МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ

териалов  r  1 . У ферромагнитных  r  1, зависимость B(H) нелинейна и неоднозначна.
На рис. 11.20 показана эта зависиB
ОКН
мость (петля гистерезиса), которая получается при периодическом перемагничиКР
вании материала. Чем больше амплитуда
напряженности магнитного поля H max ,
H
тем шире петля гистерезиса, но лишь до
определенного предела (пока не наступит
ПЦ
насыщение). Эта наиболее широкая петля
Рис. 11.20
называется предельным циклом (ПЦ).
Часть нисходящей ветви предельного цикла, лежащую во втором
квадранте, называют кривой размагничивания (КР). Она приводится в
справочниках в качестве основной характеристики магнитотвердых
материалов (с широкой петлей гистерезиса), которые используются, в
частности, для изготовления постоянных магнитов.
Геометрическое место точек, соответствующих вершинам симметричных гистерезисных петель, называется основной кривой намагничивания (ОКН). Она приводится в справочниках как основная характеристика магнитомягких материалов (с узкой петлей гистерезиса), из которых изготавливают статоры и роторы электрических машин, сердечники трансформаторов и др.
Поток вектора магнитной индукции сквозь некоторую поверхность

   ( B ds)
(11.5)
S
называют магнитным потоком [Вб].
По аналогии с электрическим вводят понятие магнитного напряжения [А]
b 
ab
U М   ( H dl) .
a
(11.6)
В основе расчета магнитных цепей с постоянными магнитными
потоками лежат два фундаментальных закона.

Закон полного тока: циркуляция вектора H по замкнутому
контуру равна полному току, охватываемому этим контуром:

 ( H dl)  I полн ,
l
67
(11.7)
причем направление обхода контура и принятое положительное направление тока связаны правилом правоходового винта («буравчика»).
Принцип непрерывности магнитного потока: магнитный поток сквозь замкнутую поверхность равен нулю:

 ( B ds)  0 .
(11.8)
S
11.4.2. Законы магнитных цепей
Расчет магнитных цепей значительно упрощается при введении
ряда общепринятых допущений.
1. При вычислении магнитного потока по формуле (11.5) считают,
что весь магнитный поток замыкается по сердечнику из ферромагнитного материала (потоками рассеяния пренебрегают). В этом случае из
принципа непрерывности магнитного потока следует первый закон
Кирхгофа для магнитной цепи: алгебраическая сумма магнитных потоков в узле равна нулю
(11.9)
k  0 .
Отходящие от узла потоки учитываются с одним знаком, подходящие
Ф1
Ф2
к узлу – с другим. Например, для узла,
показанного на рис. 11.21, можно запиФ3
S1
сать
S2
 
 
 
 ( B1 ds1 )   ( B2 ds2 )   ( B3 ds3 )  0,
S1
S2
S3
 1   2   3  0 .
S3
S
Рис. 11.21
2. Для упрощения вычислений предполагается, что во всех точках
поперечного сечения ветви магнитной цепи магнитная индукция одинакова и нормальна к этому сечению, тогда магнитный поток в k-й ветви
 
 к   ( Bk dsk )  Bk  S k .
Sk
3. Если в качестве контура интегрирования в уравнении закона
полного тока (11.7) выбрать замкнутый путь по ветвям магнитной цепи,
то в левой части уравнения получится алгебраическая сумма магнитных
68
 
напряжений U Мk   ( H k dlk ) на отдельных участках. Для упрощения
вычислений длина участка считается равной длине средней линии магнитной индукции, то есть практически подсчитывается по оси участка;
при этом магнитное напряжение на участке U Mk  H k  l k . С плюсом
учитываются напряжения на тех участках, в которых направление потока совпадает с направлением обхода контура.
4. Если к тому же контур пронизывает k обмоток с токами I k и
числом витков wk , то I по л н   I k wk . По аналогии с ЭДС величина
I к wк  Fk называется магнитодвижущей (МДС) или намагничивающей (НС) силой обмотки. Она войдет в правую часть уравнения с плюсом, если направление тока в обмотке и направление обхода контура
связаны правилом правоходового винта («буравчика»).
В результате получается второй закон Кирхгофа для магнитной
цепи: алгебраическая сумма магнитных напряжений на участках магнитной цепи, входящих в замкнутый контур, равна алгебраической
сумме МДС в том же контуре.
(11.10)
U Mk   Fk .
5. Поперечное сечение воздушного зазора принимается равным
сечению соседних участков из ферромагнитного материала. Магнитное
напряжение на участках из неферромагнитного материала
B
l
UM  H l 
l
 . Поэтому к ним применим закон Ома для
0
S 0
магнитной цепи: магнитное напряжение на участке из неферромагнитного материала пропорционально магнитному потоку.
U M  RM   ,
(11.11)
где коэффициент пропорциональности – магнитное сопротивление
l
l
[1/Гн]. (Сравните с электрическим сопротивлением R  . )
RM 
0S
S
5. В качестве допущения для участков из ферромагнитного материала в расчетах не учитывается явление гистерезиса. Для магнитомягких материалов в качестве зависимости используется основная кривая
намагничивания, а для магнитотвердых – кривая размагничивания.
Если значения В на графике В(Н) (рис. 11.22,а) умножить на S,
а значения Н – на l, то с учетом принятых выше (п. 2, 3) допущений
получим ВбАХ участка U Mk ( k ) (рис. 11.22,б), которая отличается
от кривой В(Н) лишь масштабом.
69
Ф
B
H
UМ
а
б
Рис. 11.22
11.4.3. Аналогия электрических и магнитных цепей
Если сравнить соотношения, приведенные в разделах 11.4.3 и
2.3.1, то нетрудно заметить аналогию в описании состояния магнитных
цепей и электрических цепей постоянного тока (см. табл. 11.1).
Таблица 11.1
Закон
Кирхгофа
Кирхгофа
Цепь
первый
второй
Ома
электрическая
U  RI
U   E
I  0
магнитная
 U M   F U M  RM  
  0
В табл. 11.2 указаны соответствующие друг другу величины (аналоги).
Таблица 11.2
Электрическая цепь
I
E
U
R
U(I)
Магнитная цепь
Ф
F
UM
RM
U M ( )
Если воспользоваться аналогией и известными приемами расчета
электрических цепей, то расчет магнитной цепи будет подобен расчету
нелинейных цепей постоянного тока с той лишь разницей, что ВАХ
нелинейных сопротивлений обычно заданы, а ВбАХ участков необходимо построить с учетом их геометрических размеров и свойств ферромагнитных материалов. При этом удобно использовать схему замещения магнитной цепи, в которой каждому участку из ферромагнитного
материала соответствует нелинейное магнитное сопротивление с ВбАХ
(U M ) , каждому участку из неферромагнитного материала соответствует линейное магнитное сопротивление RM , каждой обмотке –
МДС, направление которой определяется по правилу правоходового
винта («буравчика»). В ветвях схемы протекают магнитные потоки, на
участках и между узлами возникают магнитные напряжения.
70
11.4.4. Расчет неразветвленной магнитной цепи
Пример 11.6
На рис. 11.23,а схематически изображен электромагнит. Сердечник его выполнен из листовой электротехнической стали (длина средней линии lC  20 см), а якорь – из литой стали ( lЯ  6 см). Площадь
сечения каждого из них S = 4 см2 . Кривые намагничивания этих материалов показаны на рис. 11.23,б. Сердечник и якорь разделены воздушным зазором толщиной lВ  0,2 мм. На сердечнике размещена обмотка
с числом витков w = 400.
Возможны две задачи: прямая и обратная
Прямая задача. Известен магнитный поток (пусть, например,
  0,48 мВб). Требуется найти ток в обмотке, необходимый для создания этого потока.
Тл B
мВб Ф
I
1,6
lC
0,4
С
w
1,2
Φ
0,2
lЯ
0,8
Я
lВ
 UМ
0,4
200 400
H 0
A
4 8 12 16 20 A/cм
0
а
б
Рис. 11.23
в
Решение
Вычислим магнитное сопротивление зазора:
lB
2 104
1
.
RMB 

 400000
0S 4  107  4  104
Гн
Затем магнитную индукцию:
 0,48  103
B 
 1,2 Тл .
S
4  104
Теперь по кривым рис. 11.23,б находим напряженность магнитного поля: в сердечнике H C  6 A см и в якоре H Я  24 A см .
По второму закону Кирхгофа для магнитной цепи найдем МДС:
F  U МC  U МЯ  2U МВ  H ClC  H ЯlЯ  2RМВ 
 6  20  24  6  2  0,48 104  4 105  648 А.
71
Наконец, I  F w  648 400  1,62 A.
Обратная задача. Известен ток, например, I  1 A.
Найти магнитный поток.
Решение
Задаваясь различными значениями магнитного потока, придется
несколько раз решить прямую задачу, чтобы построить вебер-амперную
характеристику (ВбАХ) магнитной цепи (U M ) (рис 11.23,в) и по ней
определить магнитный поток по вычисленному предварительно магнитному напряжению
U M  F  Iw  1  400  400 A.
Получается Ф = 0,36 мВб.
При необходимости можно вычислить статическую индуктивность обмотки
w 400  0,36  103
LCT 

 0,144 Гн
I
1
и силу, с которой якорь притягивается к сердечнику,
WB
2 RMB
0,362  106  4  105
f 2
2
2
 518 H .
lB
lB
2  104
Здесь WB  BH BlB S   2 RMB – энергия магнитного поля, запасенная в воздушном зазоре.
11.4.5. Расчет магнитной цепи с двумя узлами
В электротехнических устройствах часто встречаются магнитные
цепи, сердечники которых выполнены из листовой электротехнической
стали в виде трех ветвей с двумя узлами. Рассмотрим порядок расчета
такой магнитной цепи, схематически изображенной на рис. 11.24,а.
Пример 11.7
Известны геометрические размеры сердечника и характеристика
его материала. Сердечник выполнен из листовой электротехнической
стали, основная кривая намагничивания которой приведена на
рис. 11.24,б. Площадь сечения  см 2  сердечника в крайних стержнях


составляет S1  S3 , а в среднем стержне – S 2 . На крайних стержнях
длиной l1  l3 [см] находятся обмотки с числом витков w1, w3 и токами I1, I 3 [A]. В среднем стержне длиной l2 имеется воздушный зазор
толщиной lB .
Требуется определить магнитные потоки в каждом из стержней.
72
Решение
1. Разбиваем цепь на участки и подсчитываем их длины и площади сечений.
В крайних стержнях имеется только по одному участку с одинаковыми сечением и длиной. В среднем стержне два участка: воздушный
зазор и примыкающие к нему части второго стержня из стали. Параметры участков сведены в табл. 11.3.
Таблица 11.3
Номер
Sk
lk
Материал
участка k
см
см2
1
2
3
4
l1
l1
l2
l3
lB
l2
S1
S2
S3
S2
Сталь
Воздух
l3
I3
I1
w3
w1
S1
Тл B
lВ
S2
Ф3
S3
H
A/cм
0
Ф1
а
Ф2
б
Рис. 11.24
2. Составляем схему замещения магнитной цепи (рис. 11.25) и
определяем ее параметры:
F1  I1  w1 [A], F3  I3  w3 [A], RМ  lB  0S2  [1/Гн].
3. Записываем уравнения ВбАХ ветвей и всей схемы соответственно по второму и первому законам Кирхгофа для магнитной цепи:
ba
(11.12)
UM
(1 )  U M1 (1 )  F1 ;
ba
UM
( 2 )  U M2 ( 2 )  RM  2 ;
(11.13)
ba
UM
( 3 )  U M3 ( 3 )  F3 ;
(11.14)
ba
ba
ba
ba
)  1 (U M
)   2 (U M
)   3 (U M
);
 (U M
(11.15)
73
 k  Bk S k ,
U Mk  H k l k .
где при k = 1, 2, 3 имеем
(11.16)
(11.17)
a
Ф1
Ф3
RM
F1
F3
Ф2
UМ2(Ф2)
UМ1(Ф1)
UМ3(Ф3)
b
Рис. 11.25
4. Задаваясь значениями магнитной индукции Bk [Тл] по формуле (11.16) находим магнитные потоки  k [Вб]. Затем по кривой намагничивания B(H) определяем H k [ A см ]. После этого вычисляем
U Mk [A] по формуле (11.17) и, наконец, по формулам (11.12–11.14)
ba
находим значения U M
(Ф k ) .
5. По результатам вычислений строим ВбАХ ветвей (кривые 1, 2, 3 на рис. 11.26,а – нумерация соответствует нумерации магнитных потоков). Затем строим и характеристику всей цепи (кривая 4 на
рис. 11.26,а), складывая потоки при одних и тех же значениях узлового
ba
магнитного напряжения U M
. Абсцисса точки пересечения эквивалентba
ной характеристики с осью напряжений (    0 ) дает значение U M
,а
ординаты точек на ВбАХ ветвей, соответствующие этому напряжению
– значения магнитных потоков 1 ,  2 ,  3 в стержнях.
Примечания
1. Обратим внимание, что если в уравнении ВбАХ ветви к магнитному
напряжению участка добавляется МДС +F, как в (11.14), то ВбАХ участка смещается параллельно самой себе вправо вдоль оси UМ. А если МДС вычитается, то
ВбАХ смещается влево.
2. Характеристика ветви с воздушным зазором более полога.
3. Если один из магнитных потоков, например, Ф3 направлен от узла а к
узлу b, то уравнение (11.4) примет вид: UМba(Ф3)= – UМ3(Ф3) + F3. Соответствующая ВбАХ участка зеркально отображается относительно оси Ф и смещается на
величину F3 (рис 11.26,б).
74
Вб Φ
Вб Φ
1
UМba
Φ1
F3
-F1
0
Φ2
4
UМ
F3
А
UМ
А
2
3
Φ3
а
б
Рис. 11.26
В схеме рис. 11.24 есть лишь один воздушный зазор, поэтому
можно ограничиться построением лишь одной кривой  ( 2 ) , изменив порядок расчета.
Зададимся произвольным значением потока  20 . По формуле (11.16) вычислим B20 . По основной кривой намагничивания
(рис. 11.24,б) найдем H 20 . Затем по формуле (11.17) подсчитаем
ba . Зная последнее, по формулам (11.12
U M20 , а по формуле (11.13) – UM0
и 11.14) найдем U M10 и U M30 соответственно. Затем, используя
(11.17), подсчитаем величины H10 и H 30 , а по кривой В(Н) определим соответствующие им значения B10 и B30 . После этого вычислим
10 и  30 по формуле (11.16). Суммируя все три магнитных потока,
найдем  k 0 .
Теперь в осях  ( 2 ) нанесем точку 0, абсцисса которой равна
 20 , а ордината –  k 0 (рис. 11.27). Обнаружив, что  k 0 не равна
нулю, зададимся другим значением магнитного потока в среднем
стержне  21 и повторим расчет, определив новое значение суммы потоков  k1. Если и в этом случае    0 , то нанесем на график
 ( 2 ) новую точку 1. Соединим отрезком прямой точки 1 и 0. Определим координату  22 точки пересечения этого отрезка с осью абсцисс
и вновь повторим расчет, вычислив  k 2 . Нанесем на график соответствующую точку 3. Если и она не окажется на оси абсцисс, то через
точки 0, 1, 2 проведем плавную кривую и определим координату  23
75
точки ее пересечения с осью абсцисс. Очередное повторение расчета
дает, как правило, результат    0 с удовлетворительной степенью
точности.
ΣΦ
0
2 3
Φ2
1
Рис. 11.27
Таким образом, используя метод последовательных приближений,
можно получить решение с меньшим количеством вычислений и построений.
11.5. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
11.5.1 Инерционные и безынерционные элементы
В периодических режимах параметры нелинейных элементов
определяются динамическими характеристиками. Характеристики даже
одного и того же элемента различны при разной частоте и форме воздействия.
Как уже отмечалось, важнейшим признаком для выбора методики
расчета является инерционность элемента. Если постоянная времени
процесса, обусловливающего нелинейность, гораздо больше периода
воздействия, то такой элемент называется инерционным. Его характеристика для мгновенных значений линейна, поэтому при синусоидальном
воздействии его реакция также синусоидальна. А нелинейной оказывается характеристика для действующих значений. Примеры инерционных элементов: лампа накаливания; электромагнит, изменение индуктивности которого связано с перемещениями отдельных деталей; конденсатор, одна из пластин которого двигается под действием приложенного напряжения.
У безынерционного элемента нелинейна и характеристика для
мгновенных значений. При низких частотах ее можно считать совпадающей со статической, поэтому реакция на синусоидальное воздействие
оказывается несинусоидальной. Примеры безынерционных элементов:
дроссель, полупроводниковый диод, обычный конденсатор.
76
11.5.2. Исследование периодических режимов в нелинейных цепях
по характеристикам для мгновенных значений
11.5.2.1. Графическое определение реакции безынерционного
нелинейного элемента на воздействие идеального источника
гармонического тока или напряжения
Эта задача легко решается отображением временной зависимости
воздействия относительно характеристики элемента.
Пример 11.8
В схеме с идеальной нелинейной индуктивностью (рис. 11.28,б),
известны веберамперная характеристика (ВбАХ) катушки и ток источника i (t )  I m sin( t ) . Обе зависимости показаны на рис. 11.28,а.
Построить зависимость (t).
Решение
Задавшись определенным значением t (например, T 6 ), по кривой i(t ) находим соответствующее значение i, затем по ВбАХ определяем  и в осях (t) отмечаем его для этого же момента времени.
Повторяем эту операцию необходимое количество раз для других моментов времени ( T 4 и т. д.) и, соединив плавной кривой отмеченные
точки, получаем (t) (рис. 11.28,а).


T
2
T
t
i 0 T T
6 4
i
0
0
T/6
T/4
i(t)
T/2
u(t)
t
T
а
б
Рис. 11.28
Нетрудно заметить, что реакция нелинейного элемента, характеристика которого симметрична относительно начала координат, оказывается симметричной относительно оси абсцисс. Ее разложение в ряд
Фурье содержит только нечетные гармоники.
77
Ограничившись учетом лишь первой и третьей гармоник, можно
записать выражение потокосцепления, кривая которого приплюснута
вдоль оси потокосцепления по сравнению с синусоидой, в виде
(t)  Y1m sin(t)  Y3m sin(3t) .
При этом амплитуды гармоник легко найти так называемым меT
T
тодом двух ординат. Измерив в моменты времени t1 
и t2 
6
4
значения 1   (t1 ) и  2   (t 2 ) , можно записать
1   (T / 6)  Y1m sin(  / 3)  Y3m sin( )  Y1m  3 / 2,
 2   (T / 4)  Y1m sin(  / 2)  Y3m sin( 3 / 2)  Y1m  Y3m .
Отсюда Y1m  21 / 3 , Y3m  Y1m   2 .
Напряжение на зажимах катушки вычисляется по закону электромагнитной индукции:
d
u (t ) 
 U 1m cos(t )  U 3m cos(3t ) ,
dt
где U1m  Y1m , U 3m  3Y3m .
Появление в напряжении третьей гармоники позволяет использовать катушку индуктивности (или трансформатор) в режиме насыщения
сердечника для утроения частоты.
Пример 11.9
Известно напряжение на зажимах нелинейной индуктивности
u (t )  U m cos( t ) .
Определить i(t).
Решение
Найдем потокосцепление
(t )   u (t )dt  Ym sin( t ), где Ym  U m / ,
а затем посредством отображения кривой (t ) относительно ВбАХ,
(рис. 11.29) построим зависимость i(t).
В данном случае реакция цепи i(t) на синусоидальное воздействие (t ) получается более вытянутой вдоль оси тока по сравнению с
синусоидой. Поэтому при аппроксимации этой кривой по методу двух
ординат ее аналитическое выражение следует записать в виде
i (t )  I1m sin( t )  I 3m sin( 3t ) .
78


T T
6 4
0
i 0
0
i
T
2
T
t
T/6
T/4
T/2
t T
Рис. 11.29
Пример 11.10
ВбАХ катушки с ферромагнитным сердечником задана в виде
петли гистерезиса.
Определить в условиях предыдущего примера ток.
Решение
После построения подобного предыдущему примеру окажется,
что кривая i(t) не проходит через начало координат, хотя и остается
симметричной относительно оси времени (рис. 11.30).


T
2
0
i 0
0
i
T
t
T
2
t
T
Рис. 11.30
Если теперь разложить эту зависимость в ряд Фурье, то выяснится, что первая гармоника тока i1 (t ) , которая показана на рис. 11.31,а
пунктиром, отстает от косинусоиды напряжения u(t) на угол    2 .
79
Это означает, что в сердеч- u i
нике даже идеальной (с пренебрежимо малыми потерями в обмотке)
нелинейной катушки индуктивности существуют тепловые потери за
счет явления гистерезиса, которые 0
должны быть отражены в схеме
замещения нелинейным сопротивлением (рис. 11.31,б). Это сопротивление может учитывать также
потери на вихревые токи.
i1

iR(u)
i
u
t
u
iL()
i
T
а
б
Рис. 11.31
Пример 11.11
Дроссель, сердечник которого подмагничивается постоянным током I 0 (управляемая нелинейная индуктивность на рис. 11.32, а), подключен к источнику гармонического напряжения u1 (t )  U m cos( t ) .
Найти зависимость i(t) при различных значениях управляющего
тока.
Решение
Если для упрощения анализа пренебречь тепловыми потерями в
обмотке с числом витков w1 , а также магнитными потоками рассеяния,
то нетрудно найти и переменную составляющую магнитного потока в
сердечнике дросселя:
U
U
 (t ) 1
1 (t )  1 
u1 (t )dt  m sin( t )   m sin( t ) , где  m  m .

w
w1
w1
w1
При общепринятых допущениях схема замещения магнитной цепи будет иметь вид, показанный на рис. 11.32,б.
Ф
i
I
1
u1
0
w1
w0
F1
а
UM(Ф)
Ф
F0
б
Рис. 11.32
В ней действуют две МДС – постоянная F0  w0 I 0 и переменная
F1  w1I1 . В нелинейном магнитном сопротивлении протекает магнитный поток, который может быть представлен в виде суммы двух составляющих (t )   0  1 (t ) и который вызывает на этом сопротивлении
магнитное напряжение U м  F0  F1. Вебер-амперная характеристика
80