Задачи на досках

задачи на досках
Летучая ладья ходит как обычно, только не может становиться на соседнюю клетку.
Может ли она пройти по доске 4  4 , побывав на каждой клетке ровно один раз?(?)
Ответ. Сможет.
Решение.
Например,
9 5 12 8
15 1 16 2
10 6 11 7
14 4 13 3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Дан квадрат 5 × 5 клеток. Можно ли расставить в клетках этого квадрата плюсы и минусы
так, чтобы в любом квадрате 3 × 3 оказалось ровно 8 минусов?
(С-ПбО)
Ответ. Можно.
Например:
- - - - - (Существует много других расстановок)
+
-
-
-
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В каждой клетке треугольной доски (см. рисунок) сидит жук.
Одновременно все жуки переползают на соседние клетки, через одну
минуту снова все жуки переползают на соседние клетки и т. д. Могут
ли все жуки через некоторое время оказаться на одной клетке?
Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.(Устинов)
Ответ. Нет.
Решение. Покрасим клетки доски в черный и белый цвета так, чтобы любые две соседние
по стороне клетки были покрашены в разные цвета. Если изначально жук находится на
клетке белого (черного) цвета, то он переползает на клетку черного (белого) цвета. Так
как сначала жуки находятся и на белых и на черных клетках, то в любой момент времени
жуки также будут находиться на клетках двух цветов, следовательно, они никогда не
окажутся на одной клетке.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Расставьте в клетках таблицы 8 8 12 крестиков и несколько ноликов так, чтобы в любом
квадрате 3 3 ноликов было ровно в 2 раза больше, чем крестиков.(?)
Ответ.
+
0
0
+
0
+
0
0
+
0
+
0
0
+
0
+
0
0
+
0
задачи на досках
0
+
0
0 0
+ +
0 0
0
+
0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Можно ли в клетках таблицы 9  16 расставить крестики и нолики так, чтобы в любом
прямоугольнике 1 3 было не менее 2 крестиков, а в любом прямоугольнике 1 4 не
менее двух ноликов?
(?)
Ответ. Нет.
Решение.
Рассмотрим один столбец. В нем 3 непересекающихся прямоугольника 1 3 и в каждом
должно быть не меньше 2 крестиков, т.е. всего в одном столбце должно быть не меньше
3  2  6 крестиков. Всего столбцов 16, следовательно, всего в таблице должно быть не
меньше 6  16  96 крестиков. Аналогично рассуждая, получим, что в таблице должно
быть не меньше 2  4  9  72 ноликов. Т.е. должно быть не меньше 96+72=168 клеток. А
в таблице 9  16 клеток всего 9  16  144 . Противоречие.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Доказать, что квадрат 7  7 без одной угловой клетки нельзя замостить фигурками вида
(Поляков Е.)
Доказательство.
Пусть замощение возможно.
Занумеруем клетки, как показано на рисунке.
Нетрудно убедиться, что сумма чисел в любой фигурке нечетна.
Всего клеток 7  7  1  48 , фигурок: 48 : 4  12 - четное число,
значит, сумма чисел во всех фигурках четная, но, с другой
стороны, сумма чисел во всем квадрате нечетна. Получили
противоречие.
1
3
1
3
1
3
1
2
4
2
4
2
4
2
1
3
1
3
1
3
1
2
4
2
4
2
4
2
1
3
1
3
1
3
1
2
4
2
4
2
4
2
1
3
1
3
1
3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Карлсон утверждает, что как бы не поставить на доске 8 8 6 ладей, он всегда сможет
поставить коня так, чтобы стоящие на доске фигуры не били друг друга. Прав ли
Карлсон? (В начальной расстановке ладьи также не бьют друг друга).
(?)
Ответ. Карлсон не прав.
Решение.
Легко показать, что при данной расстановке коня на доску поставить невозможно.
л
л
л
л
л
л
задачи на досках
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Во всех клетках таблицы 6 × 6 расставьте числа 2 и 3 так, чтобы в каждом квадрате 2 × 2
была хотя бы одна двойка, а в каждом квадрате 3 × 3 – хотя бы одна тройка.
Решение. Например, так:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 3 2 2
2 3 2 2 2 2
2 2 2 2 3 2
2 2 3 2 2 2
2 2 2 2 2 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Имеется прямоугольная клетчатая таблица, состоящая более чем из одной клетки. Менее
половины клеток этой таблицы можно покрасить так, что все неокрашенные клетки будут
иметь различное число соседних с ними по стороне окрашенных клеток. Какие размеры
может иметь такая таблица?
Ответ. 1×3 или 1×5.
Решение. Неокрашенная клетка может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 соседних с ней по стороне
окрашенных клеток, т.е. неокрашенных клеток не более 5, значит во всей таблице не более
9 клеток. Рассматривая отдельно число клеток от 2 до 9, находим ответ.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Расставьте на шахматной доске 7 коней так, чтобы любая белая клетка находилась под
боем хотя бы одного коня.(?)
Решение.
Обозначим буквой «к» - стоящего на клетке коня. Расстановка может быть такой:
к
к
к
к
к
к
к
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------В некоторых клетках таблицы 5 × 5 расставьте числа 2 и 3 так, чтобы в каждом квадрате 2
× 2 была бы ровно одна двойка, а в каждом квадрате 3 × 3 – ровно одна тройка.(Устинов)
Решение. Например, так:
2
2
3
2
2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Во всех клетках таблицы 3 3 первоначально записаны нули. Одним ходом разрешается
прибавить ко всем четырем числам любого квадрата 2  2 по единице. Можно ли после
нескольких ходов получить следующую таблицу:
задачи на досках
2 5 3
6 18 8
4 9 5
?
(МО)
Ответ. Нельзя.
Решение.
Для того, чтобы в левом верхнем углу таблицы стояла двойка, нужно дважды прибавлять
единички к числам левого верхнего квадрата 2  2 . В частности, мы на 2 увеличим число
в центральном квадратике 1 1 . Аналогично, рассматривая числа в других угловых
клетках таблицы, получаем, что в центральном квадратике в конце концов должно было
стоять число 0+2+3+4+5=14, а у нас там написано число 18. Противоречие.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Расставьте 16 коней на доске 5 5 клеток, так чтобы каждый из них бил ровно двух
других.
(МО)
Ответ. Например, так:
к к к
к к
к к
к
к
к к
к к
к к к
Буквой «к» обозначен конь.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Незнайка с помощью волшебной палочки превратил каждую клетку квадратной
шахматной доски в правильный треугольник. Из всех полученных треугольников
Незнайка пытается сложить треугольную шахматную доску. Удастся ли это ему сделать?
Ответ. Нет.
Решение.
В квадратной шахматной доске число клеток разных цветов отличается не более, чем на 1,
а в треугольной – не менее, чем на 2.