УДК 519.145 ПОЛУПОЛЕВЫЕ ПЛОСКОСТИ НЕЧЕТНОГО

УДК 519.145
ПОЛУПОЛЕВЫЕ ПЛОСКОСТИ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА
Панов С. В.,
Научные руководители: канд. физ.-мат. наук Кравцова О. В.,
доктор физ.-мат. наук Левчук В. М.
Институт Математики Сибирского Федерального Университета
Работа посвящена вопросам построения полуполевых плоскостей нечетного
порядка, а также гипотезе о разрешимости полной группы коллинеаций таких
плоскостей.
Определение 1. Проективной плоскостью назовем структуру 𝜋 = ⟨𝑃, 𝐿, 𝐼⟩ ,
состоящую из двух непустых множеств (множества точек 𝑃 и множества прямых 𝐿) c
отношением инцидентности 𝐼 между ними таким, что выполняются три условия:
1) любые две различные прямые l и m инцидентны единственной точке;
2) любые две различные точки 𝐴 и 𝐵 инцидентны единственной прямой;
3) найдутся такие четыре точки, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой.
Определение 2. Порядком проективной плоскости называется такое число n, что:
1) плоскость содержит 𝑛2 + 𝑛 + 1 точку, столько же прямых;
2) каждая прямая инцидентна с 𝑛 + 1 точками;
3) каждая точка инцидентна с 𝑛 + 1 прямыми.
Определение 3. Изоморфизмом проективной плоскости 𝜋1 на проективную
плоскость 𝜋2 называется взаимно однозначное отображение точек плоскости 𝜋1 в
точки плоскости 𝜋2 , прямых плоскости 𝜋1 – в прямые плоскости 𝜋2 , сохраняющее
отношение инцидентности.
Определение 4. Квазиполем называют непустое множество Q с двумя
бинарными операциями - сложением + и умножением ∙ , когда ⟨𝑄, +⟩ - группа и
выполняется левый дистрибутивный закон, 0 · 𝑥 = 0 для всех 𝑥 ∈ 𝑄, а 𝑄 ∗ = 𝑄\{0} по
умножению есть лупа (т.е., группа без условия ассоциативности), причем уравнение 𝑎 ∙
𝑥 = 𝑏 ∙ 𝑥 + 𝑐 имеет единственное решение 𝑥 для всех 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑄 , 𝑎 ≠ 𝑏 . Квазиполе с
правой и левой дистрибутивностью называют также полуполем.
На любой проективной плоскости можно ввести координаты, используя
элементы некоторого множества 𝑊. Подробно этот вопрос рассматривался в работах:
«Projective planes» (Hughes D. R., Piper F. C.) и «A structure theory for two-dimensional
translation planes of order 𝑞 2 that admit collineation group of order 𝑞 2 » (Biliotti M., Jha V.,
Johnson N. L., Menichetti G.). Алгебраические свойства этого множества определяют
геометрические свойства плоскости и строение полной группы автоморфизмов. Пусть
координатизирующее множество является полуполем, тогда соответствующая
плоскость называется полуполевой. Ее можно задать при помощи линейного
пространства и множества 𝑅, называемого регулярным множеством плоскости,
которое состоит из матриц 𝜃 размерности 𝑛 × 𝑛 над некоторым полем 𝐺𝐹(𝑝), причем
1)
𝑅 содержит нулевую и единичную матрицу,
2)
Все матрицы из 𝑅, кроме нулевой – невырожденные, причем, det(𝜃1 −
𝜃2 ) ≠ 0, для ∀ 𝜃1 ≠ 𝜃2 .
Установлен вид регулярного множества полуполевой плоскости ранга 3 над
простым полем 𝐺𝐹(𝑝). Доказано, что оно состоит из матриц
Ө(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
𝑦
𝑧
𝑏23 𝑦 + 𝑐23 𝑧 ), где 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺𝐹(𝑝).
(𝑏21 𝑦 + 𝑐21 𝑧 𝑥 + 𝑏22 𝑦 + 𝑐22 𝑧
𝑏31 𝑦 + 𝑐31 𝑧
𝑏32 𝑦 + 𝑐32 𝑧
𝑥 + 𝑏33 𝑦 + 𝑐33 𝑧
В случае 𝑝 = 3, перечисляя матрицы Ө(𝑥, 𝑦, 𝑧), были получены всевозможные
полуполевые плоскости ранга 3 над полем 𝐺𝐹(3). Число полуполевых плоскостей
порядка 27 получаются из вышеуказанного регулярного множества 𝑅, оно равно |𝑅| =
2016.
Если регулярное множество 𝑅 = {Ө(𝑥, 𝑦, 𝑧)| 𝑥, 𝑦, 𝑧 Є 𝐺𝐹(3)} проективной
плоскости является полем, то такая плоскость называется дезарговой (классической).
После исследования полуполевых плоскостей порядка 27 оказалось, что среди 2016
плоскостей дезарговыми являются 144.
Далее был рассмотрен вопрос об изоморфности полуполевых плоскостей
описанного вида. Отношение изоморфности плоскостей и его связь с регулярными
множествами изучались в работах: «Projective planes» (Hughes D. R., Piper F. C.), «A
structure theory for two-dimensional translation planes of order 𝑞 2 that admit collineation
group of order 𝑞 2 » (Biliotti M., Jha V., Johnson N. L., Menichetti G.) и «On spread sets and
collineations of projective planes» (Podufalov N. D.). В общем случае изоморфизм
полуполевых плоскостей задается полулинейным преобразованием векторного
пространства: 𝑥 → 𝑥 𝜑 𝐴, где 𝜑 – автоморфизм поля 𝐺𝐹(𝑝), 𝐴 – квадратная матрица над
𝐺𝐹(𝑝) . Известно, что линейный изоморфизм полуполевых плоскостей достаточно
𝐴 0
рассматривать только в виде (𝑥1 , 𝑥2 ) → (𝑥1 , 𝑥2 ) (
), то есть матрица
0 𝐷
преобразования – блочно-диагональная.
В нашем случае, т.к. поле простого порядка, 𝜑 ≡ 1 , и изоморфизм задается
линейным преобразованием, 𝑥 → 𝑥𝐴.
После исследования на изоморфизм полуполевые плоскости порядка 27
разбились на два класса изоморфных: 1. дезарговые плоскости, их количество равно
исходному (144); 2. недезарговые плоскости (1872).
Таким образом доказан следующий результат:
Теорема 1. Существует, с точностью до изоморфизма, ровно две полуполевые
плоскости ранга 3 над 𝐺𝐹(3): одна дезаргова и одна недезаргова.
Для каждой из найденных плоскостей определена структура ее автоморфизмов.
Определение 5. Автотопизмом полуполевой плоскости называется
коллинеация, фиксирующая точки (0,0), (0), (∞) и прямые [0,0], [0], [∞] (не
поточечно).
Все автоморфизмы полуполевой плоскости образуют группу автотопизмов
𝐺 0
плоскости, которая задается блочно-диагональными матрицами вида (
).
0 𝐷
Для дезарговой полуполевой плоскости порядок группы автотопизмов равен 2028, а
для недезарговой - 156.
В монографии «Projective planes» (Hughes D. R., Piper F. C.) доказано, что
разрешимость полной группы коллинеаций эквивалентна разрешимости группы
автотопизмов. В общем случае гипотеза не доказана, в то же время существуют
примеры полуполевых плоскостей, для которых гипотеза решается положительно В
нашем случае, для полуполевых плоскостей порядка 27, гипотеза о разрешимости
полной группы коллинеаций подтвердилась.
Теорема 2. Полная группа коллинеаций любой недезарговой полуполевой
плоскости порядка 27 разрешима.