МОДУЛЬ I

МОДУЛЬ «Линейная алгебра»
Лекция 1. Матрицы.
1. Для каких матриц вводится операция умножения?
а) когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй
матрицы.
б) одинаковых размеров
в) когда число строк первой матрицы равно числу столбцов второй
матрицы
г) когда число строк первой матрицы равно числу строк второй матрицы
д) когда число столбцов первой матрицы равно числу столбцов второй
матрицы.
2. Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то
матрица называется …
а) единичной; б) диагональной; в) нулевой; г) прямоугольной; д) матрицейстрокой.
3. Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы,
стоящие
1. не на главной диагонали, равны нулю;
2. на главной диагонали, равны нулю;
3. ниже главной диагонали, равны нулю;
4. выше главной диагонали, равны нулю;
5. на второй диагонали, равны нулю.
4. Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы,
стоящие
1. не на главной диагонали, равны нулю;
2. на главной диагонали, равны нулю;
3. ниже или выше главной диагонали, равны нулю;
4. ниже или выше второй диагонали, равны нулю;
5. на второй диагонали, равны нулю.
5. Какое действие нельзя производить над матрицами?
1) сложение матриц; 2) умножение матрицы на число; 3) умножение матриц;
4) деление матриц
Лекция 2. Определитель матрицы.
1. Определителем матрицы называется
1) таблица чисел; 2) перечень элементов матрицы; 3) число, вычисленное
по определенному правилу; 4) наибольший элемент матрицы.
2. Определитель существует для:
1) любой матрицы; 2) квадратной матрицы; 3) симметричной матрицы;
4) прямоугольной матрицы.
3. Элементы определителя а11 , a22 ,..., ann образуют
1) i – ый столбец; 2) i – ую строку; 3) главную диагональ; 4) побочную
диагональ.
4. Элементы определителя аi1 , ai 2 ,..., ain образуют
1) i – ый столбец; 2) i – ую строку; 3) главную диагональ;
4) побочную диагональ.
5. Элементы определителя а1i , a2i ,..., ani образуют
1) i – ый столбец; 2) i – ую строку;
3) главную диагональ; 4) побочную
диагональ.
6. Элементы определителя а1n , a2n1 ,..., an1 образуют
1) i – ый столбец; 2) i – ую строку; 3) главную диагональ; 4) побочную
диагональ.
7. Определитель 3-го порядка можно вычислять:
1) по правилу треугольников; 2) разложением по элементам какой-нибудь
строки или какого-нибудь столбца; 3) приведением к треугольному виду;
4) по правилу: произведение элементов главной диагонали минус
произведение элементов побочной диагонали.
8. Определитель n-го порядка можно вычислять:
1) по правилу треугольников;
2) разложением по элементам какой-нибудь строки или какого-нибудь
столбца;
3) приведением к треугольному виду;
4) по правилу: произведение элементов главной диагонали минус
произведение элементов побочной диагонали.
Лекция 3. Обратная матрица. Ранг матрицы.
1. Матрица, определитель которой равен 0, называется ……
1) невырожденной 2) вырожденной 3) обратной 4) транспонированной
2. Матрица В называется обратной к матрице А, если
1) А  В  В  А  Е ; 2) А  В  В  А ; 3) А  В  Е ; 4) А  В  Е
3. Для какой матрицы существует обратная
1) невырожденной
2) транспонированной
3) канонической
4) вырожденной
4. Матричное уравнение А  Х  В имеет
1) одно решение; 2) два решения;
3) бесконечное множество решений; 4) или одно, или ни одного решения.
5. Какие уравнения равносильны?
1) А  Х  В и Х  А1  В ; 2) А  Х  В и Х  В  А1 ;
3) А  Х  В и Х  А  В 1 ; 4) А  Х  В и Х  В 1  А
6. Рангом матрицы А называется
1) определитель матрицы А; 2) наименьший из порядков ее миноров, не
равных нулю; 3) наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля;
4) наибольшее алгебраическое дополнение элементов матрицы; 5)
наименьшее алгебраическое дополнение элементов матрицы.
7. Ранг матрицы может быть
1) равен нулю; 2) меньше нуля; 3) равен 2,5; 4) равен 2/5.
Лекция 4. Исследование и решение СЛАУр
1. Если ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы,
то система уравнений:
а) совместна
б) имеет единственное решение
в) не совместна
г) имеет множество решений
д) имеет нулевое решение
2. Система однородных уравнений имеет ненулевые решения если…
а) r < n
б) r = n
в) r > n
г) r  n
д) Δ  0
3. Система из трех уравнений с тремя переменными, заданная в матричном
виде АХ = В, несовместна в следующих случаях:
1) r(A) = r(A/B) = 3; 2) r(A) = r(A/B) =2; 3) r(A) = 2, r(A/B) = 3;
4) r(A) = r(A/B) = 1; 5) r(A) = 1, r(A/B) = 2.
Выберите верные варианты ответов.
4. Если при решении системы уравнений методом Крамера определитель
системы равен нулю, то система
а) имеет бесконечное множество решений или не имеет решения
б) имеет бесконечное множество решений
в) не имеет решения
г) имеет нулевое решение
д) имеет единственное решение
5. Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет
единственное решение, если определитель, составленный из коэффициентов
при неизвестных системы:
1). равен 1
2). равен 0
3). не равен 0
4). не равен 1
6. Для системы n уравнений с n неизвестными  - определитель системы,  i определитель, полученный из  заменой i-столбца столбцом свободных
коэффициентов. Установить соответствие:
1)   0,
а) система имеет бесконечное множество решений,
2)  =0, хотя бы один  i  0 , б) система имеет единственное решение,
3)  =0, все  i =0.
в) система не имеет решения.
7. Если при решении системы уравнений методом Гаусса расширенная
матрица приведена к ступенчатому виду и содержит нулевую строку, то
система
а) имеет бесконечное множество решений
б) имеет единственное решение
в) не имеет решения
г) имеет нулевое решение
д) имеет бесконечное множество решений или не имеет решения
Модуль «Векторная алгебра.
Лекция 1.
1. Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой,
называются
1) коллинеарными; 2) компланарными; 3) равными; 4) ортогональными.
2. Какие операции над векторами можно выполнять?
1) сложение векторов; 2) вычитание векторов; 3) деление векторов; 4)
умножение вектора на число; 5) деление вектора на число.
3. Сложение векторов, заданных своими координатами, производится по
правилу:
1) a  b  a x  bx ; a y  by ; a z  bz ; 2) a  b  a x  bx ; a y  by ; a z  bz  ;




3) a  b  bx  a x ; by  a y ; bz  a z  ; 4) a  b  a x  bx ; a y  by ; a z  bz 




4. Установить соответствие между рисунками и векторными равенствами:
   
abc= 0;
a)
   
abc= 0;
b)
   
abc= 0;
c)
   
abc= 0.
d)
5. Установить соответствие между рисунками и векторными равенствами:
   
a bc= 0;
a)
   
abc= 0;
b)



   
abc= 0;
c)
   
abc= 0.
d)

6. Длина вектора a  x i  y j  z k находится по формуле:
1) а  х 2  у 2  z 2 ; 2) a  x 2  y 2  z 2 ; 3) а  х  у  z ; 4) a  x  y  z
7. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением


вектора а , называется … вектора а .
Лекция 2-3.


1. Произведение длин двух ненулевых векторов a и b на косинус угла между
ними называется …….
1) смешанным 2) скалярным 3) векторным

2. Если угол φ – угол между векторами а и


в , то скалярное произведение

двух векторов а и в вычисляется по формуле:
 


 


1) а в  а  в  cos  ;
4) а в  а  в ;
 


 


2) а в  а  в  sin  ;
 


3) а в  а  в  tg ;
5) а в  а  в  ctg
3. С помощью скалярного произведения векторов можно вычислить:
1) площадь параллелограмма; 2) работу силы; 3) объем параллелепипеда;
4) проекцию одного вектора на другой; 5) момент силы.


4. Векторным произведением двух векторов а и b называется:
1) произведение длин этих векторов на косинус угла между ними;
2) произведение длины одного вектора на проекцию другого вектора на
направление первого;

3) вектор с , перпендикулярный данным векторам, образующий с ними

правую тройку, длина вектора с равна площади параллелограмма,
построенного на этих векторах.
5. Если векторы a и b коллинеарны, то их векторное произведение a  b
равно
1) единичному вектору i
2) нулевому вектору
3) не существует
4) произведению a  b
6. С помощью векторного произведения векторов можно вычислить:
1) площадь параллелограмма; 2) работу силы; 3) объем параллелепипеда;
4) проекцию одного вектора на другой; 5) момент силы.
7. Условие перпендикулярности двух векторов:
 






1) а  b  0 ; 2) а b  0 ; 3) а  b  0 ; 4) а  b  0
8. Условие коллинеарности двух векторов:
 






1) а  b  0 ; 2) а b  0 ; 3) а  b  0 ; 4) а  b  0
9. Какие из равенств равносильны?






А) а  b и  а   b




В) а  b и а  c  b  c
1) А),Б)
2) Б),В)


 



 
Б) а  b и а c  b  c



Г) а  b и а c  b c
3) А),В)
4) Б),Г)
5) В),Г) 6) А),Г)
10. Установить соответствие.
1) скалярное произведение
а) одноименных ортов = 1,
разноименных ортов = 0.
2) векторное произведение
б) одноименных ортов = 0,
разноименных ортов =1.
в) и одноименных ортов = 1,
и разноименных ортов = 1.
г) и одноименных ортов = 0,
и разноименных ортов = 0.
д) одноименных ортов = 0,
разноименных ортов =
третьему орту со знаком «+» или «-».












11. Даны векторы a  x1 i  y1 j  z1 k , в  x2 i  y 2 j  z 2 k , с  x3 i  y3 j  z 3 k .
Установить соответствие.
1) скалярное произведение



i
j
k
а) а в  x1
y1
z1
x2
y2
z2


 
2) векторное произведение
б) a b  x1 x2  y1 y 2  z1 z 2
3) смешанное произведение
в)   а  х1  у1  z1
4) произведение вектора на число

x1
y1
z1
г) a b c  x2
y2
z2
x3
y3
z3

12. Смешанное произведение векторов равно нулю, если векторы
1) компланарны
2) коллинеарны
3) ортогональны
13. С помощью смешанного произведения векторов можно вычислить:
1) площадь параллелограмма; 2) работу силы; 3) объем параллелепипеда;
4) проекцию одного вектора на другой; 5) момент силы.
Модуль «Аналитическая геометрия»
Лекция 1
1. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении имеет
вид:
а ) Ах+Ву+С=0; б)
г)
х у
  1 ; в) y-yo=k(x-xo);
а b
y  y1
x  x1
; д) y=kx+b

y 2  y1 x2  x1
2.Уравнение прямой в отрезках имеет вид:
а) Ах+Ву+С=0
г)
б)
y  y1
x  x1

y 2  y1 x2  x1
х у
 1
а b
в) y-yo=k(x-xo)
д) y=kx+b
3 Уравнение прямой, проходящей через две данные точки Ах1 ; у1  и Вх2 ; у2  ,
имеет вид:
1)
y 2  y1 x  x1`

x2  x1 x2  x1
2) y  y1  k x  x1 
4)
y 2  y1
 y  y1
x2  x1
5)  y  y1 x  x1   0
3) y  kx  b
4. Если общее уравнение прямой имеет вид Ax + By = 0 , то данная прямая:
1) параллельна оси Oy
2) совпадает с осью Oy
3) параллельна оси Ox
4) проходит через начало координат
5. Прямые заданы уравнениями А1 х  В1 у  С1  0 и А2 х  В2 у  С2  0 .
Если
А1 В1
, то

А2 В2
1) прямые не имеют общей точки, т.е. параллельны;
2) прямые имеют бесконечное множество общих точек, т.е. совпадают;
3) имеется единственная точка пересечения прямых.
6. Если прямые заданы уравнениями y  k1 x  b1 и y  k 2 x  b2 ,
то угол  между ними вычисляется по формуле
1) tg 
k 2  k1
k k
; 2) tg  2 1 ;
1  k1k 2
1  k1k 2
3) tg 
k 2  k1
k k
; 4) tg  2 1
1  k1 k 2
1  k1 k 2
7. Для каких прямых справедливо следующее соотношение угловых
коэффициентов k1  
1
:
k2
1) параллельных
2) перпендикулярных
3) скрещивающихся 4) пересекающихся
8. Для каких прямых справедливо следующее соотношение угловых
коэффициентов k1  k 2 :
1) параллельных
2) перпендикулярных
3) скрещивающихся 4) пересекающихся
9. Если две прямые с угловыми коэффициентами k1 и k2 параллельны, то их
угловые коэффициенты связаны соотношением:
1) k1 
1
k2
2) k1  k 2 3) k1  
1
k2
4) k1  k 2
5) k1  k 2  2
10. Если две прямые с угловыми коэффициентами k1 и k2 перпендикулярны,
то их угловые коэффициенты связаны соотношением:
1) k1 
1
k2
2) k1  k 2 3) k1  
1
k2
4) k1  k 2 5) k1  k 2  2
Лекция 2.
1.
Если
две
параллельны, то
плоскости
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
1) A1 A2  B1 B2  C1C2  0 ; 2)
3)
A1 B1 C1
;


A 2 B2 C2
A1 B1 C1 D1
A
B
C
; 4) 1  1  1



A 2 B2 C 2 D2
A 2 B2 C2
2. Угол между двумя плоскостями находится по формуле
1) cos  
2) sin  
3) sin  
A1 A2  B1 B2  C1C 2
;
A12  B12  C12 A22  B22  C 22
Am  Bn  Cp
A  B2  C 2 m2  n2  p2
2
;
m1 m2  n1 n2  p1 p 2
m12  n12  p12 m22  n22  p 22
3. Найти соответствие между утверждениями относительно двух плоскостей
A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 , A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 и их признаками:
1) плоскости параллельны;
а) A1 A2  B1 B2  C1C2  0 ;
2) плоскости перпендикулярны; б)
3) плоскости пересекаются; в)
4) плоскости совпадают; г)
A1 B1 C1
;


A 2 B2 C2
A1 B1 C1 D1



A 2 B2 C 2 D2
A1 B1 C1


A 2 B2 C2
4. Найти соответствие между утверждениями относительно двух прямых
x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y 2 z  z 2
,
и их признаками:




m1
n1
p1
m2
n2
p2
1) прямые параллельны;
а) m1m2  n1n2  p1 p2  0 ;
2) прямые перпендикулярны;
б)
m1 n1
p

 1;
m 2 n2 p 2
3) прямые пересекаются;
в)
m1 n1
p

 1
m 2 n2 p 2
5 Угол между двумя прямыми находится по формуле
A1 A2  B1 B2  C1C 2
1) cos  
A  B12  C12 A22  B22  C 22
2
1
Am  Bn  Cp
2) sin  
A2  B 2  C 2 m 2  n 2  p 2
;
m1 m2  n1 n2  p1 p 2
3) sin  
m  n12  p12 m22  n22  p 22
2
1
Если
6.
;
две
x  x1 y  y1 z  z1
,


m1
n1
p1
прямые
x  x2 y  y 2 z  z 2


m2
n2
p2
перпендикулярны, то:
1) m1m2  n1n2  p1 p2  0 ; 2)
7. Если две прямые
m1 n1
p
m
n
p

 1 ; 3) 1  1  1
m 2 n2 p 2
m 2 n2 p 2
x  x1 y  y1 z  z1 x  x2 y  y 2 z  z 2
,
параллельны,




m1
n1
p1
m2
n2
p2
то:
1) m1m2  n1n2  p1 p2  0 ; 2)
m1 n1
p
m
n
p

 1 ; 3) 1  1  1
m 2 n2 p 2
m 2 n2 p 2
8. Найти соответствие между утверждениями относительно двух плоскостей
A x B y  C z  D
1
1
x x
0
m
=
1
yy
n
0
1
=
= 0 (1),
zz
0
p
A x B y  C z  D
2
2
2
2
= 0 (2), прямой
и их признаками:
1) плоскости параллельны;
а) A1 A2  B1 B2  C1 C2 = 0;
2) плоскости перпендикулярны;
б)
3) плоскость (1) и прямая параллельны;
в)
4) плоскость (1) и прямая перпендикулярны; г)
A
A
1
=
2
B
1
=
B
2
C
1
;
C
2
A m B n  C p
1
A
1
m
1
=
B
1
n
1
=
C
1
p
.
= 0;
9. Найти соответствие между утверждениями относительно прямой
x  x0 y  y 0 z  z 0


, плоскости Ax  By  Cz  D  0 и их
m
n
p
признаками:
1) прямая и плоскость параллельны;
а)
A B C
 
m n p
2) прямая и плоскость перпендикулярны; б) Am  Bn  Cp  0
3) прямая пересекает плоскость;
в) Am  Bn  Cp  0
Лекция 3.
1. Каноническое уравнение окружности имеет вид:
1)
x2 y2
x2 y2
x2 y2
;
2)
;
3)

 1 ;


1


1
a2 b2
a2 b2
a2 b2
4) x  a 2   y  b 2  R 2 5) y 2  2 px
2. Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
1)
x2 y2
x2 y2
x2 y2
;
2)
;
3)

 1 ;


1


1
a2 b2
a2 b2
a2 b2
4) x  a 2   y  b 2  R 2 ; 5) y 2  2 px
3. Эксцентриситет эллипса находится по формуле:
а
с
с
а
b
с
а
b
1)   ; 2)   ; 3)   ; 4)   ; 5)  
b
a
4. Эксцентриситет эллипса 1)   1 ; 2)   1; 3)   1 .
5. Для эллипса длины полуосей и полуфокусное расстояние связаны
соотношением:
1) с 2  a 2  b 2 ; 2) с 2  a 2  b 2 ; 3) с 2  a 2 b 2 ;
4) с  a  b ; 5) с  a  b
6. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
1)
x2 y2
x2 y2
x2 y2
;
2)
;
3)

 1 ;


1


1
a2 b2
a2 b2
a2 b2
4) x  a 2   y  b 2  R 2 5) y 2  2 px
7. Для гиперболы длины полуосей и полуфокусное расстояние связаны
соотношением:
1) с 2  a 2  b 2 ; 2) с 2  a 2  b 2 ; 3) с 2  a 2 b 2 ;
4) с  a  b ; 5) с  a  b
8. Эксцентриситет гиперболы 1)   1 ; 2)   1; 3)   1 .
9. Каноническое уравнение параболы имеет вид:
1)
x2 y2
x2 y2
x2 y2
;
2)
;
3)

 1 ;


1


1
a2 b2
a2 b2
a2 b2
4) x  a 2   y  b 2  R 2 5) y 2  2 px
10. Если фокус параболы лежит на оси Оу, то уравнение параболы имеет вид:
1) y 2  2 px ; 2) х 2  2 ру ; 3) y  2 px ; 4) х  2 pу
Модуль «Функция. Непрерывность. Пределы»
Лекция 1-2.
1. Множество значений переменной х, при которых функция имеет смысл,
называется …
1) областью определения функции 2) областью значений функции
3) графиком функции 4) областью возрастания функции
5) областью убывания функции.
2. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x 0 кроме,
может быть, самой точки x 0 . Если для любой последовательности
сходящейся к x 0 ( xn  x0 для любого n ), последовательность
 xn  ,
 f ( xn )
соответствующих значений функции сходится к A, то число А называется:
1) производной функции f (x) в точке x 0
2) пределом функции f (x) в точке x 0
3) точкой разрыва I рода функции f (x)
4) бесконечно малой более высокого порядка, чем x 0
f ( x)  f (a  0) ,
3. Если существуют конечные пределы lim f ( x)  f (a  0) и xlim
a 0
xa 0
причем не все три числа f(a), f(a-0), f(a+0) равны между собой, то a
называется …1) точкой разрыва II рода 2) точкой разрыва I рода 3) скачком
функции
4. Если существует значение функции в данной точке, которое равно
значениям односторонних пределов в этой точке, то функция в этой точке
является
1) непрерывной
2) обратной
3) разрывной
5. Произведение двух бесконечно малых и бесконечно большой величин
является:
1) бесконечно малой величиной; 2) бесконечно большой
величиной; 3) неопределенностью.
Модуль «Дифференциальное исчисление»
Лекция 1.
1. Пусть функция y  f (x) определена в некоторой окрестности точки
x0.Предел отношения приращения y функции в этой точке к приращению
x аргумента, когда x  0 , называется ………..функции f(x) в точке x0.
1) дифференциалом 2) производной 3) касательной
2.
Пусть С – константа, u (x) и v (x) имеют производные в некоторой точке
x. Выберите номер неверного утверждения:
1). Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической
сумме производных этих функций:
2).
Производная
произведения
(u  v)  u   v  .
двух
функций
равна
произведению
производных этих функций: (u  v)  u   v  .
3). Постоянный множитель можно выносить за знак производной функции:
(C  u )  C  u  .
4). Производная постоянной величины равна нулю: (C )  0 .
1). 1
2). 2
3). 3
4). 4
3. Формула производной произведения двух функций имеет вид:
1) uv   u  v 2) uv   uv  uv 3) uv  
uv  uv
v2
4) uv   uv  uv 5) uv   uv  uv
4. Формула производной частного двух функций имеет вид:

 u  u
1)   
v
v


u  u v  uv 
u

2)    u v  uv  3)   
v2
v
v

 u  u v  uv 
4)   
v2
v

 u  u v  uv 
5)   
v
v
5. Производная сложной функции находится по правилу:
1)  f ( ( x))   f  ( x)  ( x) 2)  f ( ( x))   f  ( x)  ( x)
3)  f ( ( x))   f  ( x)  4)  f ( ( x))   f  ( x)  ( x)
6. Производная от функции, заданной параметрически, вычисляется по
формуле:
x
y
1) yx  t 2) yx  t 3) yx  xt  yt 4) yx  xt  yt  xt  yt
yt
xt
Лекция 2.
1. Уравнение касательной в точке М ( х0 ; у0 ) имеет вид:
1) у  f ( x0 )( x  x0 ) 2) у  y0  f ( x0 )( x  x0 )
3) у  y0  f ( x0 ) x
4) у  f ( x0 ) x  y0
2. Правило Лопиталя выражается формулой:
1)
lim
x  x0
3) xlim
x
0
f ( x)
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)
f ( x)
f ( x) g ( x)
 lim
lim

lim
2)
x  x0 g ( x)
x  x 0 g ( x ) f ( x )
g ( x) x  x0
g 2 ( x)
f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x) x  x0 g ( x)
4) xlim
x
0
f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x) x  x0 g ( x)
5) xlim
x
0
f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x) x  x0 g ( x)
3. Какое из приведенных утверждений является неверным:
1) в точке экстремума производная функция равна нулю или не существует;
2) в точке экстремума функция меняет знак;
3) в точке экстремума производная меняет знак;
4) в точке, в которой производная равна нулю или не существует, может не
быть экстремума?
4. Если в точке х0 первая производная обращается в нуль, то х0 – это точка
1) максимума
2) экстремума
3) минимума
4) перегиба
5. Следующее утверждение из перечисленных является всегда верным:
1) в точке перегиба всегда существует конечная 1-я производная;
2) в точке перегиба существует конечная 2-я производная;
3) точка перегиба является точкой экстремума 1-й производной функции;
4) точка перегиба является точкой экстремума 2-й производной функции.
Модуль «Неопределенный интеграл»
Лекция 1-2
1. Первообразная функции f(x) существует на данном интервале (a,b), если
функция f(x) …… на этом интервале
1) имеет разрыв
2) непрерывна
3) является убывающей
2. Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется:
1) определённым интегралом от функции f (x) ;
2) неопределённым интегралом от функции f (x) ;
3) производной функции f (x) .
3. Выберите номер неверного утверждения:
1). Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого
интеграла.
2). Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен
алгебраической сумме неопределённых интегралов от этих функций.
3). Неопределённый интеграл от произведения функций равен произведению
неопределённых интегралов от этих функций.
4. Какое из свойств неопределенного интеграла неверно:
А)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Б) d  f ( x)dx  f ( x)dx
В)  dF ( x)dx  F ( x)  C
Г)   f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx
5. Дифференциал от неопределенного интеграла равен   .
6. Производная неопределенного интеграла равна   .
7. Одним из методов вычисления неопределенного интеграла является
1) формула Ньютона-Лейбница
2) формулы Крамера
3) формула интегрирования по частям
8. Формула  udv  uv   vdu является формулой
1)
замены
переменной
2)
интегрирования
по
частям
3) интегрирования тригонометрических функций
9. Метод неопределенных коэффициентов заключается в
1) сравнении коэффициентов при одинаковых степенях переменных
2) разложении знаменателя на линейные множители
3) представлении правильной дроби в виде суммы элементарных дробей
Модуль «Определенный интеграл»
Лекция 1.
1. Предел интегральных сумм Sn при условии, что длина наибольшего
частичного отрезка xi стремится к нулю, называется
1)
неопределенным
интегралом
2)
определенным
интегралом
3) дифференциалом
2.
Если
в
определённом
интегрирования, то:
интеграле
поменять
местами
пределы
1) значение определённого интеграла не изменится;
2) определённый интеграл поменяет свой знак на противоположный,
сохраняя абсолютную величину;
3) определённый интеграл будет равен нулю.
3. Если функция у  f(x) непрерывна на отрезке a ; b и F(x) - какая-либо ее
первообразная на a ; b, то имеет место формула  .
4. Какая из формул является формулой Ньютона-Лейбница:
а)
в)

b
а

b
а
udv  uv
b
a
b
  vdu
a
б)
b

а
f ( x)dx F (b)  F (a)

f ( x)dx  f ( (t )) ' (t )dt
г)

b

а
f ( x)dx F (а)  F (в)
5. В формуле Ньютона-Лейбница сначала подставляется значение предела
1)
верхнего
2)
нижнего
3)
среднего
7. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет
вид
b
1)  udv  uv
a
b
a
b
  vdu
2)  udv  uv  v a
a
b
b
b
3)  udv  uv
a
a
b
a
b
  vdv
a
Лекция 2.
1. Используя определенный интеграл можно найти
1) площадь криволинейной трапеции
2) линейную скорость движения
3) угловой коэффициент касательной
2.
Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком
функции
xa и
y  f ( x) ( f ( x)  0) ,
слева и справа соответственно прямыми
x  b , снизу – отрезком a; b оси Ох, вычисляется по формуле:
b
b
1) S   1  ( y ) 2 dx ;
2) S    y 2 dx ;
a
b
3) S  2  y 1  ( f ( x)) 2 dx ;
a
a
b
4) S   f ( x)dx .
a
3. Формула вычисления длины дуги кривой имеет вид
b
 
2
1) l   1  y / dx
b
2) l   f x dx
a
b
3) l    y 2 dx
a
a
4. Для кривой заданной параметрическими уравнениями длина дуги
вычисляется по формуле

2
1) l   r  r d
2

t2
2) l  
x2   y2 dt
t1
t2

2
3) l   x2   y dt
t1
5. Для кривой заданной в полярных координатах длина дуги вычисляется по
формуле

2
1) l   r  r d
2

t2
2) l  
x2   y2 dt
t1
t2

2
3) l   x2   y dt
t1
Модуль «Дифференциальные уравнения»
Лекция 1.
1. Уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию
и ее производные называется….
2. График решения дифференциального уравнения называется …
3. Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково,
называется ….
4. Условие, что при х = хо функция у должна быть равна числу уо, т.е. у =
уо, называется … ….
5. Функция, которая при подстановке в ДУ обращает его в тождество,
называется …ДУ.
6. Функция у   ( х; с) , содержащая одну произвольную постоянную,
называется
1) общим решением ДУ первого порядка;
2) частным решением ДУ первого порядка;
3) общим решением ДУ второго порядка;
4) частным решением ДУ второго порядка.
Лекция 2
1. Уравнение вида Р1 ( х)Q1 ( у)dx  P2 ( x)Q2 ( у)dy  0 называется ДУ
1) с разделенными переменными; 2) с разделяющимися переменными;
3) однородным; 4) линейным; 5) в полных дифференциалах.
2. Уравнение вида Р( х)dx  Q( у )dy  0 называется ДУ
1) с разделенными переменными; 2) с разделяющимися переменными;
3) однородным; 4) линейным; 5) в полных дифференциалах.
3. Уравнение вида Р( х; y )dx  Q( x; y )dy  0 , где P ( x; y ) и Q ( x; y ) - однородные
функции одинакового порядка, называется ДУ
1) с разделенными переменными; 2) с разделяющимися переменными;
3) однородным; 4) линейным; 5) в полных дифференциалах.
4. Какое ДУ при помощи подстановки и 
у
преобразуется в уравнение с
х
разделяющимися переменными?
1) однородное; 2) линейное; 3) в полных дифференциалах.
5. Уравнение вида y   P( x) y  Q( x) , называется ДУ
1) с разделенными переменными;
2) с разделяющимися
переменными;
3) однородным; 4) линейным; 5) в полных дифференциалах.
6. Для интегрирования какого ДУ применяется подстановка y  uv ?
1) однородного;
2) линейного; 3) в полных дифференциалах;
4) с разделенными переменными; 5) с разделяющимися переменными.
7. Уравнение вида Р( х; y )dx  Q( x; y )dy  0 , если
Р Q
, называется ДУ

у x
1) с разделенными переменными;
2) с разделяющимися
переменными;
3) однородным; 4) линейным; 5) в полных дифференциалах.
8. Установить соответствие между приведенными дифференциальными
уравнениями первого порядка и их типами:
а)
1) Р( х; y )dx  Q( x; y )dy  0 ,
где
P ( x; y ) и
Q ( x; y )
-
с
разделенными
переменными;
однородные
функции одинакового порядка
2) Р( х; y )dx  Q( x; y )dy  0
б) с разделяющимися
переменными
3) Р( х)dx  Q( x)dy  0
в) однородное;
4) Р1 ( х)Q1 ( x)dx  P2 ( x)Q2 ( x)dy  0 ,
г) линейное;
если
Р Q
;

у x
д)
5) y   P( x) y  Q( x)
в
полных
дифференциалах.
Лекция 3.
1. Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется …. этого
ДУ.
2. Функция
у   ( х; с) ,
содержащая одну произвольную постоянную,
называется
1) общим решением ДУ первого порядка;
2) частным решением ДУ первого порядка;
3) общим решением ДУ второго порядка;
4) частным решением ДУ второго порядка.
3. Установить соответствие между приведенными дифференциальными
уравнениями второго порядка и их типами:
1) y  a1 y  a2 y  0 ;
а) ДУ, не содержащее явно независимой
переменной х;
2) y  a1 y  a2 y  f ( x) ;
б) ДУ, не содержащее явно искомой функции
у;
3) y   f ( x; y ) ;
в) линейное однородное;
4) y   f ( y; y ) ;
г) линейное неоднородное.
4. n-кратное интегрирование применяется для нахождения решения ДУ
вида:
1) y  a1 y  a2 y  0 ; 2) y  a1 y  a2 y  f ( x) ;
3) y n   f (x) ;
4) y   f ( y; y ) ;
5) y   f ( x; y ) .
dz
5. С помощью подстановки y   z; y   z
интегрируется ДУ вида:
dy
1) y  a1 y  a2 y  0 ;
2) y  a1 y  a2 y  f ( x) ;
3) y n   f (x) ;
4) y   f ( y; y ) ;
5) y   f ( x; y ) .
6. С помощью подстановки y   z; y  
dz
интегрируется ДУ вида:
dx
1) y  a1 y  a2 y  0 ;
2) y  a1 y  a2 y  f ( x) ;
3) y n   f (x) ;
4) y   f ( y; y ) ;
5) y   f ( x; y ) .
Лекция 4.
1. Функции у1  у1 х и у2  у2 х называются линейно независимыми на
интервале (а; в), если равенство 1 у1   2 у2  0 , где 1 , 2 R, выполняется
тогда и только тогда, когда
1) 1   2 ;
2) 1   2  0 ;
3) 1   2 ;
4) 1   2  1 .
2. Если функции у1(х) и у2(х) – линейно независимые решения ЛОДУ
второго порядка на интервале (а; в), то определитель Вронского на этом
интервале
1) обращается в нуль; 2) нигде не обращается в нуль;
3) обращается в нуль на концах интервала; 4) равен 1.
3. Если два частных решения у1 = у1(х) и у2 = у2(х) ЛОДУ второго порядка
образуют на интервале (а; в) фундаментальную систему, то общем
решением этого уравнения является функция
1) у  С1 у1  С2 у2 , где С1, С2 – произвольные постоянные;
2) у  С1 у1  С2 у2 , где С1, С2 – произвольные постоянные;
3) у  С1 у1  С2 у2 , где С1, С2 – произвольные постоянные;
4) у  у1  у2 ;
5) у  у1  у2 .
4.
Общее
решение
ЛОДУ
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами у   р( х) у   q( x) y  0 имеет вид:
1) у  С1 у1  С2 у2 , где у1, у2 – линейно независимые решения этого
уравнения;
2) у  С1 у1  С2 у2 , где у1, у2 –; линейно независимые решения этого
уравнения;
3) у  С1 у1  С2 у2 , где у1, у2 – линейно независимые решения этого
уравнения;
4) у  у1  у2 , где у1, у2 - линейно независимые решения этого
уравнения;
5) у  у1  у2 , у1, у2 - линейно независимые решения этого уравнения.
5. Квадратное уравнение k 2  pk  q  0 для уравнения у   ру   qy  0
называется:
1) общим решением; 2) частным решением;
3) характеристическим уравнением; 4) уравнением изоклины.
6. Пусть k1 и k 2 - корни характеристического уравнения k 2  pk  q  0 для
уравнения у   ру   qy  0 . Если k1 и k 2 - действительные и k1  k 2 , то
общее решение уравнения у   ру   qy  0 находится по одной из формул:
1) y  e k x (C1  C2 x),
1
2) y  C1e k x  C2 e k x ,
1
2
3) y  ex (C1 cos x  C2 sin x).
7. Пусть k1 и k 2 - корни характеристического уравнения k 2  pk  q  0 для
уравнения у   ру   qy  0 . Если k1 = k 2 , то общее решение уравнения
у   ру   qy  0 находится по одной из формул:
1) y  e k x (C1  C2 x),
1
2) y  C1e k x  C2 e k x ,
1
2
3) y  ex (C1 cos x  C2 sin x).
8. Пусть k1 и k 2 - корни характеристического уравнения k 2  pk  q  0 для
уравнения у   ру   qy  0 . Если k1, 2     i – комплексные сопряженные
корни, то общее решение уравнения у   ру   qy  0 находится по одной из
формул:
1) y  e k x (C1  C2 x), 2) y  C1e k x  C2 e k x ,
1
1
2
3) y  ex (C1 cos x  C2 sin x).
Лекция 5.
1.
Общее
решение
ЛНДУ
второго
порядка
с
постоянными
коэффициентами у   р( х) у   q( x) y  f ( x) имеет вид:
1)
у он  у оо  учн ,
однородного
где
уравнения,
уоо –
а
общее решение
учн
–
некоторое
соответствующего
частное
решение
неоднородного уравнения;
2)
уон  уоо  учн ,
где
уоо –
общее
решение
соответствующего
однородного уравнения, а учн – некоторое частное решение неоднородного
уравнения;
3)
уон  уоо  учн ,
где
уоо –
общее
решение
соответствующего
однородного уравнения, а учн – некоторое частное решение неоднородного
уравнения;
4) у он 
у оо
, где уоо – общее решение соответствующего однородного
учн
уравнения, а учн – некоторое частное решение неоднородного
уравнения
2.
Частное
решение
у   р( х) у   q( x) y  f ( x) ,
учн
линейного
в случае, когда
неоднородного
f ( x)  e x Pn ( x) ,
уравнения
где
Pn (x)
-
многочлен степени n , если α не является корнем характеристического
уравнения k 2  pk  q  0 можно искать в виде:
1) yчн  xex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
2) yчн  ex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
3) yчн  x 2 ex Qn ( x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
4) yчн  ex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x), где PN (x) и Qn (x) - многочлены
степени N с неизвестными коэффициентами.
3.
Частное
решение
у   р( х) у   q( x) y  f ( x) ,
многочлен
степени
учн
линейного
в случае, когда
n
,
если
α
неоднородного
f ( x)  e x Pn ( x) ,
является
уравнения
где
однократным
характеристического уравнения k 2  pk  q  0 можно искать в виде:
Pn (x)
-
корнем
1) yчн  xex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
2) yчн  ex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
3) yчн  x 2 ex Qn ( x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
4) yчн  ex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x), где PN (x) и Qn (x) - многочлены
степени N с неизвестными коэффициентами.
4.
Частное
решение
учн
линейного
у   р( х) у   q( x) y  f ( x) , в случае, когда
неоднородного
уравнения
f ( x)  ex ( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x) ,
где Pn (x) и Qm (x) - многочлены степени n и т, если    i не является
корнем характеристического уравнения k 2  pk  q  0 можно искать в
виде:
1) yчн  xex Qn (x),
где Qn (x) -многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
2) yчн  ex Qn (x),
где
степени n с неизвестными
Qn (x) -многочлен
коэффициентами.
3) yчн  x 2 ex Qn ( x), где Qn (x) -многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами
4) yчн  ex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x),
где
PN (x)
и
QN (x) -многочлены
и
QN (x) -многочлены
степени N с неизвестными коэффициентами.
5) yчн  хex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x),
где
PN (x)
степени N с неизвестными коэффициентами, N  max( n, m).
5.
Частное
решение
учн
линейного
у   р( х) у   q( x) y  f ( x) , в случае, когда
неоднородного
уравнения
f ( x)  ex ( Pn ( x) cos x  Qm ( x) sin x) ,
где Pn (x) и Qm (x) - многочлены степени n и т, если    i является корнем
характеристического уравнения k 2  pk  q  0 , можно искать в виде:
1) yчн  xex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
2) yчн  ex Qn (x), где Qn (x) - многочлен степени n с неизвестными
коэффициентами.
3)
y чн  x 2 e x Qn ( x),
где
Qn (x)
-
многочлен
степени
n
с
неизвестными коэффициентами.
4) yчн  ex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x), где PN (x) и Qn (x) - многочлены
степени N с неизвестными коэффициентами.
5) yчн  хex ( PN ( x) cos x  QN ( x) sin x), где PN (x) и QN (x) -многочлены
степени N с неизвестными коэффициентами, N  max( n, m).
Модуль «Теория вероятностей»
Лекция 1.
1. Число размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:
1). Ank 
n!
(k  n)!
2). Ank 
n!
k!(n  k )!
3). Ank 
n!
(n  k )!
2. Какое событие называется достоверным:
1) если в результате испытания оно вообще не может произойти
2) если в результате испытания
оно может произойти, а может не
произойти
3) если в результате испытания оно обязательно произойдет
3. Какое событие называется невозможным:
1) если в результате испытания оно вообще не может произойти
2) если в результате испытания
произойти
оно может произойти, а может не
3) если в результате испытания оно обязательно произойдет
4. Какое событие называется случайным:
1) если в результате испытания оно вообще не может произойти
2) если в результате испытания
оно может произойти, а может не
произойти
3) если в результате испытания оно обязательно произойдет
5. Какие события называются несовместными:
1) если в результате испытания оно вообще не может произойти
2) если в результате испытания ни одно из этих событий не является
объективно более возможным
3) если наступление одного из них не исключает наступление любого
другого
4) называются два события, из которых одно событие обязательно
произойдет и наступление этого события исключает возможность
наступления другого
6.Какие события называются совместными:
1) если в результате испытания оно вообще не может произойти
2) если в результате испытания ни одно из этих событий не является
объективно более возможным
3) если наступление одного из них не исключает наступление любого
другого
4) называются два события, из которых одно событие обязательно
произойдет и наступление этого события исключает возможность
наступления другого
Лекция 2.
1. Событие, вероятность которого равна единице, называется
1) невозможным 2) достоверным 3) случайным
2. Событие, вероятность которого равна нулю, называется
1) невозможным 2) достоверным 3) случайным
3. Событие, вероятность которого больше нуля, но меньше единицы,
называется
1) невозможным 2) достоверным 3) случайным
4. Апостериорные вероятности – это вероятности
1. гипотез после реализации события
2. группы событий
3. полной группы событий до реализации опыта
4. гипотез
5. Какие события называются независимыми:
1) если наступление одного события изменяет вероятность наступления
другого события
2) если наступление одного события не изменяет вероятность наступления
другого события
3) если в результате испытания ни одно из этих событий не является
объективно более возможным
4) если наступление одного из них не исключает наступление любого
другого
5) если одно событие обязательно произойдет и наступление этого события
исключает возможность наступления другого
6. Два события будут несовместными, если
1) Р А  В  Р А РВ
2) Р А  В  1
3) Р А  В  Р А  РВ
4) Р А  В  0
7. Формула P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) является формулой вычисления
1) вероятности суммы двух совместных событий
двух несовместных событий
2) вероятности суммы
3) вероятности суммы двух зависимых
событий
8. Если события А, В, С независимые, то вероятность совместного появления
этих событий вычисляется по формуле:
1) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
2) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
3) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
4) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) .
9. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле:
1) P( A  B )  P( A )  P( B ) ;
2) P( A  B )  P( A )  P( B ) ;
3) P( A  B )  P( A )  PA ( B ) ;
4) P( A  B )  P( A )  P( B )  P( A  B ) .
10. Если события А, В, С зависимые, то вероятность совместного появления
этих событий вычисляется по формуле:
1) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
2) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
3) Р( А  В  С )  Р( А )  Р( В )  Р( С ) ;
4) Р( А  В  С)  Р( А)  РА (В)  РАВ (С) .
Лекция 3
1. Какая из формул является асимптотической формулой Лапласа:
а) Pn (m) 
f ( x)
npg
  
в)
Pn (k1 , k2 )  ( x2 )  ( x1 )
m
б)
Pn (m) 
m!
г) Pn (m) 
n!
 p m  g nm
m!(n  m)!
2. Какая из формул является формулой Пуассона:
а) Pn (m) 
f ( x)
npg
  
в)
Pn (k1 , k2 )  ( x2 )  ( x1 )
m
б)
Pn (m) 
m!
г) Pn (m) 
n!
 p m  g nm
m!(n  m)!
3. Какая из формул является формулой Бернулли:
а) Pn (m) 
f ( x)
npg
  
в)
Pn (k1 , k2 )  ( x2 )  ( x1 )
m
б)
Pn (m) 
m!
г) Pn (m) 
n!
 p m  g nm
m!(n  m)!
4.Какая из формул является интегральной формулой Лапласа:
а) Pn (m) 
f ( x)
npg
  
в)
Pn (k1 , k2 )  ( x2 )  ( x1 )
m
б)
Pn (m) 
m!
г) Pn (m) 
n!
 p m  g nm
m!(n  m)!
Модуль «Случайные величины»
Лекция 1.
1. Какое из свойств дисперсии ошибочно:
а) D(С )  0
в) D( Х  У )  D( Х )  D(У )
б) D(СХ )  С D( Х )
2
г) D(СХ )  С  D( Х )
2. Дисперсия случайной величины определяется как
1) D X   M  X 2 
2) D X   M  X 2  M 2  X 
3) D X   M  X  M  X 2
4) D X   M 2  X 
3. Формула вычисления математического ожидания дискретной случайной
величины Х имеет вид

2) M  X    xi pi
1) M  X    xf x dx

3) M  X   D X 
i
4. Функция распределения случайной величины
1) постоянна
2) не убывает 3) убывает 4) не возрастает
Лекция 2.
1. Функция распределения случайной величины
1) постоянна
2) не убывает 3) убывает 4) не возрастает
2. Производная функции распределения непрерывной случайной величины Х
называется
1)
рядом
распределения
2)
плотностью
распределения
3) математическим ожиданием
3. Плотность распределения непрерывной случайной величины является
величиной:
1) неотрицательной; 2) неположительной;
3) ограниченной;
4) знакопеременной.
4. По какой формуле вычисляют математическое ожидание непрерывной
случайной величины:
n
а) М ( Х )   xi pi
i 1
в) М ( Х )   х  f ( x)dx
б) М ( Х  У )  М ( Х )  М (У )
2
г) М ( Х )   х  f ( x)dx
5. Случайная величина называется нормированной, если:
1) М ( х )  1, D( x )  0 ; 2) М ( х )  1, D( x )  M ( x ) ;
3) М ( х )  0 , D( x )  1 ; 4) М ( х )  0 , D( x )  M ( x 2 ) .