Теория вероятности - Средняя общеобразовательная школа

Комбинаторика и теория вероятности
1) «Комбинаторика»
История комбинаторики
Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно
образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы
комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели
вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара
вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что
индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике,
науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с
подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких)
слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика
сформировалась в XVII в. В книге «Теория и практика арифметики» (1656 г.)
французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую
главу Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в
«Трактате о числовых порядках» (1665 г.) изложил учение о биномиальных
коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и
фигурных чисел с теорией соединений. Термин «комбинаторика» стал
употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы
«Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые было дано
научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением
размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги
«Ars conjectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная
символика сочетаний была предложена разными авторами учебных
руководств только в XIX веке.
Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух
основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и
правило произведения
Комбинаторика – это раздел математики, в котором исследуются и решаются
задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в
некоторой комбинации, составленной по заданным правилам.
Если исходное множество состоит из n различных элементов, то при
каждом выборе мы будем извлекать из него новый элемент, отличный от всех
других – это выбор без повторений.
1
Если исходное множество состоит из элементов k типов (классов), причём
внутри каждого класса элементы неразличимы, то при очередном выборе мы
можем извлечь либо новый элемент, либо такой, какой уже встречался при
предшествующих извлечениях – это выбор с повторениями.
Иногда модель выбора с повторениями описывают по-другому. Полагают,
что исходное множество содержит n различных элементов, но каждый
элемент после его извлечения «записывается» в создаваемой комбинации и
возвращается обратно в исходное множество. При этом каждый из n
элементов может быть извлечён и «записан» неоднократно; число
повторений зависит только от числа производимых извлечений. Такую
модель называют также выбором с возвращением.
Извлечённые из исходного множества m элементов составляют выборку;
из элементов выборки в соответствии с заданными правилами строится (или
составляется) комбинация элементов.
Правило умножения. Пусть требуется выполнить одно за другим какието m действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе
действие – n2 способами, третье – n3 способами и так до m-го действия,
которое можно выполнить nm способами, то все m действий вместе могут
быть выполнены n1 n2 n3… nm способами.
Пример. Четыре мальчика и четыре девочки садятся на 8 расположенных
подряд стульев, причём мальчики садятся на места с чётными номерами, а
девочки – на места с нечётными номерами. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение: Первый мальчик может сесть на любое из четырёх чётных мест,
второй – на любое из оставшихся трёх мест, третий – на любое из оставшихся
двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность.
Согласно правилу умножения, мальчики могут занять 4 места 4321=24
способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом,
согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья
2424=576 способами.
Ответ: 576 способами.
Правило сложения. Если два действия взаимно исключают друг друга,
причём одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами,
то выполнить одно любое из этих действий можно m + n способами.
2
Пример. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку.
Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора
двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?
Решение: Условимся первым действием считать выбор тетрадей в
линейку, вторым – выбор тетрадей в клетку. По правилу умножения две
тетради в линейку можно выбрать 2019=380 способами. Аналогично, две
тетради в клетку можно выбрать 3029=870 способами. Согласно условию
задачи, следует выбрать две тетради одного вида. Таким образом, должно
быть выполнено либо первое, либо второе, но не первое действие, а затем
второе. Эти действия не могут быть выполнены одновременно. Поскольку
они взаимно исключают друг друга. Поэтому общее число способов выбора
тетрадей одного вида равно 380+870=1250.
Задачи.
Правило умножения
1. В меню столовой предложено на выбор 5 первых, 8 вторых и 4 третьих
блюда. Сколько различных вариантов обедов, состоящих из одного первого,
одного второго и одного третьего блюда, можно составить из предложенного
меню?
Решение: Согласно правилу умножения таких обедов можно составить
584 = 160.
Ответ: 160 вариантов обедов.
2. Миша забыл вторую и последнюю цифру пятизначного номера
телефона друга. Какое наибольшее число звонков предстоит сделать Мише,
если он решил перепробовать комбинации всех забытых цифр, чтобы в
результате дозвониться до друга?
Решение: Второй и последней цифрой могут быть все 10 цифр. По
правилу умножения получаем 1010=100.
Ответ: 100 звонков.
4. Девятиклассники Миша, Дима, Антон и Саша побежали на перемене к
теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами
подбежавшие к столу четверо девятиклассников могут занять очередь для
игры в настольный теннис?
Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым –
любой из оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и
3
четвёртым – девятиклассник, подбежавший последним. По правилу
умножения у четверых ребят существует 4321=24 способа занять очередь.
Ответ: 24 способа.
5. Здание школы имеет 5 запасных выходов. Сколькими способами можно
войти и выйти из здания школы?
Решение: По правилу умножения получаем 55=25 способов.
Ответ: 25 способов.
6. В городских соревнованиях по футболу участвовало 5 команд. Каждая
команда провела с каждой из остальных по одной игре на своём поле и по
одной игре на поле соперника. Сколько всего игр было сыграно?
Решение: Порядок выбора пары не имеет значения. Для каждой игры
принимающую команду можно выбрать 5 способами, а команду гостей 4
способами; по правилу умножения общее количество игр равно 54=20 игр
Ответ: 20 игр.
7. В гардеробе у Алёши имеются брюки трёх цветов, свитера двух
расцветок и ботинки двух цветов. Сколько существует всевозможных
цветовых сочетаний брюк, свитера и ботинок у Алёши?
Решение: По правилу умножения получаем 322=12 сочетаний.
Ответ: 12 сочетаний.
8. Одновременно происходят выборы президента школьной детскоюношеской организации «СОТУР» и его заместителя. На должность
президента выставили свои кандидатуры Лапина Юля, Губенко Юля,
Осадчук Женя, а на должность заместителя – Малеванова Кристина, Явон
Даша и Русалеева Даша. Сколько различных исходов выборов существует? В
скольких вариантах будет кандидатура Малевановой Кристины?
Решение: По правилу умножения число различных исходов выборов
равно 33=9. Кандидатура Малевановой Кристины будет в 3 вариантах.
Ответ: 9 исходов; 3 варианта.
9. У Любы есть любимый костюм, в котором она ходит в школу. Она
надевает к нему белую, голубую, розовую или красную блузку, а в качестве
4
«сменки» берёт босоножки или туфли. Кроме того, у Любы есть три разных
бантика, подходящих ко всем блузкам. а) Сколько существует вариантов
Любиной одежды? б) Сколько дней Люба сможет выглядеть по-новому в
этом костюме? в) Сколько дней она будет ходить в туфлях? г) Сколько дней
она будет ходить в красной блузке и босоножках?
Решение: а) По правилу умножения получаем: 423=24 варианта. б) поновому будет выглядеть 24 дня. в) 12 дней (половина вариантов). г) 3 дня
(так как будут меняться только бантики).
Ответ: а) 24 варианта; б) 24 дня; в) 12 дней; г) 3 дня.
10. Составляя расписание уроков на понедельник для 9 «Б» класса, завуч
хочет первым уроком поставить либо физику, либо алгебру, а вторым – либо
русский язык, либо литературу, либо историю, либо географию. Сколько
существует вариантов составления расписания на первые два урока?
Решение: По правилу умножения получаем: 42=8 вариантов.
Ответ: 8 вариантов.
11. У Светланы три юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету.
Сколько различных комбинаций из юбок и кофт имеется у Светланы?
Решение: По правилу умножения получаем: 35=15 комбинаций.
Ответ: 15 комбинаций.
12. Стас решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетёра. В
ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету
предметы: 3 пары брюк, 4 камзола, 3 шляпы, 2 пары сапог. Сколько
различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
Решение: Общее количество предметов по правилу умножения равно:
3432=72.
Ответ: 72 различных костюма.
13. Завуч составляет расписание уроков. В пятницу в 9 «Г» классе должно
быть 6 уроков, причём обязательно один сдвоенный урок – алгебра. Сколько
различных вариантов расписания уроков может составить завуч на пятницу,
если 4 оставшихся урока она комбинирует из литературы, истории, биологии
и физики?
5
Решение: Будем рассматривать сдвоенный урок как один урок, тогда всего
нужно поставить в расписание 5 уроков. Первый урок можно выбрать из 5
вариантов, второй – из 4 вариантов, третий – из 3 вариантов, четвёртый – из 2
вариантов, а пятым поставить оставшийся урок. Общее число вариантов
равно 54321=120 вариантов.
Ответ: 120 вариантов.
14. На зачёте по алгебре будет пять задач – по одной из каждой
пройденной темы. Задачи будут взяты из общего списка по 10 задач в
каждой теме, а всего было пройдено 5 тем. При подготовке к зачёту Вова
решил только по 8 задач в каждой теме. Найдите: а) общее число всех
возможных вариантов зачётной работы; б) число тех вариантов, в которых
Вова умеет решать все пять задач;
в) число тех вариантов, в которых Вова не сможет решить ни одной задачи;
г) число тех вариантов, в которых Вова умеет решать все задачи, кроме
первой.
Решение: а) Первая задача может быть выбрана 10 способами, вторая тоже
10 (из задач другой темы), третья, четвёртая и пятая задачи также могут быть
выбраны 10 способами каждая; по правилу умножения общее число всех
возможных вариантов зачётной работы равно 1010101010=100000. б)
Число вариантов, в которых Вова умеет решать все пять задач равно
88888=32768. в) Число вариантов, в которых Вова не сможет решить ни
одной задачи равно 22222=32. г) Число тех вариантов, в которых Вова
умеет решать все задачи, кроме первой, равно 28888=8192.
Ответ: а) 100000; б) 32768; в) 32; г) 8192.
Самостоятельная работа.
1. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной
цифрой?
Ответ: 25000
2. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать
одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими
способами можно сделать его еще раз?
Ответ: 480, 437.
6
3. Несколько стран в качестве символа своего государства решили
использовать флаг в виде четырёх вертикальных полос, одинаковых по
ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зелёный. У каждой
страны свой, отличный от других, флаг.
а) Сколько всего стран могут использовать такую символику?
б) Сколько всего стран могут использовать такую символику с верхней белой
полосой?
в) Сколько всего стран могут использовать такую символику с нижней
зелёной полосой?
Решение: а) 4*3*2*1 =24 страны, б) 6 стран (четвертая часть), в) 6 стран.
4. В школьной столовой на обед приготовили в качестве вторых блюд
молочную кашу, плов и макароны. На сладкое – пирожное, фрукты, йогурт.
Можно выбрать одно второе блюдо и одно блюдо на десерт. Сколько
существует различных вариантов обеда?
Решение: 3*3=9 вариантов.
5. Имеются 10 различных точек, принадлежащих данной плоскости  ,
причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых
можно провести через эти точки, если каждая из прямых проходит через две
различные точки?
Ответ.45.
7
2) «Теория вероятностей».
События
В жизни под событием понимают любое явление, которое происходит
или не происходит. Событиями являются и результаты испытаний (опытов),
наблюдений и измерений. Все события можно разделить на невозможные,
достоверные и случайные.
Невозможным называют событие, которое в данных условиях произойти
не может.
Например: а) Петя родился 30 февраля;
б) вода в чайнике закипела при температуре 50С.
Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно
произойдёт.
Например: а) после урока наступит перемена;
б) после воскресенья наступит будний день.
Случайным называют событие, которое в данных условиях может
произойти, а может и не произойти.
Например: а) при телефонном звонке абонент оказался занят;
б) день рождения двух моих друзей – 15 марта.
Два события, которые в данных условиях могут происходить
одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить
одновременно, -несовместными.
Например, события «пошёл дождь» и «наступило утро» являются
совместными, а события «наступило утро» и «наступила ночь» несовместными.
События называются равновозможными, если по условию испытания нет
оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.
Рассмотрим группы событий:
1) «появление орла» и «появление решки» при одном бросании монеты;
2) «появление 1 очка», «появление 2 очков», …, «появление 6 очков» при
одном бросании игральной кости;
8
3) «падение бутерброда маслом вверх» и «падение бутерброда маслом
вниз»;
4) «изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино
костяшки с разными очками».
В примерах 1 и 2 нет оснований полагать, что в наступлении одного из
событий есть какое-то преимущество (если монета и кубик правильные). Это
равновозможные события. Часто равновозможность событий удаётся
установить из соображений симметрии.
Примеры 3 и 4 демонстрируют образцы неравновозможных событий.
Действительно, бутерброд чаще падает маслом вниз из-за того, что после
намазывания хлеба маслом центр тяжести бутерброда смещается из центра
его симметрии в сторону слоя масла. Дублей в наборе домино (пример 4)
всего 7, а остальных костяшек 21.
Событие A называется событием, противоположным событию А, если
оно происходит, когда не происходит событие А.
Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места»
противоположным является событие «хотя бы один из спортсменов команды
не занял призовое место».
Классическое определение вероятности
В повседневной жизни в разговоре часто используется слово «вероятный».
Например, «к вечеру, вероятно, пойдёт дождь», «это невероятный случай»,
«вероятнее всего он опоздает». При употреблении этого слова интуитивно
оценивается возможность наступления того или иного события. Можно
сказать, что одно событие наступает чаще, чем другое. В этом случае
говорят, что оно более возможно, т.е. его наступление более вероятно.
Естественно. При такой оценке человеку помогает здравый смысл и
жизненный опыт.
Вероятность события – это численная мера объективной возможности
его появления.
Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление
события А влечёт за собой появление события В.
Пример. Событие А={выбито 4 очка} является благоприятствующим
событию В={выбито менее 5 очков}.
9
Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение
числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех
исходов испытания.
Если N – число всех исходов испытания, а М – число исходов,
благоприятствующих событию А, то P( A) 
M
.
N
Свойства вероятности
1. Вероятность достоверного события равна 1: P( A) 
M N

 1.
N
N
2. Вероятность невозможного события равна 0: P( A) 
M
0

0
N
N
Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:
Р( А)  Р( А)  1 .
Вероятность
P( A)  1  P( A) .
противоположного
события
находится
по
формуле:
Пример. Вероятность попадания некоторым стрелком по бегущей мишени
равна 0,8. какова вероятность того, что этот стрелок промахнётся , сделав
выстрел?
Решение: Пусть событие А – попадание по мишени, тогда Р(А)=0,8.
Событие A - промах. P( A) = 1-Р(А)=1-0,8=0,2.Ответ: 0,2.
Относительная частота
На практике – при изучении случайных явлений в естествознании,
экономике, медицине, производстве – часто встречаются испытания, у
которых число возможных исходов необозримо велико. А в ряде случаев до
проведения реальных испытаний трудно или невозможно установить
равновозможность исходов испытания. Поэтому, наряду с классическим, на
практике используют так называемое статистическое определением
вероятности. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное
событие, связанное с экспериментом, нужно подсчитать, как часто оно
происходит. Для этого используют две важные величины:
Относительной частотой события А в данной серии испытаний
называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло,
10
к числу всех проведённых испытаний N, при этом число М называют
абсолютной частотой или частотой события А.
Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов
наблюдалось данное событие; относительная частота показывает, какая доля
экспериментов завершилась наступлением данного события.
Относительную частоту события А обозначают W ( A) , поэтому по
определению: W ( A) 
M
.
N
Пример. Во время тренировки в стрельбе по цели было сделано 30
выстрелов и зарегистрировано 26 попаданий. Какова относительная частота
попадания по цели в данной серии выстрелов?
Решение: Событие А – попадание по цели произошло в 26 случаях, т.е.
М=26. Общее число испытаний N=30, поэтому W ( A) =
Ответ:
26 13
 .
30 15
13
.
15
Под статистической вероятностью понимают число, около которого
колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.
Задачи.
События
Невозможные, достоверные и случайные события
Для каждого из этих событий определить, каким оно является:
невозможным, достоверным или случайным.
1. Из 26 учащихся класса двое справляют свой день рождения: 1) 25
января; 2) 31 июня.
Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.
2. Случайным образом открывается художественное произведение и
находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: 1) с буквы
М; 2) с буквы Ъ.
Ответ: 1) случайное; 2) невозможное.
3. Из списка журнала 9 класса (в котором есть и мальчики, и девочки)
случайным образом выбран ученик: 1) это мальчик; 2) выбран ученик,
11
которому 15 лет; 3) выбранному ученику 15 месяцев; 4) этому ученику
больше двух лет.
Ответ: 1) случайное; 2) случайное; 3) невозможное.
4. Сегодня в Мариинске барометр показывает нормальное атмосферное
давление. При этом: 1) вода в кастрюле закипит при температуре 70С; 2)
когда температура упала до -3С, вода в луже замёрзла.
Ответ: 1) невозможное; 2) достоверное.
5. В нашей школе учатся 758 учеников. Событие А=в школе есть
ученики с совпадающими днями рождения является случайным или
достоверным. Выясните, произошло ли это событие в вашем классе?
Ответ: Событие А – достоверное, так как количество учащихся школы
758366 дней в году. Это событие случайное, так как количество учащихся
нашего класса 26 человек.
6. Среди 150 билетов школьной благотворительной лотереи 30
выигрышных. Сколько билетов надо купить, чтобы событие А=вы ничего не
выиграете было невозможным?
Ответ: 150-29=121 билет.
7. В 9 «Г» классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Какие из следующих
событий являются невозможными, какие случайными, какие –
достоверными:
А= в классе есть два человека, родившихся в разные месяцы;
В=в классе есть два человека, родившихся в одном месяце;
С=в классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце;
D=в классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце;
Е=все мальчики родились в разные месяцы;
F=все девочки родились в разные месяцы;
К=есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце;
М= есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы.
Ответ: Событие А – случайное, событие В – достоверное, событие С –
достоверное, событие D – случайное, событие Е – невозможное, событие F –
случайное, событие K – случайное, событие M – случайное.
8. Около школы останавливаются автобусы трёх маршрутов, идущих в
сторону лесозавода: № 5, № 13 и № 23. Интервал в движении автобусов
12
каждого маршрута колеблется от 8 до 10 минут. Когда Саша, Маша,
Кристина и Катя подошли к остановке, от неё отошёл автобус № 13, а ещё
через 6 минут подошёл автобус № 5. После этого каждый из ребят высказал
своё мнение о том, автобус какого маршрута будет следующим:
Саша: Следующим обязательно будет № 23.
Маша: Возможно, что следующим будет № 23.
Кристина: Возможно, что следующим будет № 13.
Катя: Невозможно, что следующим будет № 5.
С кем из ребят вы согласны, а с кем нет? Объясните сделанный выбор.
Ответ: Не прав только Саша.
9. На дорогу от дома до школы Миша тратит от 10 до 15 минут, если идёт
пешком, и от 2 до 3 минут, если едет на автобусе. При каких интервалах
движения автобусов событие А==по пути в школу Мишу обгонит хотя бы
один автобус будет невозможным, при каких – случайным, при каких –
достоверным?
Ответ: Больше 7 минут – случайным, меньше 7 минут – достоверным.
Совместные и несовместные события
1. В сыгранной Катей и Ларисой партии в шахматы: 1) Катя выиграла,
Лариса проиграла; 2) Катя проиграла, Лариса проиграла.
Ответ: 1) совместные; 2) несовместные.
2. Из событий: 1) «идёт дождь»; 2) «на небе нет ни облака»; 3) «наступило
лето» - составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных
и пары несовместных событий.
Ответ: «идёт дождь» - «на небе нет ни облачка» - несовместные;
«наступило лето» - «на небе нет ни облачка» и «наступило лето» - «идёт
дождь» - совместные.
3. Из событий: 1) «наступило утро»; 2) «сегодня по расписанию 6 уроков»;
3) «сегодня 1 января»; 4) «температура воздуха в Мариинске +30С» 13
составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары
несовместных событий.
Ответ: «сегодня 1 января» - «температура воздуха в Мариинске +30С»;
«сегодня по расписанию 6 уроков» - «температура воздуха в Мариинске
+30С»; «сегодня 1 января» - «сегодня по расписанию 6 уроков» несовместные; «наступило утро»- «сегодня 1 января»; «наступило утро» «температура воздуха в Мариинске +30С»; «наступило утро» - «сегодня по
расписанию 6 уроков» - совместные.
Противоположные события
1. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им
события.
а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.
б) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.
в) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.
Решение: а) Мою новую соседку по парте зовут не Таня и не Аня.
б) Из пяти выстрелов в цель попали менее двух.
в) На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.
2. Назовите событие, для которого противоположным является такое
событие:
а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;
б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;
в) в нашем классе все умные и красивые;
г) в кошельке у меня есть три рубля одной монетой, или три доллара
одной бумажкой.
Решение: а) «На контрольной работе пятёрки получили не более
половины класса», или «на контрольной работе больше половины класса не
получили пятёрки». б) «В тире хотя бы одна пулька из семи у меня попала в
цель». в) «В нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый». г)
«В кошельке у меня нет ни трёх рублей одной монетой, ни трёх долларов
одной бумажкой».
14
Вероятность
1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и
набрала её наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей
знакомой?
Решение: На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10
цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; n=10; все предыдущие цифры никакого
значения не имеют. Из n=10 только одна цифра верная, поэтому m=1.
вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру
номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна P( A) 
Ответ:
m 1
= .
n 10
1
.
10
2. Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал
их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадёт к приятелю?
Решение: Исходом в данном случае является пара десятичных цифр (0..9)
с учётом порядка и с повторениями; общее число возможных исходов
n=1010=100; все исходы считаем равновозможными. Среди этих исходов
только один является правильным, соответствующим номеру телефона
приятеля. Таким образом, событию А – «звонок попадёт к приятелю»
благоприятствует только один исход mA=1; вероятность P( A) 
mA
1
 0,01 .
=
n 100
Ответ: 0,01.
3. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120
выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется
выигрышным?
Решение: Если продажа билетов будет организована так, что покупка
любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно применить формулу
классической вероятности. Пусть событие А – «купленный билет оказался
выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов m=120, а
общее
число
равновозможных
исходов
n=1500;
вероятность
P ( A) 
mA
120
2


 0,08  8%
n
1500 25
Ответ: 0,08.
15
4. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 25. какова
вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный
номер; 2) двузначный номер?
Решение: Общее число билетов n=25; извлечение каждого из них
считается равновозможным. Рассмотрим событие А – «взятый билет имеет
однозначный номер», В – «взятый билет имеет двузначный номер».
Количество благоприятствующих исходов: mA=9 (одна цифра от 1 до 9);
mB=16 (первая цифра 1 или 2, вторая цифра – от 0 до 9 после 1, от 0 до 5
после 2, всего 10+6=16). Искомые вероятности: P( A) 
Ответ: 1)
mA
9
m
16
; P( B)  B =

n
25
n
25
9
16
; 2)
.
25
25
5. Ученик при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25
билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того,
что ученику достанется на экзамене выученный билет?
Решение: Общее число билетов n=25; выбор каждого билета
равновозможен. Событие А – «ученику достанется на экзамене выученный
билет»; количество благоприятствующих исходов m=25-1=24. Вероятность
события А: P( A) 
Ответ:
m 24
= =0,96.
n 25
24
.
25
6. В лотереи 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных, приобретается
один билет. Какова вероятность того, что этот билет: 1) выигрышный;
2) невыигрышный?
Решение: Общее число билетов n=1000; приобретение каждого из них
равновозможно. Рассмотрим события и подсчитаем благоприятствующие им
исходы: P( A) 
m A 20
1
m
980

 0,02 , P ( B )  B =
 0,98 .
=
n 100 50
n 1000
Ответ: 1) 0,02; 2) 0,98.
7. Женя купил 2 лотерейных билета, и один из них оказался выигрышным.
Можно ли утверждать, что вероятность выигрыша в лотереи
1
?
2
16
Ответ: Нет. Одного испытания не достаточно, чтобы по частоте узнать
вероятность.
8. Алёша забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её
наугад,
помня только, что эта цифра нечётная. Найти вероятность того, что номер
набран правильно.
Решение: Исходом в данном случае являются цифры от 0 до 9, таких цифр
– 10, но среди них нечётных только – 5. Отсюда следует, что M=5, N=10,
значит
P ( A) 
m 5 1
=   0,5 .
n 10 2
Ответ: 0,5.
9. В классе 20 мальчиков и 10 девочек.
а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию.
Какова вероятность, что в цирк пойдёт мальчик?
б) Учитель истории знает, что 3 девочки и 5 мальчиков из класса были
накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не
знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему
лучше вызвать к доске – мальчика или девочку?
в) Влад не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что
учитель этого не узнает, если за урок он успевает спросить пятерых?
Решение: а) Общее число исходов равно 30. Благоприятных исходов – 20,
значит P( A) 
20 2
m
  0,667 . б) Общее число исходов для девочек равно
=
n
30 3
10, для мальчиков – 20. Благоприятных исходов для девочек
мальчиков – 5, значит для девочек P( A) 
– 3,
для
m 3
5 1
= , для мальчиков -  . Так
n 10
20 4
3 1
> , поэтому лучше вызвать девочку. в) Общее число исходов равно
10 4
m 25 5
30. Благоприятных исходов – 25, значит P( A)  =  = 0,833 .
n 30 6
как
Ответ: а) 0,067; б) лучше вызвать девочку; в) 0,833.
17
10. Для школьного новогоднего вечера напечатали 125 пронумерованных
пригласительных билетов, между которыми предполагается разыграть
главный приз. Какова вероятность, что номер счастливчика будет
оканчиваться: а) на тройку; б) на девятку? в) Вова получил пригласительный
билет с номером 33, а Таня – 99. Верно ли, что у Вовы больше шансов
получить главный приз?
Решение: а) Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов – 13
(на тройку оканчиваются девять двузначных, три трёхзначных числа и само
число -3), значит P( A) 
m 13
=
 0,104 . б) Общее число исходов равно 125.
n 125
Благоприятных исходов – 12 (на девятку оканчиваются девять двузначных,
три трёхзначных числа и само число - 9), значит P( A) 
m 12
 0,096 . в)
=
n 125
Общее число исходов равно 125. Благоприятных исходов и для Тани и для
Вовы – 1, значит P( A) 
m 1
= .
n 25
Ответ: а) 0,104; б) 0,096; в) Нет, не верно. У обоих шансы равны.
11. У Вики две одинаковые пары варежек. Уходя на улицу, она наугад
берёт две варежки. Какова вероятность, что они окажутся парными (т.е. на
разные руки)?
Ответ:
2
3
12. Вика потеряла одну из варежек на улице, и теперь их у неё три. Уходя
на улицу, она по-прежнему выбирает две варежки случайным образом.
Какова вероятность того, что они окажутся парными?
Ответ:
2
.
3
13. В лотереи участвуют 100 билетов. Разыгрывается один приз. а) Какова
вероятность того, что вы ничего не выиграете на свой единственный билет?
б) Участвуя в той же лотереи, вы купили 20 билетов. Какова вероятность, что
вы опять останетесь ни с чем?
18
Решение: а) Общее число исходов равно 100. Благоприятных исходов – 1,
значит
P ( A) 
m 99
=
 0,99 ;
n 100
б)
Общее
Благоприятных исходов – 80, значит P( A) 
число
исходов
равно
100.
m 80 4
=
  0,8 .
n 100 5
Ответ: а) 0,99; б) 0,8
Относительные частоты
1. Дано распределение дней рождения старшеклассников (учащихся 9-11
классов) по месяцам и дням недели
пн
январь
0
февраль 2
март
2
апрель
3
май
4
июнь
4
июль
0
август
1
сентябрь 0
октябрь 1
ноябрь
0
декабрь 2
вт
1
4
2
2
0
2
1
2
1
2
2
2
ср
3
1
0
5
2
2
4
4
2
0
4
3
чт
4
2
2
8
1
1
2
4
1
0
1
2
пт
0
3
4
0
1
3
1
2
2
2
1
0
сб
0
0
2
3
1
2
2
0
3
1
5
2
вс
1
2
0
2
2
0
0
1
5
0
1
2
Найдите относительные частоты событий:
А = старшеклассник родился в майское воскресенье;
В =старшеклассник родился в зимний четверг;
С = старшеклассник родился в понедельник;
D = старшеклассник родился весной
Решение: Всего в мае родилось 11 учащихся, из них только двое родились в
воскресенье, значит, вероятность события А равна W ( A) 
M 2
=  0,18 . Всего
N 11
в зимние месяцы родилось 14+9+14=37 старшеклассников, из них 2+4+2=8
родились в четверг, значит, вероятность события В равна W ( A) 
M
8
=  0,22 .
N 37
19
В понедельник родились 2+2+3+4+4+1+1+2=19 старшеклассников из 154,
значит, вероятность события С равна W ( A) 
M 19
=
 0,12 . Весной родились
N 154
12+23+11=46 старшеклассников из 154, значит, вероятность события D равна
W ( A) 
M 46
=
 0,3 .
N 154
Ответ:
2
8
19
46
 0,18 ;
 0,22 ;
 0,12 ;
 0,3 .
11
37
154
154
2. В таблице записаны размеры обуви 20 девочек 9-х классов:
38
38
39
38
41
38
37
36
37
38
На основании этих данных составить
(М) и относительным частотам (W)
размеров обуви девочек 9-х классов.
39
37
38
37
35
38
39
38
38
38
таблицы распределения по частотам
значений случайной величины Х –
Решение: Величина Х принимает значения Х1=35, Х2=36, Х3=37. Х4=38,
Х5=39, Х6=41. Подсчитывая число (М) девятиклассниц каждого размера
обуви, заносим данные в частотную таблицу, затем для каждого значения Х
находим значение относительной частоты W, зная, что N=20.
Х
М
W
35
1
0,05
36
1
0,05
37
4
0,2
38
10
0,5
39
3
0,15
41
1
0,05
Самостоятельная работа.
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
1. На столе 12
кусков пирога. В
трех
«счастливых» из
них
запечены
призы.
Какова
вероятность взять
«счастливый»
кусок пирога?
1. В коробке 24
карандаша,
из
них 3 красного
цвета. Из коробки
наугад
вынимается
карандаш. Какова
вероятность того,
что он красный?
1. В лотерее 100
билетов, из них 5
выигрышных.
Какова
вероятность
выигрыша?
1. В вазе 7
цветков, из них 3
розы. Из букета
наугад
вынимается
цветок.
Какова
вероятность того,
что это роза?
( P( A) 
5
1

)
100 20
3
7
( P( A)  )
2.
В
корзине
20
( P( A) 
3 1
 )
12 4
2. В урне 15
белых
и
25
черных шаров. Из
урны
наугад
выбирается один
шар.
Какова
вероятность того,
что он будет
белым?
( P( A) 
(чисел всего 25,
кратных 5 – 5,
P ( A) 
15 3
 )
40 8
лежат 5 яблок и 3
груши.
Из
корзины наугад
вынимается один
фрукт.
Какова
вероятность того,
что это яблоко?
2. Из чисел от 1
до 25 наудачу
выбрано число.
Какова
вероятность того,
что оно окажется
5
(5+3=8, P( A)  )
кратным 5?
8
(15+25=40,
P ( A) 
3 1
 )
24 8
2. В корзине 10
яблок, из них 4
червивых. Какова
вероятность того,
что любое взятое
наугад
яблоко
окажется
не
червивым?
(10-4=6,
P ( A) 
6 3
 )
10 5
5 1
 )
25 5
21
3) «Статистика».
«Слава случаю. Разве не случай
С непреложным всегда наравне…
Случай часто событием правит,
Порождает и радость, и боль.
И задачу пред нами жизнь ставит:
Как постигнуть случайности роль»
(из книги Б.А. Кордемского «Математика изучает случайности»)
Сам мир закономерен – так мы часто считаем и изучаем законы физики,
химии и т.д., и всё же ничто не происходит без вмешательства случайности,
возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей,
изменяющих ход явления или опыта при его повторении. Создаётся «эффект
случайности» с присущей закономерностью «скрытой предопределённости»,
т.е. у случайности появляется необходимость закономерного исхода.
Математики случайные события рассматривают лишь в дилемме « быть или
не быть» - наступит или не наступит.
Определение. Раздел прикладной математики, в котором исследуются
количественные характеристики массовых случайных событий или явлений,
называется математической статистикой.
Определение. Математическая статистика – наука о математических методах
систематизации, обработки и использовании статистических данных для
научных и практических выводов.
Общепринятой сейчас является точка зрения на математическую статистику
как на науку об общих способах обработки результатов эксперимента. Решая
эти проблемы, каким должен обладать эксперимент, чтобы сделанные на его
основании суждения были правильными. Математическая статистика отчасти
становится наукой о планировании эксперимента.
Значение слова «статистика» за последние два столетия претерпело
значительные изменения, - пишут известные современные учёные Ходжес и
Леман, - слово «статистика» имеет один корень со словом «государство»
22
(state) и первоначально означало искусство и науку управления: первые
преподаватели статистики университетов Германии 18-го века сегодня
назывались бы специалистами по общественным наукам. Поскольку решения
правительства до некоторой степени основываются на данных о населении,
промышленности и т.д. статистики, естественно, стали интересоваться и
такими данными, и постепенно слово «статистика» стало означать сбор
данных о населении, о государстве, а затем вообще сбор и обработку данных.
Нет смысла извлекать данные, если из этого не извлекается какая-то польза,
и статистики, естественно, начинают заниматься интерпретацией данных.
Математическая статистика возникла в 17 веке и развивалась параллельно с
теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики
(вторая половина 19 начало 20-ых веков) обязано в первую очередь, П.Л.
Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, К. Гауссу, А. Кетле, Ф.Гальтону,
К Пирсону, и др. В 20 –ом наиболее существенный вклад в математическую
статистику был сделан А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е.
Слуцким, Н.В. Смирновым, Б.В. Гнеденко, а также английскими
Стъюдентом, Р. Фишером, Э. Пурсоном и американскими (Ю. Нейман, А
Вальд) учёными.
Современная
математическая
статистика
разрабатывает
способы
определения числа необходимых испытаний до начала исследования
(планирования эксперимента), в ходе исследования (последовательный
анализ). Её можно определить как науку о принятии решений в условии
неопределённости. Кратко, можно сказать, задача математической
статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических
данных.
Объектами изучения в математической статистике могут быть качественные
или количественные признаки изучаемого явления или процесса.
В случае качественного признака подсчитывается число появлений этого
признака в рассматриваемой серии опытов; это число и представляет собой
изучаемую (дискретную) случайную величину. Примерами качественных
признаков могут служить дефекты на готовой детали, демографические
данные и т.д. Если признак является количественным, то в опыте
производится прямое или косвенное измерения путём сравнения с некоторым
эталоном - единицей измерения – с помощью различных измерительных
приборов. Например, если имеется партия деталей, то качественным
признаком может служить стандартность детали, а количественным –
контролируемый размер детали.
23
Основные определения
Значительная часть математической статистики связана с необходимостью
описать большую совокупность объектов.
Определение. Всю совокупность объектов, подлежащих изучению, называют
генеральной совокупностью.
Генеральной совокупностью могут быть всё население страны, месячная
продукция завода, популяция рыб, живущих в данном водоёме и т.д.
Но генеральная совокупность - это не просто множество. Если интересующая
нас совокупность объектов слишком многочисленна, или объекты
труднодоступны, или имеются другие причины, не позволяющие изучить все
объекты, прибегают к изучению какой-то части объектов.
Определение. Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и
т.п., называется выборочной совокупностью или просто выборкой.
Определение. Число элементов в генеральной совокупности и выборке
называется их объёмами.
Как добиться, чтобы выборка наилучшим образом представляло целое, т.е.
была бы репрезентативной?
Если целое, т.е. если генеральная совокупность нам мало известна или
совсем неизвестна, не удаётся предложить ничего лучшего, чем чисто
случайный выбор. Большая осведомлённость позволяет действовать лучше,
но всё равно на некоторой стадии наступает незнание и, как результат –
случайный выбор.
Но как осуществить чисто случайный выбор? Как правило, отбор идёт по
легко наблюдаемым признакам, ради изучения которого ведётся
исследование.
Нарушение же принципов случайного выбора приводило к серьезным
ошибкам. Стал знаменитым своей неудачей опрос, проведённый
американским журналом “Литературное обозрение” относительно исхода
президентских выборов в 1936 году. Кандидатами на этих выборах были
Ф.Д. Рузвельт и А.М. Ландон.
Кто победил?
24
В качестве генеральной совокупности редакция использовала телефонные
книги. Отобрав случайно 4 миллиона адресов, она разослала открытки с
вопросами об отношении к кандидатам в президенты по всей стране.
Затратив большую сумму на рассылки и обработку открыток, журнал
объявил, что на предстоящих выборах в президенты с большим перевесом
победит Ландон. Результат выборов оказался противоположенным этому
прогнозу.
Здесь были совершенны сразу две ошибки. Во-первых, телефонные книги не
дают репрезентативную выборку из населения США – в основном
зажиточные главы семейств. Во-вторых, прислали ответы не все люди, а в
значительной части представители делового мира, которые и поддерживали
Ландона.
В то же время социологи Дж. Гэллан и Э. Уорнер правильно предсказали
победу Ф.Д. Рузвельта, основываясь только на четырёх тысячах анкетах.
Причиной этого успеха было не только правильное составление выборки.
Они учли, что общество распадается на социальные группы, которые более
однородны по отношению к кандидатам в президенты. Поэтому выборка из
слоя может быть относительно малочисленной с тем же результатом
точности. Победил в итоге Рузвельт, который был сторонником реформ для
менее богатых слоёв населения.
Имея результаты обследования по слоям, можно характеризовать общество в
целом.
Что представляют собой выборки?
Это ряды чисел.
Более подробно остановимся на основных понятиях, характеризующих ряд
выборки.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n> n1, где n1 –
столько раз наблюдалось появление x1, n 2 - x2 и т.д.
Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность
вариантов, записанных в возрастающем порядке - вариационным рядом.
Числа наблюдений ni называют частотами и ni/n - относительными частотами
(или частостями).
Определение.
вариантами.
Различные
значения
случайной
величины
называются
25
Определение. Вариационным рядом называется ряд, расположенный в
порядке возрастания (или убывания) вариантов с соответствующими им
частотами .
При изучении вариационных рядов наряду с понятиями частоты
используется понятие накопленной частоты. Накопленные частоты для
каждого интервала находятся последовательным суммированием частот всех
предшествующих интервалов.
Определение. Накопление частот называют кумуляцией. Кумулировать
можно частоты вариант и интервалов.
Характеристики ряда могут быть количественные и качественные.
Количественные (вариационные) характеристики – это характеристики,
которые можно выразить числами. Их подразделяются на дискретные и
непрерывные.
Качественные (атрибутивные) характеристики – это характеристики, которые
не выражаются числами.
Непрерывные переменные
действительными числами.
–
это
переменные,
которые
выражаются
Дискретные переменные – это переменные, которые выражаются только
целыми числами.
Выборки характеризуются центральными тенденциями: средним значением,
модой и медианой. Средним значением выборки называют среднее
арифметическое всех её значений. Мода выборки – те её значения, которые
встречаются чаще всего. Медиана выборки – это число, “разделяющее”
пополам упорядоченную совокупность всех значений выборки.
Вариационный ряд может быть дискретным или непрерывным.
Задача
Дана выборка: 1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2;1,2; 4; 2,4.
Это ряд вариантов. Расположив эти варианты в возрастающем порядке, мы
получим вариационный ряд: 1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,0; 3,2; 4; 5.
Среднее значение этого ряда равно 2,4.Медиана ряда 2,25.Мода ряда –1,2.
Дадим определения этим понятиям.
26
Определение. Медианой вариационного ряда называется то значение
случайной величины, которое приходится на средину вариационного ряда
(Ме).
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечетным числом членов называется
число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с
четным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел,
записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется
медиана соответствующего упорядоченного ряда.
Определение. Модой вариационного ряда называют вариант (значение
случайной величины), которому соответствует наибольшая частота (Мо), т.е.
которая встречается чаще других.
Определение. Среднеарифметическим значением вариационного ряда
называется результат деления суммы значений статистической переменной
на число этих значений, то есть на число слагаемых.
Правило нахождения среднеарифметического значения выборки:
 каждую варианту умножить на её частоту (кратность);
 сложить все полученные произведения;
 поделить найденную сумму на сумму всех частот.
Определение. Размахом ряда называется разность между R=xmax -xmin, т.е.
наибольшим и наименьшим значениями этих вариантов.
Проверим, правильно ли мы нашли среднее значение этого ряда, медиану и
моду, опираясь на определения.
Сосчитали число членов, их 12 - чётное число членов, значит надо найти
среднее арифметическое двух чисел записанных посередине, то есть 6 и 7-ой
варианты. (2,1+2,4)\2=2.25 – медиана.
Мода. Модой является 1.2, т.к. только это число встречается 3 раза, а
остальные встречаются меньше, чем 3 раза.
Среднеарифметическое значение находим так:
(1,2*3+1,3+1,8+2,1+2,4*2+3,0+3,2 +4+5)\12=2,4
27
Информация к размышлению
Среднее арифметическое – это условная величина. Реально она не
существует. Реально существует общая сумма. Поэтому среднее
арифметическое не есть характеристика одного наблюдения; она
характеризует ряд в целом.
Среднее значение можно трактовать как центр рассеивания значений
наблюдаемого признака, т.е. значения, около которого колеблются все
наблюдаемые значения, причём алгебраическая сумма отклонений от
среднего, всегда равна нулю, т.е. сумма отклонений от среднего в большую
или меньшую сторону равны между собой.
Среднее арифметическое является абстрактной (обобщающей) величиной.
Даже при задании ряда только из натуральных чисел, среднее значение
может выражаться дробным числом. Пример: средний балл контрольной
работы 3,81.
Среднее значение находится не только для однородных величин. Средняя
урожайность зерновых по всей стране (кукуруза-50-60 ц. с га. и гречиха-по56 ц. с га, рожь, пшеница и т.д.), среднее потребление продуктов питания,
средняя величина национального дохода на душу населения, средний
показатель обеспеченности жильём, средний взвешенный показатель
стоимости жилья, средняя трудоёмкость возведения здания и т.д. – это
характеристики государства как единой народнохозяйственной системы, это
так называемые системные средние.
В статистике широкое применение находят такие характеристики, как мода и
медиана. Их называют структурными средними, т.к. значения этих
характеристик определяются общей структурой ряда данных.
Иногда ряд может иметь две моды, иногда ряд может не иметь моды.
Мода является наиболее приемлемым показателем при выявлении
расфасовки некоторого товара, которой отдают предпочтение покупатели;
цены на товар данного вида, распространённый на рынке; как размер обуви,
одежды, пользующийся наибольшим спросом; вид спорта, которым
предпочитают заниматься большинство населения страны, города, посёлка
школы и т.д.
В строительстве существует 8 вариантов плит по ширине, и более часто
применяются 3 вида:1 м. 1,2 м. и 1,5 м. По длине 33 варианта плит, но чаще
28
других применяются плиты длиной 4,8 м.; 5,7 м. и 6,0 м., мода на плиты чаще
всего встречается среди этих 3-х размеров. Аналогично можно рассуждать и
с марками окон.
Моду ряда данных находят тогда, когда хотят выявить некоторый типичный
показатель.
Мода может быть выражена числом и словами, с точки зрения статистики
мода – это экстремум частоты.
Медиана позволяет учитывать информацию о ряде данных, которую даёт
среднее арифметическое и наоборот.
Задачи .
1. Пример: при изучении учебной нагрузки в классе выделили группу
учащихся из 8 человек. Их попросили отметить в определенный день время
(в минутах), затраченное на выполнение домашнего задания по алгебре.
Получили такие данные: 30, 25, 20,40,35, 40, 45, 60. Имея этот ряд, можно
определить, сколько минут в среднем затратили учащиеся на выполнение
домашнего задания по алгебре. Для этого, указанные числа надо сложить и
сумму разделить на 8. Число36,9, полученное в результате, называют
средним арифметическим, рассматриваемого ряда чисел.
2. В рассмотренном ранее примере мы нашли, что в среднем учащиеся моего
класса затратили на выполнение домашнего задания по алгебре 36,9 минут.
Однако анализ приведенного ряда данных показывает, что время,
затраченное некоторыми учащимися ,существенно отличается от 36,9 минут,
т.е. от среднего арифметического. Наибольший расход равен 60 минут, а
наименьший-20 минут. Разность между наибольшим и наименьшим
расходом времени составляет - 40 минут. В этом случае говорят, что размах
ряда равен 40.
3. Выписали оценки учеников 7 класса по алгебре
Получили такой ряд данных:
за первую четверть.
3,3,4,3,4,3,4,4,3,3,3,3,4,4,4,3,3,4,5,4,3,4,4,4,3,3,5,5,4,5.
Найдем для него моду. Для этого удобно предварительно составить из
полученных данных упорядоченный ряд чисел, т.е. такой ряд, в котором
каждое последующее число не меньше (или не больше) предыдущего.
Получим: 3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4 ,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5
29
Мода ряда равна 4, т.к. число 4 чаще всего встречается в этом ряду. Итак,
типичной для 7класса оценкой является оценка «4».
4.В таблице показан средний балл учащихся школы среднего и старшего
звеньев.
Класс
5а
5б
6а
6б
7а
7б
8а
8б
9а
9б
10а
11а
11б
Ср.балл
3,6
3,5
3,7
3,5
3,7
3,3
3,6
3,3
3,2
3,8
3,3
3,3
3,4
Составим из данных, приведенных в таблице, упорядоченный ряд:
3,2; 3,3; 3,3; 3,3; 3,3; 3,4; 3,5; 3,5; 3,6; 3,6; 3,7; 3,7; 3,8. В полученном
ряду 13 чисел. Не трудно заметить, что в середине ряда расположено число
3,5: слева от него записано 6 чисел и справа тоже 6 чисел. Число 3,5 является
срединным числом, или, иначе, медианой.
5. В этом году, чтобы отобрать детей для участия в школьной олимпиаде,
провели отборочный тур в классе. Участвовали в нем 12 лучших математиков
класса. Результаты в баллах занесли в таблицу.
Имя
Диана
Са
Вла
Оксад на
Саша
Максим
Иго
ш
Дар ша
ь
Лил
Нася тя
Дима
Андрей
а
балл
100
98
45
84
30
72
26
48
58
34
32
68
Так же как в первом случае, представим полученные данные в виде
упорядоченного ряда чисел:26, 30, 32, 34, 45, 48, 58, 68, 72, 84, 98, 100.
В этом числовом ряду четное число членов. Имеется два числа,
расположенные в середине ряда: 48 и 58. Найдем среднее арифметическое
этих чисел:(48+58):2=53. Число 53 , не являясь членом ряда, разбивает этот
ряд на две одинаковые по численности группы: слева от него находится
шесть членов ряда и справа тоже шесть членов ряда. Говорят, что в этом
случае медианой рассматриваемого упорядоченного ряда , а так же
исходного ряда данных, записанного в таблице является число 53.
30