(DOCX, 102KB)

Часть 2. Модуль «Геометрия».
24. Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 13° и 17°. Найдите ВС, если радиус
окружности, описанной около треугольника АВС, равен 6.
Решение. Пусть в Δ АВС ∠АВС = 13° и ∠АСВ = 17°, тогда третий
угол — ∠ВАС = 180°-(13°+17°) = 150°. Около Δ АВС описана окружность с центром в точке О и
радиусом R=ОВ=6. Требуется найти сторону ВС. Вспомним теорему синусов. Стороны любого
треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
Нам понадобится следствие к этой теореме:
и каждое из отношений равно диаметру окружности, описанной около данного треугольника, т.е.
Отсюда BC = 2R ∙ sin150° = 2 ∙ 6 ∙ sin(180°-30°) = 12 ∙ sin30°=12 ∙ 0,5 = 6. Ответ: 6.
25. Внутри параллелограмма ABCD отметили точку M. Докажите, что сумма площадей треугольников
АВМ и CDM равна площади треугольника BCD.
Решение. Проведем через точку М общий перпендикуляр KN
параллельных сторон АВ и СD. Заметим, что МК является высотой треугольника АВМ, MN –
высотой треугольника CDM, а KN можно считать высотой треугольника BCD, так как длина
перпендикуляра, проведенного из точки В к стороне CD, будет равна KN.
Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к данной
стороне.
Сложим площади треугольников АВМ и CDM, и в результате получим площадь треугольника BCD,
что и требовалось доказать. На самом деле, так как AB=CD (противолежащие стороны
параллелограмма равны), то:
26. Углы при одном из оснований трапеции равны 23° и 67°, а отрезки, соединяющие середины
противоположных сторон, равны 15 и 8. Найдите основания трапеции.
Решение. Замечаем, что 23° + 67° = 90°, а это означает, что продолжения боковых сторон трапеции,
пересекаясь, образуют прямой угол.
Итак, в трапеции ABCD ∠BAC=23°, ∠ADC=67°,
M – середина АВ, N – середина CD и длина MN = 15.
E – середина ВС, F – середина AD и длина EF = 8. Пусть отрезки MN и EF пересекаются в точке О, а
продолжения боковых сторон трапеции АВ и CD – в точке К.
Требуется найти основания трапеции AD и BC. Так как треугольник MKN является прямоугольным,
то его медиана KO равна половине гипотенузы MN, т.е. KO=MN:2=15:2=7,5. Так как MN – средняя
линия трапеции, то она делит пополам и отрезок EF, поэтому, EO=EF:2=8:2=4. Отрезок KE=KOEO=7,5-4=3,5, тогда KF=EF+KE=8+3,5=11,5. Так как треугольник АКD является прямоугольным, то
KF – медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине
гипотенузы AD. Так как KF =11,5, то AD=2∙KF=2∙11,5=23. Средняя линия трапеции равна полусумме
её оснований, следовательно, AD+BC=2∙MN=2∙15=30, и ВС=30-AD=30-23=7. Ответ: основания
трапеции AD=23, BC=7.