Точка пересечения медиан».

Урок одной задачи.
Большинство геометрических задач допускает решение несколькими способами. Решение
одной задачи разными способами эффективнее, чем решение нескольких задач одним
способом, поскольку способствует более глубокому пониманию и усвоению материала. Этот
урок целесообразно провести в конце 9 класса при повторении, так как при доказательствах
используются многие теоремы планиметрии.
Форма организации учебной деятельности может быть такой: учитель создает группу по 34 человека с равными учебными возможностями. Первый способ решения дан в учебнике, по
которому учатся дети (Л.С. Атанасян и другие, Геометрия 7-9), поэтому его можно дать
ученикам с невысокими учебными возможностями. Другим группам учитель выдает карточку с
кратким планом решения задачи, затем, если понадобиться провести более подробную
консультацию.
Тема урока: «Точка пересечения медиан».
Цель: решить задачу о пересечении медиан треугольника шестью способами.
Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с
серединой противоположной стороны.
Задача: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, причем каждая из них делится этой
точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
1 способ.
В
3
А1
О
1
А
4
2
В1
С
Дано: ΔАВС
АА1, ВВ1 – медианы.
Доказать: АО:ОА1=ВО:ОВ1=2:1
Доказательство:
Проведем среднюю линию А1В1, по свойству средней линии А1В1||АВ,
А1В1= АВ.
Так как А1В1 ||АВ, то <1=<2 накрест лежащие при параллельных прямых АВ и А1В1 и секущей АА1.
<3=<4 накрест лежащие при параллельных прямых А1В1 и АВ и секущей ВВ1.
Следовательно, ΔАОВ~ΔА1ОВ1 по равенству двух углов, значит, стороны пропорциональны:
=
=
= ;
=
=
Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них в
отношении 2:1, считая от вершины, и , следовательно, совпадает с точкой О.
2 способ.
В
М
N
А1
О
С
В1
А
Проведем в ΔВОА среднюю линию МN. По свойству средней линии МN || АВ, МN= АВ
В ΔАВС, А1В1- средняя линия, значит, А1В1 || АВ, А1В1= АВ.
То есть МN || А1В1, МN = А1В1, следовательно, четырехугольник МА1В1N – параллелограмм, его
диагонали МВ1 и А1N пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
То есть МО=ОВ1, NО=ОА1.
Но АN=NО и NО=ОА1, то есть АО:ОА1=2:1.
Так как ВМ=МО и МО=ОВ1, то есть ВО:ОВ1=2:1.
Аналогично доказывается, что
ВО:ОВ1=СО:ОС1=2:1.
3 способ.
В
А1
О
С
А
L
N
В1
Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А. Докажем, что медиана
ВВ1 проходит через точку О.
Пусть К – середина отрезка АО, тогда АК=КО=ОА1.
Пусть В1 – точка пересечения прямых ВО и АС. Достаточно доказать, что АВ1=В1С.
Через точки К и А1 проведем прямые, параллельные ВО, КL || ВО, А1N|| ВО.
Так как АК=КО=ОА1, по теореме Фалеса АL=LВ1=В1N;
Так как В1А1=А1С, по теореме Фалеса В1N=NС, то есть АL=LВ1=В1N= NС, то есть АВ1=В1С.
То есть медиана ВВ1 проходит через точку О. Если в рассуждении заменить отрезок ВВ1 на
отрезок СС1, то мы получим, что и СС1 проходит через М. Все три медианы пересекаются в одной
точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1.
4 способ.
В
А1
О
С
В1
А
Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А.
Рассмотрим ΔСАО и ΔСА1О, их высоты, опущенные из вершины С совпадают, тогда площади
треугольников относятся как их основания:
=
=
следовательно, SΔСАО=2SΔСА1О
Аналогично, SΔВАО=2SΔВА1О .
Рассмотрим ΔСА1О и ΔВА1О, они имеют общую высоту, проведенную из вершины О, значит, их
площади относятся как их основания:
=1, так как СА1=ВА1.
=
Следовательно, SΔСАО=SΔВАО= SΔСОВ , так как SΔСОВ = SΔВОА1 + SΔСОА1=2 SΔВОА1 = SΔВАО .
Пусть В1 – точка пересечения прямых ВО и АС. Докажем, что АВ1=В1С.
Так как
=
Пользуясь теоремой:
и
=
, следовательно,
=
=
.
=
=
=1
то есть АВ1=СВ1.
5 способ.
А
В1
О
С
В
А1
Пусть СВ1=В1А.
Пусть точка О лежит на медиане АА1, причем АО:ОА1=2:1, то есть АО= АА1
ВО=ВС+СА+АО=ВС+СА+ АА1=ВС+СА+ (АС+СА1)=ВС+СА+ АС+ СА1=ВС+СА- СА+
СВ=ВС+СА-
СА- ВС= ВС+ СА= (ВС+ СА)= (ВС+СВ1)= ВВ1
ВО= ВВ1
Следовательно, точка О лежит на медиане ВВ1, причем, АО:ОА1=ВО:ОВ1=2:1.
6 способ.
А
В’
2
1
С
А1
В
Пусть точка О делит медиану АА1 в отношении 2:1, считая от вершины А, то есть АО:ОА1=2:1.
Рассмотрим ΔАВ'В;
=
АВ'=
ΔСВ'В, по теореме синусов
СВ'=
:
Так как
=
, то имеем
Рассмотрим ΔАОВ, по теореме синусов:
=
АО=
Рассмотрим ΔА1ОВ, по теореме синусов
=
А1О=
:
так как
=
,
=
=
=2
так как АО: А1О=2:1
2
=2
=
=
2
, то есть
ВВ' – медиана и она проходит через точку О.
, так как 2А1В=СВ
Тема урока: «Свойство биссектрисы треугольника».
Цель: решить задачу на свойство биссектрисы треугольника девятью способами.
Определения. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий его на
два равных угла.
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла
треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой
треугольника.
Задача. Доказать, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки,
пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
1 способ.
А
2
Доказать:
1
Доказательство:
Н
В
=
С
D
ΔАВD и ΔАСD имеют общую высоту АН, поэтому
площади относятся как их основания
(1)
Эти треугольники имеют по равному углу, их площади относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы
=
(2)
или
2 способ.
Доказать:
С
Доказательство:
Если ΔАСВ – равнобедренный, то АС=СВ, АD=DВ
F
А
D
E
В
=1 ;
=1.
=
или
Рассмотрим общий случай, когда АССВ.
Опустим перпендикуляр АF и ВF из вершин А и В на прямую СD.
ΔАСF ~ ΔВСЕ по равенству двух углов, так как
<АСF=<ВСЕ (по условию)
<АFС=<ВЕС=900.
Значит,
=
(1)
ΔАDF ~ ΔВDЕ по равенству двух углов =>
Сравнивая (1) и (2) получим
=
или
=
(2)
=
3 способ.
С
Доказать:
Доказательство:
А
D
В
Построим на луче СD точку Е такую, что
ВD=ВЕ.
Δ DВЕ – равнобедренный, => <ВDЕ=<ВЕD
E
ΔАСD ~ ΔВСЕ (по равенству двух углов)
, но ВЕ=ВD, имеем
4 способ.
Но <ВDЕ=<АDС
<АDС=<ВЕD
(вертикальные)
=>
С
Доказать:
Доказательство:
Построим на луче СD такую точку Е, что АЕ=АС.
А
D
В
ΔАСЕ – равнобедренный, => <АСЕ=<АЕС
Но <АСЕ=<ВСD => <ВСD=<АЕС.
Е
ΔАЕD ~ ΔВСD по равенству двух углов
=>
, но АЕ=АС, поэтому
или
5 способ.
С
Доказать:
F
Доказательство:
А
D
Проведем через точку D прямую DF || АС.
В
Для <АВС по теореме о пропорциональных отрезках
(задача № 556, учебника А.С. Атанасян и другие, Геометрия 7-9):
или
(1)
ΔВАС ~ ΔВDF (по равенству двух углов):
<В – общий,
<ВАС=<ВDF соответственные при параллельных прямых.
или
=
(2)
<АСD=<СDF накрест лежащие при параллельных прямых АС и DF и секущей СD, но <АСD=<DСF =>
<DСF=<СDF => Δ СDF – равнобедренный => СF=DF.
В равенстве (2) заменим DF на СF.
Имеем,
Сравнивая (1) и (2)
(3)
=
или
6 способ.
С
Доказать:
Доказательство:
M
K
ΔACD и ΔBCD имеют общую
высоту СN, значит их площади
В
D
А
N
=
относятся как основания
(1)
В этих треугольниках проведем высоты из вершины D к сторонам АС и СВ.
Точка D лежит на биссектрисе СD угла АСВ, значит, точка D равноудалена от сторон угла АСВ, то
есть DК=DМ.
=
(2)
Сравним равенства (1) и (2) имеем
или
7 способ.
Доказать:
С
Доказательство:
Вокруг ∆АВС опишем окружность
продолжим
CD
до
пересечения
окружностью в точке Е.
и
с
<АСЕ=<АВЕ, вписанные, опирающиеся на
дугу АЕ;
D
В
А
E
<АЕС=<АВС, вписанные, опирающиеся на
дугу АС.
<САВ=<СЕВ, вписанные, опирающиеся на
дугу СВ.
<ЕСВ=<ЕАВ, вписанные, опирающиеся на дугу ВЕ.
∆АСЕ ~ ∆DСВ по равенству двух углов, =>
=> АС*DB=DC*АЕ
(1)
∆ВСЕ ~ ∆DСА по равенству двух углов, =>
=> ВС*DА=DC*ВЕ
(2)
∆АВЕ – равнобедренный => АЕ=ВЕ
В равенстве (1) заменим АЕ на ВЕ
Имеем АС*DB=DC*ВЕ
(3)
Сравнивая (2) и (3) имеем
АС*DB=BC*DA
Поделим обе части на ВС*ВD, получим,
или
.
8 способ.
Доказать:
С
Доказательство:
M
K
Проведем через точку D две прямые DM || AC,
DK || CB.
D
А
В
СМDК – параллелограмм.
<КСD=<МDC накрест лежащие при параллельных
прямых КС и DM,
<КDС=<МCD накрест лежащие при параллельных прямых СМ и DК,
так как <КСD=<МCD, то <КDС=<МCD, то есть СD – биссектриса противолежащих углов С и D, значит,
КСМD – ромб, и у него КС=СМ=МD=DК.
∆АКD ~ ∆DМВ по равенству двух углов
=>
(1)
∆АСВ ~ ∆DМВ =>
то есть
, но DM=KD
(2)
Сравнивая (1) и (2) имеем
9 способ.
или
.
Доказать:
Е
С
Доказательство:
Через точки А и D проведем прямые, параллельные DC
и ВС, они пересеклись в точке Е, то есть АЕ || DC,
О
DE || BC.
А
В
D
<ВСD=<СDE накрест
прямых СВ и DE.
<АСD=<ЕАС
накрест
лежащие
при параллельных
лежащие
при
прямых АЕ и СD.
<СDЕ=<DEА накрест лежащие при параллельных прямых АЕ и СD и секущей ЕD.
<АСD=<ВСD (по условию)
Значит, все углы в четырех парах равны между собой.
∆АЕО – равнобедренный => АО=ОЕ,
∆СОD – равнобедренный => DO=OC
∆AED ~ ∆DCB по равенству двух углов
=>
(1), но ED=EO+OD
но EO=AO, OD=OC
ED=AO+OC=AC
Заменим в равенстве (1) ED на AC
или
.
параллельных