Вариант 1 - Армавирский государственный педагогический

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Армавирский государственный педагогический университет
Дьяченко Р.А., Коновалов Д.П.
Учебно-методическое пособие
Контрольные работы по курсу
«ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ»
для студентов заочной формы обучения
Армавир
2009
Печатается по решению УМС АГПУ
Дьяченко Р.А., Коновалов Д.П. Учебно-методическое пособие «Контрольные работы по курсу ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ» для студентов заочной формы обучения. –
Армавир, АГПУ. – 2009. – 23 с.
Пособие содержит краткий теоретический материал по курсу
Теория систем и системный анализ, а также 20 вариантов контрольных работ.
Пособие предназначено для студентов математических факультетов педагогических институтов и университетов. Оно может быть
использовано учителями, учащимися, а также слушателями института усовершенствования учителей для контроля знаний учащихся.
Рецензент:
Аль-Таравна С.Н. – к.п.н., доцент
©Армавирский государственный педагогический университет
2
Содержание
Введение ................................................................................................................... 4
1. Теоретический материал .................................................................................... 5
1.1. Операции с матрицами ................................................................................. 5
1.2. Графы. Краткий теоретический материал. ................................................. 6
1.3. Структурно-топологические характеристики систем. Связность.
Структурная избыточность ................................................................................. 9
2. Пример решения задачи ................................................................................... 11
3. Варианты контрольных работ .......................................................................... 13
Вариант 1 ............................................................................................................ 13
Вариант 2 ............................................................................................................ 13
Вариант 3 ............................................................................................................ 14
Вариант 4 ............................................................................................................ 14
Вариант 5 ............................................................................................................ 15
Вариант 6 ............................................................................................................ 15
Вариант 7 ............................................................................................................ 16
Вариант 8 ............................................................................................................ 16
Вариант 9 ............................................................................................................ 17
Вариант 10 .......................................................................................................... 17
Вариант 11 .......................................................................................................... 18
Вариант 12 .......................................................................................................... 18
Вариант 13 .......................................................................................................... 19
Вариант 14 .......................................................................................................... 19
Вариант 15 .......................................................................................................... 20
Вариант 16 .......................................................................................................... 20
Вариант 17 .......................................................................................................... 21
Вариант 18 .......................................................................................................... 21
Вариант 19 .......................................................................................................... 22
Вариант 20 .......................................................................................................... 22
Литература ............................................................................................................. 23
3
Введение
Предлагаемое пособие представляет собой комплект контрольных работ, который может быть использован для организации контроля знаний студентов. В пособие включены вопросы по следующим разделам:
1) операции с матрицами;
2) графы;
3) структурно-топологические характеристики систем: связность,
структурная избыточность.
Приводится пример решения и оформления контрольной работы.
В задачах необходимо составить матрицу соответствующего графа, вычислить необходимые характеристики систем.
Данное пособие представляет собой один из компонентов учебнометодического комплекса по дисциплине «Теория систем и системный анализ».
Для выполнения заданий возможно использовать язык программирования Turbo Pascal или среду программирования Delphi.
4
1. Теоретический материал
1.1. Операции с матрицами
Таблица чисел aij вида:
 a11
a
A   21
 ...

a m1
a1n 
... a 2 n 
 a ij 
... ... 

... a mn 
a12
...
a 22
...
am2
состоящая из m строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n.
Числа aij называются ее элементами. При m=n она называется матрицей n-го
порядка.
Операции над матрицами.
При умножении матрицы A=(aij) на число k получаем матрицу B=(bij),
т.е. kA=B, элементы которой равны bij =k aij
При сложении матриц A=(aij) и B=(bij) получаем матрицу C=(cij), A+B=C,
элементы которой равны cij =aij +bij
При умножении матриц A=(aij) на матрицу B=(bij) получаем матрицу C=(cij),
A*B=C, при этом число столбцов A должно быть равно числу строк матрицы
B. Каждый элемент
n
cij   aik  bkj
k 1
Матрица, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей. Квадратная матрица, у которой по диагонали расположены 1, а на
остальных позициях 0, называется единичной матрицей.
В теории систем и системном анализе теорию матриц используют в
связи с применением теории графов к исследованию структур систем.
5
1.2. Графы. Краткий теоретический материал.
Принцип представления структуры в виде графа весьма прост. Элементам системы при решении одних задач ставят в соответствие ребра графа, а
связям — вершины графа. При решении других задач поступают иначе: элементам ставят в соответствие вершины графа, а связям — ребра графа.
Граф, полученный в первом случае, называется реберным, во втором
случае — вершинным.
Рассмотрим некоторые основные определения и понятия из теории
графов, необходимые при решении задач структурного анализа БСУ.
Определение графа, виды графов. Пусть определено некоторое множество элементов V. Граф G = G (V) считается определенным, если задано
некоторое семейство сочетаний элементов, или пар вида Е = (а, b), где а,
b V, указывающее, какие элементы считаются связанными. В соответствии
с геометрической интерпретацией пара Е = (а, Ь) называется
ребром, а
элементы а, b — концевыми точками ребра или вершинами.
Если порядок расположения концов безразличен, т. е. если Е = (а, b) =
(b, а), то говорят, что Е есть неориентированное ребро; если же этот порядок
важен, то Е называют ориентированным ребром — дугой; при этом а называют начальной вершиной, а b-конечной вершиной.
В теории графов принята также следующая терминология: ребро Е
инцидентно вершинам а, b, а вершины а, b инцидентны ребру Е.
Граф, составленный только из неориентированных ребер, называется
неориентированным, а граф, составленный только из ориентированных ребер, - ориентированным.
Графы, у которых часть ребер ориентирована, часть — неориентирована, называются смешанными. Неориентированный граф G может быть превращен в ориентированный при помощи процесса удвоения, состоящего в
6
замене каждого ребра Е парой ребер с теми же концами и приписывании им
противоположных ориентации.
Граф называется конечным,
если число ребер конечно, и беско-
нечным — в противном случае. Граф, состоящий из изолированной вершины, называется нуль-графом, а граф, ребрами которого являются всевозможные пары для двух различных вершин а, b из V, называется
полным
графом.
В ориентированном полном графе имеются пары ребер по одному в
каждом направлении, соединяющие любые две различные вершины (а, b).
Способы формализованного задания графа.
А. Графическое представление. Данный способ является
наиболее
наглядной формой представления отношений между элементами, однако он
не может быть использован при решении задач структурного анализа с использованием ЭВМ.
Б. Матричное представление. Существуют различные формы матричного представления графа G = G (V). Матрица смежности вершин для неориентированного графа имеет вид А = ||aij||, где n — число вершин в
графе, а элементы аij определяются следующим образом:
aij={1 – при наличии связи, 0 - при отсутствии связи}
При этом предполагается, что нумерация вершин графа уже проведена.
Для неориентированного графа матрица смежности является симметрической, что следует учитывать при использовании ЭВМ для компактного использования оперативной памяти в задачах структурного анализа.
В матрице смежности вершин для ориентированного графа А=|| aij || определяется следующим образом:
7
aij={1 – если из вершины i можно перейти в вершину j, 0 – в противном
случае}
Матрица смежности вершин А является матрицей непосредственных
путей графа, имеющих длину, равную 1. Общее число транзитных путей от
вершины i к вершине j длиной k может быть получено в результате возведения в k-ю степень матрицы А.
Степень вершины. Число ребер, инцидентных вершине неориентированного графа, называют степенью вершины.
Число дуг ориентированного графа, которые имеют своей начальной
вершиной вершину i называют полустепенью исхода вершины i. Аналогично, число дуг, которые имеют своей конечной вершиной вершину j, называют полустепенью захода вершины j.
8
1.3. Структурно-топологические характеристики систем.
Связность. Структурная избыточность
При проведении структурного анализа систем очень часто необходимо
располагать методикой, позволяющей определять некоторые структурные
характеристики систем и давать им количественную оценку. Целесообразность определения таких характеристик состоит в том, что уже на ранней
стадии проектирования появляется необходимость оценивать качество структуры системы и ее элементов с позиций общего системного подхода. Рассмотрим некоторые из них.
Связность структуры. Данная количественная характеристика позволяет выявить наличие обрывов в структуре, висящие вершины и др. Наиболее полно количественно связность элементов ориентированного графа
определяется матрицей связности
С = || Сij ||
Элементы матрицы С можно вычислить на основе матрицы
n
A   A k
k 1
Элемент Сij = 1, если
aij  1
Сij = 0, если
aij  0
Структурная избыточность. Структурный параметр, отражающий
превышение общего числа связей над минимально необходимым в неориентированных графах, будем называть структурной избыточностью R.
Cтруктурная избыточность R определяется следующим образом:
R
 1
1 n n
1
 aij 
2  i 1 j 1  n  1
9
Данная структурная характеристика используется для косвенной оценки экономичности и надежности исследуемых систем. Для систем с максимальной
избыточностью, имеющих структуру типа «полный граф», R > 0; для систем
с минимальной избыточностью R = 0; для систем несвязных R < 0.
Таким образом, система с большей избыточностью R потенциально более надежна.
10
2. Пример решения задач
Задан граф.
1. Матрица смежности:
0

0
0

0
1

1 1 0 0

0 0 0 0
0 0 1 1

1 0 0 0
1 0 0 0 
2. Число транзитных путей (i=1, j=2, k=3).
0

0
0

0
1

0

0
*0

0
1

3
1 1 0 0
0 1


0 0 0 0
0 0

0 0 1 1  0 0


1 0 0 0
0 1

1 1
1 0 0 0

1 1 0 0 1
 
0 0 0 0  0
0 0 1 1  0
 
1 0 0 0  0
1 0 0 0   0
2
0
1
0
0
2
1 0 0 0 1
 
0 0 0 0 0
0 1 1 *0 0
 
0 0 0 0 1
0 0 0   1 1
0 0 0

0 0 0
1 0 0 T = 2

0 0 0
0 1 1 
3. Полустепень исхода вершины (i=4).
Полустепень исхода: 0+1+0+0+0 = 1
4. Полустепень захода вершины (j=5).
Полустепень захода: 0+0+1+0+0 = 1
11
1 0 0  0
 
0 0 0  0
0 1 1  1
 
0 0 0  0
0 0 0   0
0 0 1 1

0 0 0 0
2 0 0 0 *

0 0 0 0
1 1 0 0 
5. Матрица связанности.
1
0

0
0

0
1

1 1 0 0

0 0 0 0
0 0 1 1

1 0 0 0
1 0 0 0 
0

0
+ 0

0
1

0

0
0

0
1

1 1 0 0
0 1 1


0 0 0 0
0 0 0

0 0 1 1 = 0 0 0


1 0 0 0
0 1 0
1 1 0

1 0 0 0

0

0
0

0
1

1 1 0 0 0 0
 
0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 + 1 2
 
0 0 0 0 0 0
2 0 0 0   0 1
5
1

0
Следовательно, C   1

0
1

1 1 0 0

0 0 0 0
0 0 1 1

1 0 0 0
1 0 0 0 
2
0

0
+ 0

0
1

0 0
0 0


0 0
0 0

1 1 + 1 2


0 0
0 0

0 1
0 0

0 1 1
1 4


0 0 0
0 0
0 0 0 =  2 5


0 0 0
0 1

2 5
1 0 0

1 1 0 0

0 0 0 0
0 0 1 1

1 0 0 0
1 0 0 0 
2 2 2

0 0 0
1 2 2

0 0 0
2 1 1 
1 1 1 1

0 0 0 0
1 1 1 1

1 0 0 0
1 1 1 1 
1
1
*7*
 1  0,125 , R<0 – система не связана.
2
5 1
12
0

0
+ 0

0
1

0 1 1 1 2 0
 
0 0 0 0 0 0
0 0 0 + 0 1 1
 
0 0 0 0 0 0
1 0 0   0 0 0
6. Структурная избыточность.
R
3
1 1 0 0

0 0 0 0
0 0 1 1

1 0 0 0
1 0 0 0 
0 0

0 0
0 0 +

0 0
1 1 
4
+
3. Варианты контрольных работ
Вариант 1
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 2
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=5, j=2, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=3.
4. Найти полустепень захода вершины j=7.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
13
Вариант 3
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 4
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
14
Вариант 5
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 6
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
15
Вариант 7
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 8
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
16
Вариант 9
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 10
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
17
Вариант 11
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 12
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
18
Вариант 13
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 14
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
19
Вариант 15
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 16
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
20
Вариант 17
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 18
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
21
Вариант 19
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
Вариант 20
1. Составить матрицу смежности по графу.
2. Найти число транзитных путей (i=1, j=3, k=3).
3. Найти полустепень исхода вершины i=4.
4. Найти полустепень захода вершины j=5.
5. Составить матрицу связанности.
6. Посчитать структурную избыточность.
22
Литература
1. Ю.А. Урманцев. Общая теория систем: Состояние, приложения и
перспективы развития.
2. Сурмин Ю.П. Теория систем и системный анализ, Издательство:
МАУП, 2003г., 368.
3. В.Н. Бурков, Д.А. Новиков Основные понятия теории графов
4. Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская Общие понятия теории графов
5. Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская Матрицы и графы. Нахождение путей и сечений с помощью структурной матрицы
6. Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская Решение типовых задач по графам
23