами :
S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) + . . . +(u2m-1 – u2m)
(a)
S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) - . . . – (u2m-2 – u2m-1) – u2m ( b )
При способе ( а ) имеем сумму положительных членов S2m > 0. При способе (b) имеем
разность между u1 и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что
S2m всегда ограничена S2m < u1, ограничено даже её предельное значение lim S2m < u1 ,
m 
т.е. ряд сходится.
От S2m+1 легко перейти к S2m , выделив лишний член.
3) Теорема Абеля
Если степенной ряд

n0 an x n
= a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . ( 1 )
сходится при х = х1, то он абсолютно сходится при всех значениях х меньших х1 по
модулю ( |x| < |x1| ). Если ряд ( 1 ) расходится при х = х2 , то он расходится при всех
значениях х больших х2 по модулю ( |x| > |x2| ).
Док-во. Пусть при х = х1 ряд ( 1 ) сходится, т.е. lim an x n  0 и все его члены
n
n
 x 
n
n

ограничены anx < M. Преобразуем (1) к виду
(2)
 n  0 a n x1  
 x1 
n
 x 
n



|
Введем в ряд ( 2 ) модули
(3)
 n  0 | a n x1 |  |
 x1 
1
n
 x 

| 
и сравним его с рядом
(4)
 n  0 M  |
 x1 
Большими оказываются члены ряда ( 4 ) : |an x1n| (|x/x1|)n < M (|x/x1|)n , который является
геометрической прогрессией. При |x| < |x1| ряд ( 4 ) сходится, следовательно, сходится и
ряд с меньшими членами ( 3 ) и абсолютно сходятся ряды ( 2 ) и ( 1 ).
Пусть при х = х2 ряд ( 1 ) расходится. Предположим, что существует х большее х2
по модулю (|x| > |x2|), при котором ряд ( 1 ) сходится. Но тогда он должен сходится и при
x2. Это противоречие исключает предположение о сходимости ряда при |x| > |x2| .
4) Ряд Тейлора. Имеем степенной ряд, сходящийся на интервале
Суммой ряда является функция f(x)
(x0 – R, x0 + R).

 an ( x  x0 ) n = f(x)
(1)
n 0
Покажем, что коэффициенты этого ряда связаны простым соотношением с f(x) .
Будем последовательно дифференцировать обе части равенства ( 1 ) и вычислять
производные при х = х0
f (x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 + a3(x – x0)3 + … + an(x – x0)n + . . .
, f(x0) = a 0
2
n-1
f ‘(x) = a1 + a2(x – x0) + a3(x – x0) + …
+ n an(x – x0) + . . . , f ‘(x0) = a1
f ‘’(x) = a2 + a3(x – x0) + a4(x – x0)2 + … + n(n – 1) an(x – x0)n-2 + . . . , f ‘)’(x0) = 2 a2
f ‘’’(x) = a3 + a4(x – x0) + a5(x – x0)2 +…+ n(n–1)(n–2)an(x – x0)n-3 + . . . , f’’’(x0) = 23 a3
f(n) (x) = n(n–1)(n–2) . . . 2 1 an + . . .
, f ( n )(x0) = n ! a n
Отсюда находим коэффициенты a0 = f(x0) , an = f ( n )(x0) / n !
(2)
Таким образом, если бесконечно дифференцируемая в точке х0 функция f(x)
разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид
 f ( n) ( x0 )
f `( x0 )
f ``( x0 )
f(x) = 
(3)
( x  x0 ) n = f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ...
n
!
1
!
2
!
n 0
и наз. рядом Тейлора , а при х0 = 0 наз. рядом Маклорена.
5) Ряд Фурье
Рядом Фурье для функции f(x) наз. тригонометрический ряд

f(x) = a0/2 +

ancos nx + bnsin nx ,
(1)
n1
который равномерно сходится и его сумма S(x) = f(x) , т.е. построен под конкретную
функцию. Коэффициенты ряда Фурье зависят только от вида f(x) :
а0 = 1/ 



f ( x)dx ; an = 1/ 


f ( x) cos nxdx ; bn = 1/ 

 f ( x) sin nxdx
(2)



Ряд (1) сходится, если сходится мажорирующий ряд из коэффициентов  | an |  | bn | ,
n 1
а это происходит, если выполняется Признак сходимости Дирихле. Функция f(x) :
а) должна быть периодической с периодом 2  ,
б) должна удовлетворять на промежутке [-  ,  ] условиям Дирихле :
1) f(x) непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода;
2
2) f(x) кусочно-монотонна, т.е. интервал разбивается на конечное число отрезков, где
она либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.
В этом случае ряд Фурье для функции f(x) сходится для всех х  R. При этом в
каждой точке непрерывности функции х сумма ряда равна f(x), а в каждой точке разрыва
а равна [f(a+0) + f(f-0)] /2 , т.е. средне-арифметическому значению.
Если f(x) удовлетворяет условиям Дирихле, то она определяет на промежутке
[-  ,  ] криволинейную трапецию конечной площади и является ограниченной функцией.
Интегралы от произведения ограниченной функции на sin nx , cos nx т.е. an , bn , быстро
убывают с ростом n вне зависимости от вида f(x). Действительно, разобьем [-  ,  ] на
участки с шагом х = 2/n и будем отдельно интегрировать в пределах каждого участка.
Тогда при больших n и малых х функция f(x)  const и
x  x
x  x
A
A
x  x
x f ( x) cos nxdx  A x cos nxdx = n sin nx | x = n (sin n( x  x)  sin nx) =
A
x
x
A
x

= 2 ( sin n cos n( x  ) )= - 2 sin  cos nx = 0,
т.к. n
2
2
2
n
n
Стремительное убывание an , bn с ростом n обеспечивает сходимость мажорирующего ряда

 | an |  | bn | и, следовательно, равномерную сходимость тригонометрического ряда(1)
n1

Опр. Всякий функциональный ряд  u n ( x) наз. равномерно сходящимся на сегменте
n 1

Х, если существует такой знакоположительный, сходящийся ряд
 vn , что |un| < vn , n N
n 1
Ряд

v
n 1
n
наз. мажорирующим по отношению к исходному.
6) Формула Грина.
Рассмотрим криволинейный интеграл 2-ого рода по замкнутому контуру
плоскости
J= 
P(x,y) dx + Q(x,y) dy
на
L
(L )
(1)
Покажем, что интеграл ( 1 ) можно свести к двойному интегралу по области D ,
ограниченной контуром L. Во многих случаях такая замена может существенно
упростить решение задачи.
Даны область D правильная в направлении оси Оу a < x <b ,
y1(x) < y < y2(x) и функции P(x,y) ,  P(x,y) /  y непрерывные в
этой области и её границе. Вычислим двойной интеграл
J=
( D)
P( x, y )
dxdy =
y
b
y2 ( x ) P
a dxy1( x)
y
dy
(2)
Его внутренний интеграл Jв является интегралом от дифференциала и легко вычисляется
Jв =
y2 ( x ) P
y1( x)
y
dy =
y2 ( x )
y1( x)
dP = P(x,y2(x)) - P(x,y1(x))
В результате J распадается на сумму двух интегралов
J =
b
a
P(x,y2(x)) dx -
b
a
P(x,y1(x)) dx =
3
(NM )
P(x,y) dx -
( AB)
P(x,y) dx =
(MN )
= -
P(x,y) dx -
( AB)
P(x,y) dx,
которые соответствуют криволинейному интегралу от функции P(x,y) вдоль кривых AB
и MN. Значение этого интеграла вдоль прямых BM, NA 
Pdx = 
Pdx = 0 ,
(BM )
т.к. dx = 0 в этом случае. Поэтому справедливо равенство
J =- 
Pdx - 
Pdx - 
Pdx - 
( AB )
(BM )
(MN )
(NA)
Pdx = -
(NA)
(L)
Pdx
т.е. двойной интеграл J ( 2 ) по области D равен криволинейному интегралу по
замкнутому контуру, ограничивающему эту область. Направление обхода положительное.
( D)
P( x, y )
dxdy = y
(L)
P(x,y)dx
(3)
Т.к. произвольную область D всегда можно представить в виде суммы правильных
областей, то равенство ( 3 ) справедливо для D произвольной конфигурации.
Для области D правильной в направлении оси Ох и функций Q(x,y) ,  Q/  x
непрерывных в D получается равенство аналогичное ( 3 )
( D)
Q( x, y )
dxdy =
x
(L)
Q(x,y)dx
(4)
Объединим (3 ) и ( 4 ) и получим формулу Грина
(L)
P(x,y)dx + Q(x,y)dy =
( D) (
Q( x, y ) P( x, y )

)dxdy
x
y
(5)
7) Нормальный вектор произвольной поверхности
Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным
уравнением r = r (t) = = x(t) I + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .
Приращение радиус-вектора  r = r (t+  t) – r (t) определяет
прямую проходящую через 2 точки L , которая при  t  0
превращается в касательную. Направление касательной в каждой
точке кривой L задает производная d r /dt = x`t I + y`t I + z`t k = S (t).
Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в
точке М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям,
лежащим на поверхности и проходящим через М0 .
Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех
точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Это функция от t и её
производная равна нулю
dF F dx F dy F dz



0
dt
x dt y dt z dt
Данное выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно
перпендикулярных векторов: N S = 0, где S – направляющий вектор касательной к L и
F F F
N ={ ; ; }
(1)
x y z
Поскольку N  S для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по
определению, N является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности
F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если
координаты N непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.
4
Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых
точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно
различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает
тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.
Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты N и его направляющие косинусы
гладкой поверхности
N
p
q
1
 n  {cos  ; cos  ; cos  }  {
;
;
} (2)
|N|
 1 p2  q2  1 p2  q2  1 p2  q2
f
f
и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать
,q 
x
y
cos   0 , то угол  - острый и сторона поверхности будет верхней.
где p 
При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора n
непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из
точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора n не изменится на
противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример
односторонней поверхности.
8) Формула Остроградского – Гаусса.
Тройной интеграл после вычисления первого внутреннего
интеграла превращается в двойной интеграл, который можно
выразить через поверхностный.
Имеем тело ограниченное гладкими поверхностями: G1 – низ,
z = z0(x,y) ; G2 – верх, z = Z(x,y) ; G3 - цилиндрическая боковая
поверхность по границе области D на плоскости хОу. В этом
объеме V определена функция R(x,y,z) , причем, функция и ее
производные непрерывны. Рассмотрим интеграл
Z
R
R
dxdydz

dxdy
J = 
D
 dz  D R( x, y, Z ( x, y))dxdy v z
z z
0
-  R( x, y, z 0 ( x, y ))dxdy = J1 – J2
(1)
D
По формуле
G f ( x, y, z)dxdy
= D f ( x, y, z ( x, y)) dxdy
(2)
xy
интеграл J1 сводится к интегралу по внешней поверхности «верха» тела, а J2 по
внутренней поверхности «низа». При переходе на внешнюю сторону «низа» знак J2
меняется. Учтем также, что аналогичный интеграл J3 по боковой поверхности G3
равен нулю, т.к. площадь ее проекции на плоскость хОу равна нулю. В итоге имеем
J =  R( x, y, z )dxdy +  R( x, y, z )dxdy +  R( x, y, z )dxdy
J=
G1
G2
G3
где интегралы вычисляются по внешней стороне поверхности ограничивающей тело,
или
V
R
dxdydz  G Rdxdy
z
(3)
Обобщение формулы (3) на случай тела произвольной формы приводит к формуле
Остроградского – Гаусса
P
G ( P cos  Q cos   R cos )dS  V ( x 
Q R
 )dxdydz ,
y z
(4)
которая интеграл по объему заменяет на интеграл по внешней стороне поверхности
ограничивающей тело.
5
9) Производная по направлению скалярного поля (с.п.)
Имеем с.п. функции U(x,y,z) и выделенную в пространстве точку
M(x,y,z),
через которую проходит прямая L в направлении, заданном единичным вектором
l = {cos  , cos  , cos  }. Определим, как будет меняться значение с.п. при
перемещении вдоль L от M к произвольной точке M1.
Опр. Производной с.п. U(x,y,z) в точке M(x,y,z) по направлению
l наз. предел отношения приращения функции к пройденному
пути по направлению l
lim [U(M1) – U(M_] / |MM1| =
Теорема.
при
M  M1
(1)
Если функция с.п. U(x,y,z) дифференцируема в некоторой области  и
U U
U
U
=
cos  +
cos  +
cos 
x
z
y
l
l = {cos  , cos  , cos  }, то
Док-во.
U
l
Отрезок
(2)
|MM1| =  есть диагональ прямоугольного параллепипеда со
сторонами  x,  y,  z. Он равен  = x 2  y 2  z 2 . Координаты точки М1 можно
записать в виде M1(x +  x, y +  y, z +  z) = M1(x +  cos  , y +  cos  , z +  cos  ).
По определению приращение дифференцируемой функции нескольких переменных
можно представить в виде
U 
U
U
U
U
U
U
z +  (x, y, z ) =
y 
 cos  
 cos  +  ,
x 
 cos 
x
z
x
z
y
y
где lim  /  = 0 при   0.
и получим формулу ( 2 ).
Перейдем к этому пределу в ( 1 )  U/  l = lim U / 
10) Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве
Имеем волновое уравнение с неизвестной функцией u(x,t)
u
 2u
 2u
= a2
, t > 0 , x  R , u(x,t)|t=+0 =  (x) ,
|t=+0 =  (x)
(1)
t
t 2
x 2
Здесь даны начальные, но нет граничных условий. Задано значение функции и её
производной в каждой точке оси Ох в начальный момент.
Для решения уравнения перейдем в новую систему координат методом
характеристик. Это упростит структуру уравнения. Коэффициенты при вторых
производных а11 =1, а12 = 0, а22 = - а2 приводят характеристическое уравнение
a11  2 + 2a12  + a22 = 0 к следующему виду  2 = a2 . Здесь D > 0,  1= a ,  2 = – a ,
гиперболический тип уравнения. Новые переменные определяются следующим образом
p = x –  1t = x – at ,
q = x -  2t = x + at и u(x,t) = u(p,q)
(2)
В этом случае ut (p,q) = uppt + uqqt = up(-a) + uq(a) , ux(p,q) = uppx + uqqx = up+ uq
utt(p,q) = a2(upp - 2 upq + uqq)
a2 uхх(p,q) = a2( upp + 2 upq + uqq)
Подставим ( 3 ) , ( 4 ) в уравнение ( 2 ) и получим
6
upq = 0
(3)
(4)
(5)
Проведем интегрирование по
p:
 u
u
= С1 ( q ) - константа не
( )0 
p q
q
зависящая от p. Второе интегрирование u(p,q) =  С1 (q)dq + С2(p) дает константу не
зависящую от q . Отсюда следует, что общее решение волнового уравнения в свободном
пространстве имеет вид
u(p,q) = F1(p) + F2(q) = F1(x – at) + F2(x + at)
(6)
где F1(p) и F2(q) - произвольные функции. Проверка решения: пусть p=x  at, тогда
F `t ( p)  F `p p`t  F `p (a) ,
F `x ( p)  F `p p`x  F `p
F ``tt ( p)  (a) F ``pp p`t  (a) 2 F ``pp ,
а2 F ``xx ( p)  a F ``pp p`x 
2

a 2 F ``pp
0=0
Общее решение Даламбера ( 6 ) описывает две встречные плоские волны.
Действительно, при p = x – at = const и функция F1(p) – const, но её постоянство
обеспечивается только при одновременном изменении времени t и движении каждой
точки x0 начального распределения F1(х,0) вдоль оси Ох со скоростью а : p = ( x0 + at –
at) = x0 . В фазовой плоскости
xOt
этот процесс означает смещение вдоль
характеристики уравнения x – at = х0. Второе распределение F2(х,0) двигается
аналогично, но со скоростью – а в обратном направлении.
Конкретный вид функций F1(p) , F2(q) в каждом частном решении определяется
начальными условиями
F ( p)
F (q)
u
|t=0 = (a 1
 a 2 ) |t 0 =  aF '1 ( x)  aF '2 ( x)   ( x)
t
p
q
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х и выпишем второе условие ( 1 )
F1(х) - F2(х) = -
1 x
  ( x)dx + 2C ;
a 0
F1(х) + F2(х) = (x)
Решение этой системы
F1(х) = ½ (x) -
1 x
  ( x)dx + C ,
2a 0
F2(х) = ½ (x) +
1 x
  ( x)dx - C
2a 0
Для перехода от u(x,0) к u(x,t) заменим х на x – at в F1(х) и х на x + at в F2(х),
т.е. сформированные вдоль оси Ох в начальный момент распределения F1(х,0), F2(х,0)
начнут перемещаться в пространстве со скоростью а и –а .
Решение Даламбера задачи Коши в общем случае
u(x,t) = ½ [(x - at) + (x + at)]
+ 1/2a [
0
х  at ( x)dx
+
= ½ [(x - at) + (x + at)] + 1/2a
7
x at
0  ( x)dx ]
x  at
xat ( x)dx
=
(7)