27.03.03_analiz_stohasticheskih_sistem

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского
Факультет компьютерных наук и информационных технологий
УТВЕРЖДАЮ
проректор по учебно-методической
работе, проф. Е.Г. Елина
______________________________
"____" _______________20___ г.
Рабочая программа дисциплины
Анализ стохастических систем
Направление подготовки
27.03.03 (220100) Системный анализ и управление
Профиль подготовки
Системный анализ и исследование операций
Квалификация (степень) выпускника
Бакалавр
Форма обучения
очная
Саратов,
2014
1. Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Анализ стохастических систем» являются развитие у студентов личностных качеств, а также формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и основной образовательной программы по направлению
подготовки 27.03.03 – Системный анализ и управление.
2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Анализ стохастических систем» относится к вариативной
части математического и естественнонаучного цикла ООП бакалавриата
27.03.03 – Системный анализ и управление.
Для освоения дисциплины требуется знание основ высшей математики.
Освоение этой дисциплины необходимо как предшествующей для дисциплин
профессионального цикла таких, как «Модели и методы системного анализа
технических, экономических и социальных систем», «Моделирование систем».
3 Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины у обучающегося частично формируются следующие компетенции:
– способность применять основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10);
– способность представить современную научную картину мира на основе знаний основных положений, законов и методов естественных наук
и математики (ПК-2);
– способность принимать научно-обоснованные решения на основе математики, физики, химии, информатики, экологии, методов системного анализа и теории управления, осуществлять постановку и выполнять эксперименты по проверке их корректности и эффективности (ПК-8);
– способность формировать презентации, научно-технические отчеты
по результатам выполненной работы, оформлять результаты исследований
в виде статей и докладов на научно-технических конференциях (ПК-9).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
– основы теории вероятностей;
– основные законы распределения случайных величин;
– понятие функции дискретных и непрерывных случайных величин;
– основные числовые характеристики случайных величин;
– понятие о моментах распределения случайных величин;
– условные распределения вероятностей и условные математические
ожидания случайных величин;
– основные понятия теории систем;
2
– основные свойства стохастических систем;
– концепции математического моделирования стохастических систем;
– определение случайного процесса;
– характеристики случайных процессов;
– определение комплексного случайного процесса;
– характеристики комплексного случайного процесса;
– понятие стохастической сходимости;
– дифференцируемость случайного процесса в среднем квадратичном;
– стохастические интегралы в среднем квадратичном;
– суммирование случайных процессов;
– эргодическое свойство случайных процессов;
– стационарные и строго стационарные процессы;
– спектральное представление ковариационной функции комплексного
стационарного процесса;
– спектральное представление комплексного стационарного процесса;
– спектральное представление ковариационной функции вещественного
стационарного процесса;
– спектральное представление вещественного стационарного процесса;
– эргодическое свойство стационарных случайных процессов;
– уравнения Колмогорова–Чепмена для цепей Маркова с дискретным
и непрерывным временем;
– определение абсолютного распределения вероятностей состояний цепи Маркова с дискретным временем;
– классификацию состояний цепей Маркова;
– определение среднего времени возвращения цепи Маркова с дискретным временем в заданное состояние;
– определение среднего времени первого достижения цепью Маркова
с дискретным временем заданного состояния;
– связь цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем;
– определение минимальной цепи Маркова;
– определение стационарного распределения однородной цепи Маркова;
– прямое и обратное уравнения Колмогорова;
– связь стандартных и минимальных цепей Маркова;
– определение инфинитезимальных операторов стандартных цепей
Маркова с конечным и счетным множествами состояний и непрерывным
временем;
– определение консервативной цепи Маркова с непрерывным временем
и счетным множеством состояний;
– определение процесса размножения и гибели;
– уравнения состояний процесса размножения и гибели для переходного режима;
– определение предельных вероятностей состояний процесса размножения и гибели.
3
Уметь:
– вычислять числовые характеристики случайных величин и функций
случайных величин;
– вычислять стационарное распределение цепи Маркова с дискретным
временем;
– вычислять математическое ожидание и дисперсию случайного процесса;
– вычислять ковариационную и корреляционную функции случайного
процесса:
– вычислять взаимные ковариационную и корреляционную функции
двух случайных процессов;
– вычислять производную от случайного процесса;
– вычислять математическое ожидание и ковариационную функцию
производной от случайного процесса;
– вычислять интеграл от случайного процесса;
– вычислять математическое ожидание и ковариационную функцию
интеграла от случайного процесса;
– вычислять сумму двух случайных процессов;
– вычислять вероятностные характеристики цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем;
– вычислять временные характеристики цепей Маркова с дискретным
и непрерывным временем;
– вычислять стационарное распределение цепей Маркова с дискретным
и непрерывным временем;
– решать уравнения Колмогорова;
– вычислять предельные вероятности состояний процесса размножения
и гибели.
Владеть:
– навыками использования вероятностных методов при разработке математических моделей стохастических систем;
– навыками использования результатов теории случайных процессов
при разработке математических моделей стохастических систем;
– навыками использования результатов теории цепей Маркова при разработке математических моделей стохастических систем;
– навыками принятия обоснованных решений с использование теории
цепей Маркова.
4
4. Структура и содержание дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц, 324
часа.
№
п/п
Раздел дисциплины
Семес
тр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Прак
тичеЛекции ские
занятия
Лабораторные
занятия
Самостоятельная
работа
1
Случайные события
и вероятности
5
1-3
6
6
6
2
Случайные
величины
5
4, 5
4
4
4
3
Числовые характеристики случайной
величины
Векторные случайные величины
5
6-8
6
8
6
5
9, 10
4
4
6
5
Функции случайных величин
5
11, 12
4
6
6
6
Стохастические
процессы
5
13, 14
4
4
4
7
Стохастические
системы
5
15, 16
4
2
2
8
Моделирование
стохастических
систем
Итого:
Основные понятия
теории случайных
процессов
Элементы стохастического анализа
5
17, 18
4
2
2
6
1
36
2
36
4
36
8
6
2, 3
4
10
12
Процессы с ортогональными приращениями
6
4, 5
4
6
8
4
9
10
11
5
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной
аттестации
(по семестрам)
Контрольная
работа 1
зачет
№
п/п
Раздел дисциплины
Семес
тр
Неделя
семестра
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу студентов и
трудоемкость (в часах)
Прак
тичеЛекции ские
занятия
Лабораторные
занятия
Самостоятельная
работа
12
Стационарные
случайные процессы
6
6-8
6
13
Цепи Маркова
с дискретным
временем
6
9, 10
4
6
6
14
Цепи Маркова
с непрерывным
временем
Строение однородных марковских
процессов
6
11, 12
4
10
8
6
13-15
6
12
14
Процесс размножения и гибели
6
16
2
4
5
32
75
15
16
Итого:
32
12
32
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы промежуточной
аттестации
(по семестрам)
14
Контрольная
работа 2
зачет,
экзамен
(45 часов)
Содержание дисциплины
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ.
1.1. Случайные события. Классификация событий.
1.2. Сумма и произведение событий.
1.3. Частота событий и ее свойства.
1.4. Вероятность события.
1.5. Основные свойства вероятностей.
1.6. Теорема сложения вероятностей.
1.7. Теорема умножения вероятностей.
1.8. Формула полной вероятности.
1.9. Формула Бейеса.
1.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли.
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
2.1. Понятие случайной величины.
2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
2.3. Функция распределения случайной величины.
6
2.4. Свойства функции распределения.
2.5. Плотность распределения случайной величины.
2.6. Свойства плотности распределения.
3. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
3.1. Математическое ожидание случайной величины.
3.2. Свойства математического ожидания.
3.3. Мода и медиана случайной величины.
3.4. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
3.5. Свойства дисперсии.
3.6. Моменты случайной величины.
3.7. Биномиальное распределение.
3.8. Распределение Пуассона.
3.9. Равномерное распределение.
3.10. Экспоненциальное распределение.
3.11. Нормальное распределение.
4. ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
4.1. Понятие случайного вектора.
4.2. Закон распределения случайного вектора.
4.3. Функция распределения двумерного случайного вектора.
4.4. Плотность распределения двумерного случайного вектора.
4.5. Плотности распределения компонент двумерного случайного
вектора. Условные законы распределения.
4.6. Условное математическое ожидание случайной величины.
4.7. Зависимые и независимые случайные величины.
4.8. Числовые характеристики двумерного случайного вектора.
Математическое ожидание. Ковариация. Коэффициент корреляции.
4.9. Функция и плотность распределения n-мерного случайного
вектора.
4.10. Числовые характеристики n-мерного случайного вектора. Ковариационная и корреляционная матрицы.
5. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
5.1. Закон распределения функции случайной величины.
5.2. Математическое ожидание функции случайных величин
и векторов.
5.3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин.
5.4. Математическое ожидание произведения двух случайных величин.
5.5. Дисперсия функции случайных величин и векторов.
5.6. Дисперсия суммы случайных величин.
5.7. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин.
5.8. Ковариация функций случайных векторов.
5.9. Основные свойства ковариации и коэффициента корреляции
функций случайных величин.
7
5.10. Комплексная случайная величина, ее математическое ожидание и дисперсия.
5.11. Ковариация комплексных случайных величин.
5.12. Характеристические функции.
6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ.
6.1. Случайные блуждания.
6.2. Рекуррентные процессы.
6.3. Цепи Маркова.
6.4. Процессы восстановления.
7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.
7.1. Определение системы.
7.2. Основные свойства систем.
7.3. Системы массового обслуживания.
8. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
8.1. Проблемы моделирования стохастических систем.
8.2. Концептуальные модели систем.
8.3. Математические модели систем.
8.4. Имитационные модели систем.
8.5. Технология моделирования стохастических систем.
9. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.
9.1. Определение случайного процесса.
9.2. Характеристики случайных процессов.
9.3. Комплексные случайные процессы и их характеристики.
10. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.
10.1. Стохастическая сходимость.
10.2. Дифференцируемость в среднем квадратичном.
10.3. Стохастические интегралы в среднем квадратичном.
10.4. Суммирование случайных процессов.
10.5. Эргодическое свойство случайных процессов.
11. ПРОЦЕССЫ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ.
11.1. Непрерывность в среднем квадратичном.
11.2. Стохастические интегралы.
11.3. Интегралы Фурье.
11.4. Процессы с независимыми приращениями.
12. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.
12.1. Стационарные и строго стационарные процессы.
12.2. Спектральное представление ковариационной функции комплексного стационарного процесса.
12.3. Спектральная функция комплексного стационарного процесса.
12.4. Спектральное представление комплексного стационарного
процесса.
12.5. Спектральное представление ковариационной функции вещественного стационарного процесса.
8
12.6. Спектральное представление вещественного стационарного
процесса.
12.7. Эргодическое свойство стационарных случайных процессов.
12.8. Эргодическая теорема для стационарных процессов.
13. ЦЕПИ МАРКОВА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.
13.1. Основные понятия.
13.2. Возвратные состояния.
13.3. Основная предельная теорема.
13.4. Вероятности перехода с запрещением.
14. ЦЕПИ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ.
14.1. Однородные цепи Маркова.
14.2. Пуассоновский процесс.
14.3. Связь однородных цепей Маркова с дискретным и непрерывным временем.
14.4. Минимальная цепь Маркова.
15. СТРОЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ.
15.1. Предельное распределение цепи Маркова.
15.2. Строение однородного марковского процесса с непрерывным
временем и конечным множеством состояний.
15.3. Строение однородного марковского процесса с непрерывным
временем и счетным множеством состояний.
16. ПРОЦЕСС РАЗМНОЖЕНИЯ И ГИБЕЛИ.
16.1. Уравнения состояний.
16.2. Стационарный режим.
5. Образовательные технологии
При проведении занятий используются формы визуализации материала – мультимедийные презентации, а также интерактивные формы проведения практических и лабораторных занятий – обсуждение и анализ задач, возникающих при разработке, функционировании и оптимизации стохастических систем.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
а) основная литература:
1. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 408 с.
2. Волкова В.Н., Денисов А.А. Теория систем: Учебник для студентов
вузов. – М.: Высшая школа, 2006. – 511 с.
9
3. Булинский А.В. Теория случайных процессов [Текст] / Булинский А.В., Ширяев А.Н. – Москва : ФИЗМАТЛИТ, Б. г. – (Классический университетский учебник). – ISBN 5-9221-0335-0- : Б. ц.
б) дополнительная литература:
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные
приложения. – М.: Наука. ГРФМЛ, 1988. – 480 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения. – М. : Изд. центр «Академия», 2003. – 427 с.
3. Митрофанов Ю.И. Системный анализ: Учеб. пособие. – Саратов:
Научная книга, 2000. – 232 с.
4. Митрофанов Ю.И., Рогачко Е.С. Методология системного анализа. –
Саратов: Научная книга, 2007. – 104 с.
5. Розанов Ю. А. Лекции по теории вероятностей: учеб. для вузов. –
Долгопрудный: Интеллект, 2008. – 133 с.
6. Свешников А. А. Прикладные методы теории марковских процессов: учеб. пособие. – СПб. ; М. ; Краснодар: Лань, 2007. – 189 с.
7. Ширяев А. Н. Вероятность: учеб. для вузов: в 2 кн. – М.: Изд-во
МЦНМО. – 2004. – 927 с.
в) При выполнении практических заданий на лабораторных занятиях предполагается использование математического пакета Matlab. Интернет-ресурсы
не используются.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
Мультимедийные презентации, мультимедийная установка, учебнометодические пособия, компьютерный класс.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО
с учетом рекомендаций и Примерной ООП ВПО по направлению подготовки
27.03.03 – Системный анализ и управление.
Автор:
Зав. кафедрой системного анализа
и автоматического управления,
д.т.н., профессор
Ю.И. Митрофанов
Программа одобрена на заседании кафедры системного анализа и автоматического управления
от _________________2014 года, протокол № _____.
Подписи:
Зав. кафедрой системного анализа
и автоматического управления,
д.т.н., профессор
Ю.И. Митрофанов
10
Декан факультета компьютерных наук
и информационных технологий,
к.ф.-м.н., доцент
11
А.Г. Федорова