Воспитание математической культуры и эстетики в преподавании геометрии Статья

Статья
Носова Татьяна Николаевна
Воспитание математической культуры и эстетики в преподавании геометрии
Российское образование претерпевает существенные изменения. Сегодня в
мире резко возросло значение математического образования и математического
знания во всех сферах деятельности человека. Возникли такие разделы
математики как «Финансовая математика», «Актуарная математика». Некоторые
достижения математиков, например, полученная ими «формула справедливой
цены»
произвели
настоящий
переворот
в
технике
биржевых
и
вообще
коммерческих сделок (именно за это была присуждена Нобелевская премия по
экономике в 1997г.) Организуются семинары и конференции, в которых участвуют
теоретики-математики и производственники. На ведущие должности связанные с
экономикой приглашаются профессиональные математики. Сегодняшний уровень
развития техники и технологий предъявляет особые требования к математической
подготовке. В связи с этим возникла потребность в изменении самой концепции
преподавания математики, как точной науки.
В настоящее время создано большое количество учебников. Провозглашён
принцип
вариативности.
Всё
это
даёт
возможность
разрабатывать
альтернативные курсы одного и того же предмета (например, «Литература +
математика» - интегрированный спецкурс, авторы О.А.Пашкина, А.А.Ятайкина,
Новосибирск).
Но главным вектором образования было и остаётся гуманизация учебного
процесса. Особой ценностью являлся и является человек. Именно человек несёт
ответственность за принятые решения, а не машины, созданные им.
Ещё К.Д.Ушинский высказал мысль о том, что в материале любой науки «более
или менее есть эстетический элемент, передачу которого ученикам должен иметь
в виду наставник».
Вся математика обладает своеобразной эстетикой, но особенно большой
диапазон для воспитания математической культуры и эстетики дают уроки
геометрии. Нельзя проникнуть в суть геометрии, если не видеть красоты
геометрических форм, формул и формулировок. По словам И.Ф.Шарыгина:
«Геометрия – это феномен общечеловеческой культуры».
Если ещё десять лет назад понятия красоты, эстетики, культуры уроков
математики трактовались упрощённо, то есть достаточно было в урок включить
фрагменты литературы, музыки, живописи, то в настоящее время разработка
проблем идёт другим путём.
Многие теоретики и практики преподавания математики подчёркивают важность и
значимость
математической
культуры,
эстетики
в
современном
уроке
(И.Г.Зенкевич, В.Г.Болтянский, Б.А.Кордемский, Г.К.Чеботарёв). Благодаря их
работам, понятия «культура», «красота», «эстетика» стали общепризнанными
среди преподавателей.
Стремление
педагогически
осмыслить
содержание
математической
культуры и её взаимодействие с эстетикой и собрать предметный материал,
способный помочь отражению данной проблемы в школьном преподавании
геометрии с целью воспитания у всех учащихся интереса к предмету и является
целью моей работы.
Это сопряжено с рядом трудностей.
Первая трудность – это жёсткость временных рамок уроков и строгость
программных требований.
За последние годы резко уменьшилось количество часов, отведённых на уроки
геометрии. Хотя геометрия является самым гуманитарным из негуманитарных
предметов, посредством геометрии реализуются многие цели, специфичные
именно для предметов гуманитарного цикла (развитие воображения, умения
видеть гармонию, пробуждение творческой фантазии).
Вторая трудность связана с тем, что многие ученики упорно считают себя
неспособными к математике (не без помощи родителей).
И, наконец, проблема математической культуры и эстетики недостаточно
освещается в методических пособиях.
Для уточнения некоторых вопросов организации учебного процесса в режиме
математической культуры и эстетики приходиться обращаться к тем статьям и
публикациям, которые разбросаны крупицами по журналам и газетам.
Интерес к математике – удел немногих. И любители, и профессионалы признают
не только её пользу и значение, но также имеют вкус к математике, умеют видеть
красоту и изящество ей задач, теорем, методов.
Особая роль элементарной геометрии по отношению к серьёзной науке,
причём
не
только
математической,
состоит
в
том,
что
она
является
неисчерпаемым источником интересных и оригинальных идей, облегчает поиск
решения самых различных научных и технических проблем.
В чём же состоит современный смысл понятия красоты математики, и может
ли ученик при решении обычных школьных задач испытать восторг, удивление?
Характеризуя красивое решение, отметим некоторые его критерии:
Необычн

ость;
Наглядн

ость;
Простота

.
Составными частями наглядности являются изоморфизм и простота, что и
составляет сущность математической эстетики. Изоморфизм – модель изучаемого
явления, математически правильно, неискаженное отражение основных свойств
явления (энциклопедический словарь, 1984г., стр. 480). Модель должна быть
проста для восприятия, для оперирования с нею.
При применении наглядности, мы как бы осуществляем перевод с языка
сложного явления на простой язык наглядной модели. Благодаря изоморфизму,
этот перевод является точным, а благодаря простоте модели, нам легче сделать
на её языке необходимые выводы.
Ученику необходимо научиться при решении любой сколько-нибудь трудной
задачи самостоятельно составлять для себя наглядную модель. Удачный подбор
наглядной модели нередко предопределяет успех дела, а необычность этой
модели, её неожиданность воспринимается как красота и изящество решения.
Например, в пятом классе предлагаю задачу:
Даны девять точек, расположенных в вершинах квадрата, его центре и
серединах сторон. Требуется построить 4-звенную ломаную, проходящую
через все эти 9 точек.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
рис. 1
рис. 1 – изоморфная модель изучаемого явления. Несомненно, она проста для
восприятия, то сеть является наглядной моделью.
Ученики предлагают различные комбинации, которые не являются решением, а
лишь прокладывают путь к нему.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Наглядность налицо, изящество решения – в его неожиданности. Ломаная
пересекла себя, выйдя за пределы квадрата.
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Подобная работа стимулирует творческий поиск учеников. Задачи требуют от них:
Наличия

большого кругозора;
Умения

по малейшим, незаметным признакам находить аналогию с другими
областями математики;
Стремле

ния преодолевать технические сложности;
Знания

формул и умения их применять.
Важно преодолеть в учениках боязнь нестандартных задач. Трудность их в том и
состоит, что для решения требуется самостоятельно подобрать изоморфную
модель.
Например, в 11 классе предлагаю задачу для индивидуальной работы:
К
трём
окружностям
различных
радиусов
проведены
общие
внешние
касательные. Доказать, что 3 точки пересечения этих касательных, взятых
попарно, лежат на одной прямой.
Решение:
рис. 2
рис. 3
С
А
В
А
Рассмотрим три шара (рис. 2). Данные взятые окружности для шаров являются
большими окружностями; плоскость α, в которой лежат окружности, проходит
через центры шаров. Теперь рассмотрим попарно шары и содержащие их конусы,
касающиеся обоих шаров по окружности (рис. 3). Плоскость β, касающаяся
«снизу» всех трёх шаров, проходит через одну образующую каждого конуса и
потому содержит вершину конуса. Таким образом, все 3 вершины конусов (точки
А, В, с) лежат в плоскости β. Так как, кроме того, все они лежат в плоскости α, то
точки А, В, С лежат на одной прямой α β
Неожиданность и красота этой задачи связана с выходом в пространство.
Такие задачи можно найти в сборнике «2200 задач по геометрии»
(И.Ф.Шаригин). Они направлены на воспитание хорошего вкуса и математической
культуры, но к их решению способны немногие.
Немаловажно при этом учитывать ряд моментов, которые оказывают влияние на
эффективность всей работы. Это:
Организа

ция учебного места (наличие у каждого ученика инструментов и т.п)
Эстетиза

ция учебной среды (наличие в кабинете нужных в данный момент стендов
по самообразованию, справочного материала для школьника);
Наличие

специальной библиотеки по истории математических открытий.
Поиск оптимального решения требует внимательного отношения к выбору форм и
методов работы. Эффективными являются интерактивные методы обучения.
Работа может быть организована парами, группами, как состязание команд. При
этом следует учесть, что формирование групп может строиться исходя из
следующих критериев:
С учётом

межличностных отношений;
По

принципу общности интересов;
По

принципу противоположности взглядов;
Исходя

из равенства сил и возможностей.
Выбор того или иного способа зависит от уровня сложности подбираемых
учителем задач и организации учебной деятельности.
Что же касается эстетики, то любая задача должна способствовать воспитанию
эстетического вкуса учащихся. Общепризнанно, что восприятие эстетической
стороны математической задачи доступно почти каждому ученику, только надо
обязательно поощрять самостоятельный поиск путей и приёмов решения. Этому
способствуют следующие задания:
Разрезан

ие фигур (5 кл.);
Построе

ние кардиоиды (7-8 кл.);
Придумы

вание паркетов (7-9 кл.);
Самосто

ятельное составление задач на построение фигур в прямоугольной системе
координат;
Решение

классических задач (например, задача Архимеда).
A
Задача 1. Хорды AB и CD окружности радиуса R
C
a
C
D
O
d
перпендикулярны и делятся точкой пересечения
на отрезке a, b, c, d. Докажите, что сумма
Квадратов этих отрезков есть величина
постоянная для данной окружности, равная
b
квадрату её диаметра, то есть
B
Эта задача хороша на слух, красива на вид и вызывает интерес у учащихся.
Вот несколько планиметрических задач, в решении которых спрятана
“изюминка”.
B
D
4
P
1
2 3
Е
5
A
3 3 2
Задача 2. У ломаной АВСDE все вершины
лежат на окружности.
Углы в вершинах В, С и D равны 45⁰. Докажите,
4
Q
1
F
что площадь заштрихованной части круга
равна площади не заштрихованной его части.
C
Решение. Проведём в круге ещё 4 отрезка АD; EF – равный и
параллельный
AB; FC – равный DE, и PQ – равный и параллельный EF. Круг разбился на 5 пар
равных частей, причём в каждой паре одна часть – заштрихована, а другая – нет.
Задача 3.Точка взятая внутри равностороннего
треугольника, соединены со всеми вершинами.
Кроме того, из неё опущены перпендикуляры на
все стороны треугольника. Три из
образовавшихся шести треугольников
заштрихованы. Докажите, что сумма площадей
заштрихованных треугольников равна сумме площадей, не заштрихованных
треугольников.
Решение. Через общую вершину шести треугольников проведём прямые,
параллельные всем сторонам равностороннего треугольника. В результате
равносторонний треугольник распадётся на 12 попарно равных треугольников так,
что в каждой пре один заштрихован, а другой нет.
B
C
Задача 4.Через точку Е внутри квадрата ABCD
проведены прямые, параллельные его сторонам
и диагоналям. Части, на которые квадрат
оказался разрезанным, через одну заштрихованы.
A
Докажите, что площадь заштрихованных
частей равна половине площади квадрата.
Решение. На рисунке показано, что из кусков квадрата можно сложить квадрат
так, что под диагональю расположатся только заштрихованные части, а над
диагональю – не заштрихованные.
Задача 5. Постройте с помощью циркуля и линейки фигуры, изображённые на
рисунке.
А следующие задачи демонстрируют возможность различных подходов к
решению, один из которых является оптимальным, «красивым».
x
O=
Задача
1.Доказать,
что
плоскость,
проходящая
через концы трёх рёбер куба, имеющих общую
D
A
C
B
точку, перпендикулярна диагонали куба,
выходящей из этой точки.
Решение.
z
Векторный
I.
метод.
Рассмотрим
диагональ
и сечение куба . Требуется доказать, что ), т.е. достаточно
установить, что [
]
[
Разложим
вектор
=
и
,
=
-
Тогда
и , то
=
·
·
по
,
=
=
+
,
+
,
=
-
· . Так как
- .
=( +
+ )
- )=
= 0, поэтому , т.е. [
·
векторам
-
+
·
]
.
Аналогично доказывается, что [
Традиционный метод (с использованием теоремы
II.
о трёх перпендикулярах). Так как
теореме о трёх перпендикулярах
– куб, то
и
и ], а тогда по
]. Но если
] и , то
).
Задача 2. Из всех треугольников со стороной а и противолежащим
углом а найдите тот, который имеет наибольший периметр.
Ответ: равнобедренный треугольник с основанием а и противолежащим
углом α.
I способ.Обозначим другие стороны треугольника bи c, а углы, лежащие
против них – β и ᶌ соответственно. Потеоремесинусов
c=a
b=a
=a
Тогда для периметра Pимеем:
=a
.
P=a + b + c= a + a
=a+a
(
=a +
sin
,
причём равенство достигает при
+ ᶌ = 90⁰, т.е. если ᶌ = 90⁰ -
,а тогда
и β = 90⁰ II способ. Продолжим сторону СА за вершинуА так, чтобы AD = АВ. Тогда CD = CA
+ AB и требуется найти наибольшее значение CD.
Так как <CDB =
, то геометрическое место
точек D – дуга окружности, проходящей через
точки В и С, причём угловая мера этой дуги, равна
D
360⁰ - α, больше 180⁰. Очевидно, отрезок
CDбудет
A
наибольшим, если точка D будет диаметрально
противоположна точке С (такая точка
C
D
лежитна
дуге, поскольку её угловая мера больше 180⁰). В
этом случае вершина А находится в центре
окружности, а треугольник
С является
равнобедренным.
Предлагаю задания, которые бы заставляли ученика вглядываться в окружающий
мир:

Тема «Многоугольники» (строение кристаллических
решёток {графит}, строение сот у пчёл);
Тема «Многогранники» (строение кристаллов: додекаэдр,

икосаэдр и др.);
Тема «Симметрия» (строение снежинок, бабочек, цветов

и др.)
Задачам повышения математической культуры и эстетики подчинены ставшие
традиционными внеклассные занятия:

«Математический калейдоскоп»;

«Поэзия в мире математики»;

«Легенда о шахматной доске»;

«Геометрия в мире прекрасного»;

«Гармония окружающего мира».
Особый этап воспитания математической культуры – анализ учащимися
прошедшего занятия. Цель – осмысление учениками своих действий, их оценка и
поиск ошибок. Для анализа ошибок выработался алгоритм действий:

Вернись к условию задачи;

На чистом листе изобрази возможные модели
рассматриваемого явления;

Выбери самую простую;

Проанализируй свой ход рассуждений;

Сравни с правильным;

Отметь свои верные и неверные ходы;

Выясни причину ошибки.
Главный принцип работы «Каждый имеет право на ошибку».
Учитель должен быть готов поддержать, одобрить; указать не только на красивое
правильное решение, но и на то, как оно получено.
Из вышеизложенного материала можно сделать следующие выводы:
Жизнь настоятельно требует сделать математическую
I.
культуру эффективным методом повышения качества образования
Воспитание математической культуры оказывает
II.
значительно воздействие на учащихся:
1.
Формирует новый взгляд на мир и деятельность человека
в нём с точки зрения выбора рационального решения любых задач;
2.
Развивает коммуникативные способности;
3.
Активизирует мышление, рефлексию;
4.
Развивает творческие способности.
Развитие эстетического вкуса позволяет ученикам
III.
увидеть богатство и сложность окружающего мира, делает учение
радостным, даёт заряд любознательности, творческой энергии.
Список литературы
1.
И.П.Подласый, «Педагогика» - М.: ВЛАДОС, 1999
2.
В,В,ВОРОНОВ, «Педагогика школы в двух словах»
(конспект-пособие) – М.: 1997
И.А.Зимняя, «Педагогическая психология» - Ростов-на-
3.
Дону: Феликс, 1997
Г.Н.Хозяинов, «Педагогическое мастерство
4.
преподавателя» - М.: 1998
5.
И.П.Волков, «Учим творчеству» - М.: 1982
6.
«Развитиетворчексих способностей», серия
«Педагогика».
Б.А.Кордемский, «Очерки о математических задачах на
7.
смекалку» - М.: 1958
Я.И.Перельман, «Занимательная арифметика» - М.: АО
8.
«СТОЛЕТИЕ», 1994
И.Г.Зенкевич, «Эстетика урока математики»: Пособие для
9.
учителя – М.: Просвещение, 1981
В.Н.Молодший, «Элементы истории математики в
10.
школе» - М.: Учебно-педагогическое издательство министерства
просвещения РСФСР, 1953
А.А.Колосов, «Кника для внеклассного чтения по
11.
математике» - М.: Учебно-педагогическое издательство министерства
просвещения РСФСР, 1963
В.И.Загвязинксий, «Педагогическое творчество учителя»
12.
- М.: 1987
13.
Научно-методические журналы «Математика в школе»
№4 – 1996г., №5 – 1982г., №2 – 1997г.