7 класс, серия 1-4x

Серия 1, 7 класс.
Многовариантная задача – только отеет письменно. Сколько существует
прямоугольников, составленных из клеток доски 88
a) ?
b) квадратов;
c) содержащих клетку с координатами (4,3);
d) содержащих клетку с координатами (4,3) и клетку с координатами (3;4);
e) не содержащих клетку с координатами (4,3);
f) содержащих клетку с координатами (4,3) и не содержащих клетку с координатами (3;4)?
1. У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее
племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман
Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя
оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо.
Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость
всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково
наибольшее возможное её значение?
2. Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение
НОК(*,*,*) – НОК(*,*,*) = 2013 в некотором порядке шесть последовательных
натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?
3. Имеется 8 неразличимых на вид монет, весящих 5, 6, ..., 11, 12 г. Как за 13
взвешиваний на чашечных весах найти две самых легких и две тяжелых монеты?
4. По кругу стоят 32 хамелеона красного и синего цвета. Каждую минуту все хамелеоны, у которых соседи разного цвета, одновременно от испуга перекрашиваются в другой цвет: синие — в красный, красные — в синий. Остальные хамелеоны цвета не меняют. Докажите, что через какое-то время все хамелеоны одновременно вернут себе первоначальный цвет.
5. В школе, где учится больше 225, но меньше 245 учеников, часть учеников являются отличниками, а остальные − хорошистами. После сложной контрольной
работы 2/7 отличников стали хорошистами, а хорошисты так и остались хорошистами за исключением одного человека, который стал троечником. При этом
хорошистов и отличников стало поровну. Сколько учеников могло быть в школе? Приведите все возможные варианты ответа.
6. Первый член числовой последовательности равен 1, второй ее член равен
2013, а каждый член, начиная с третьего, равен модулю разности двух предыдущих. Найдите 2013-ый член этой последовательности.
7. Докажите, что если в графе 200 нечетных вершин, то его можно представить
как объединение циклов и 100 путей, причем пути и циклы попарно не имеют
общих ребер.
8. Каждый мальчик принес по 15 цветочков, и весь цветочный фонд отдали девочкам, причем каждая получила по 41 цветочку. Докажите, что всех мальчиков
и девочек можно разбить на несколько (больше одной) команд так, чтобы в
каждой команде было больше одного человека.
9. На новом сайте зарегистрировалось 2000 человек. Каждый пригласил к себе в
друзья по 1000 человек. Два человека объявляются друзьями тогда и только тогда, когда каждый из них пригласил другого в друзья. Какое наименьшее количество пар друзей могло образоваться?
10. Найдите какие-нибудь пять натуральных чисел, разность любых двух из которых равна их НОДу.
7 класс, серия 2, очень клетчатая
7 класс, серия 2, очень клетчатая
11. Нарисуйте все фигуры для игры в тетрис и скажите отдельно для каждой фигуры, можно ли 25 экземплярами такой фигуры замостить доску 1010?
11. Нарисуйте все фигуры для игры в тетрис и скажите отдельно для каждой фигуры, можно ли 25 экземплярами такой фигуры замостить доску 1010?
12. В каждой клетке доски в форме правильного треугольника 5×5×5 сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают
и приземляются на соседние по стороне клетки этой доски.
Какое наименьшее число клеток могут остаться пустыми?
12. В каждой клетке доски в форме правильного треугольника 5×5×5 сидит жук. В некоторый момент все жуки взлетают и
приземляются на соседние по стороне клетки этой доски.
Какое наименьшее число клеток могут остаться пустыми?
13. Играют двое. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще
одно натуральное число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она
еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
13. Играют двое. На доске написаны числа 25 и 36. За ход разрешается дописать еще
одно натуральное число – разность любых двух имеющихся на доске чисел, если она
еще не встречалась. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
14. Можно ли доску 8×8 разрезать на один квадрат 2×2 и 15 фигур вида
«Т» см.рис. ?
14. Можно ли доску 8×8 разрезать на один квадрат 2×2 и 15 фигур вида
«Т» см.рис. ?
И
И
15. Фигура «лебедь» ходит из исходной в те клетки, которые отмечены
крестиком. Эта фигура, начав с одной из угловых клеток, обошла доску,
побывав на каждом поле ровно 1 раз На какой диагонали была исходная клетка?
15. Фигура «лебедь» ходит из исходной в те клетки, которые отмечены
крестиком. Эта фигура, начав с одной из угловых клеток, обошла доску,
побывав на каждом поле ровно 1 раз На какой диагонали была исходная клетка?
16. Дана клетчатая доска 9×10. Играют двое, за ход разрешается вычеркнуть горизонталь
или вертикаль, если в ней к моменту ходя есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
16. Дана клетчатая доска 9×10. Играют двое, за ход разрешается вычеркнуть горизонталь
или вертикаль, если в ней к моменту ходя есть хотя бы одна невычеркнутая клетка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?
17. В каждой клетке доски 17×17 стоит шашка. Играют двое. За ход разрешается снять с
доски любое количество подряд идущих шашек либо из одной вертикали, либо из оной
горизонтали. Выигрывает снявший последнюю шашку. Кто выиграет?
17. В каждой клетке доски 17×17 стоит шашка. Играют двое. За ход разрешается снять с
доски любое количество подряд идущих шашек либо из одной вертикали, либо из оной
горизонтали. Выигрывает снявший последнюю шашку. Кто выиграет?
18. На п лоском ровном поле растут 6 деревьев: А, Б, В, Г, Д и Е. По полю проходит прямая дорога. Землеустроитель установил на дороге 17 столбов, и на каждом прикрепил
табличку, на которой перечислены имена деревьев, причем первым указано ближайшее, вторым – второе по удаленности и т.д. Докажите, что найдутся два столба с одинаковыми табличками.
18. На п лоском ровном поле растут 6 деревьев: А, Б, В, Г, Д и Е. По полю проходит прямая дорога. Землеустроитель установил на дороге 17 столбов, и на каждом прикрепил
табличку, на которой перечислены имена деревьев, причем первым указано ближайшее, вторым – второе по удаленности и т.д. Докажите, что найдутся два столба с одинаковыми табличками.
19. Караван верблюдов. По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в
1 км. Всадник проехал от конца каравана к
началу и вернулся к концу каравана с постоянной скоростью. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник?
19. Караван верблюдов. По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в
1 км. Всадник проехал от конца каравана к
началу и вернулся к концу каравана с постоянной скоростью. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник?
20. Саша разрезал головку сыра на 10 кусков и съел самый маленький кусок. Потом он
разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Потом он снова разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Какую
наибольшую долю головки мог съесть Саша?
20. Саша разрезал головку сыра на 10 кусков и съел самый маленький кусок. Потом он
разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Потом он снова разрезал один из кусков на два, и съел самый маленький кусок из десяти. Какую
наибольшую долю головки мог съесть Саша?
7 класс, серия 3, c алгебраическим уклоном
7 класс, серия 3, c алгебраическим уклоном
Упражнение на раскрытие скобок. Докажите, что a) x2–y2 =z2; б) (x+y)2 =x2+2xy+y2;
в) (x–y)2 =x2–2xy+y2.
Упражнение на раскрытие скобок. Докажите, что a) x2–y2 =z2; б) (x+y)2 =x2+2xy+y2;
в) (x–y)2 =x2–2xy+y2.
21. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно а) 33 делителя; б) 44 делителя.
21. Найдите наименьшее натуральное число, у которого ровно а) 33 делителя; б) 44 делителя.
22. В коробке лежит 300 спичек. Играют двое. За ход разрешается взять не более половины имеющихся в нем спичек. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет
при правильной игре?
22. В коробке лежит 300 спичек. Играют двое. За ход разрешается взять не более половины имеющихся в нем спичек. Выигрывает взявший последнюю спичку. Кто выиграет
при правильной игре?
23. В классе учатся мальчики и девочки. Средний вес мальчиков равен 42 кг, девочек -–
27 кг, а всех школьников –35,5 кг. Докажите, что количество мальчиков делится на 17.
23. В классе учатся мальчики и девочки. Средний вес мальчиков равен 42 кг, девочек -–
27 кг, а всех школьников –35,5 кг. Докажите, что количество мальчиков делится на 17.
24. Можно ли квадрат 16×16 разбить на 64 прямоугольника 1×4, из которых 31 будут
стоять вертикально, а остальные 33 – горизонтально?
24. Можно ли квадрат 16×16 разбить на 64 прямоугольника 1×4, из которых 31 будут
стоять вертикально, а остальные 33 – горизонтально?
25. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька, купил газету и стал ее читать. На рынке он прервал чтение, купил картошку и пошел домой. Проходя мимо ларька, он вспомнил про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние от дома до рынка,
если путь занял ровно 1 час, скорость Васи налегке составляет 6 км/ч, скорость Васи с
картошкой составляет 3 км/ч, а чтение газеты снижает скорость до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?
25. По пути из дома на рынок Вася остановился около ларька, купил газету и стал ее читать. На рынке он прервал чтение, купил картошку и пошел домой. Проходя мимо ларька, он вспомнил про газету и снова стал ее читать. Каково расстояние от дома до рынка,
если путь занял ровно 1 час, скорость Васи налегке составляет 6 км/ч, скорость Васи с
картошкой составляет 3 км/ч, а чтение газеты снижает скорость до 3 км/ч и 2 км/ч соответственно?
26. Докажите, что число m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m.
26. Докажите, что число m(m+1) не является степенью целого числа ни при каком натуральном m.
27. В одноэтажном отеле 20 комнат. Постоялец может занимать либо две соседние комнаты в течение одного дня,
либо одну комнату в течение двух дней. Комната стоит 1
гульден в день. Согласно книге посетителей, в первый день
сезона комната №1 была свободна, а в последний, сотый день сезона свободна была
комната №20. Докажите, что выручка отеля за сезон не превзошла 1996 гульденов.
27. В одноэтажном отеле 20 комнат. Постоялец может занимать либо две соседние комнаты в течение одного дня,
либо одну комнату в течение двух дней. Комната стоит 1
гульден в день. Согласно книге посетителей, в первый день
сезона комната №1 была свободна, а в последний, сотый день сезона свободна была
комната №20. Докажите, что выручка отеля за сезон не превзошла 1996 гульденов.
28. Найдите все натуральные n, для которых (n–1)! не делится на n2.
28. Найдите все натуральные n, для которых (n–1)! не делится на n2.
29. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и
b – точные квадраты.
29. Известно, что n2= a×b, причем (a, b) = 1. Докажите, что и a, и
b – точные квадраты.
30. В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них — вампиры, но
мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер
попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его
мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух
других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в
Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
30. В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них — вампиры, но
мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер
попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его
мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух
других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в
Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
7 класс, серия 4, рыцарская
Упражнение на раскрытие скобок. Докажите, что a) x3–y3 = (x–y)(x2+xy+y2); б)
x3+y3 = (x+y)(x2–xy+y2); в)(x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3; г) (x–y)3 =x3–3x2y+3xy2–y3.
31. На каждой грани куба поставлено натуральное число. В каждой вершине
этого куба поставлено произведение чисел на примыкающих к этой вершине
гранях. Сумма всех чисел в вершинах оказалась равна 1001. Чему может быть
равна сумма всех чисел на гранях?32. Тройка натуральных чисел (x, y, z) таких, что x2+y2=z2,
называется пифагоровой тройкой. Если же (x, y, z)=1, то число
называется примитивной пифагоровой тройкой. Докажите, что
в любой пифагоровой тройке
есть хотя бы одно а) четное число; б) число, кратное 3; в) лось 2n
рыцарей, причем каждый из них имеет присутствующих не более n–1 врага. Докажите, что Мерлин, советник Артура, может рассадить рыцарей за круглым
столом так, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом
34. На берегу озера три замка -– A , B и C .
Рыцари обходят озеро вдоль берега. Они
вышли из деревни A двумя группами; первая группа пошла в сторону B , вторая – в
сторону C . Дойдя до этих замков, рыцари
разделились: в каждой группе несколько
человек повернули обратно и вернулись в A
с той же стороны, откуда вышли. Все
остальные продолжили поход и в конце
концов вернулись в A с другой сороны, обойдя озеро. Известно, что в первой
группе было 100 рыцарей, а в C побывало на 10 человек больше, чем в B .
Сколько рыцарей прошло во время похода из C в A?
35. Вася и Петя получили от своих родителей по 100 руб. и пошли кататься по
городу. Вася катался на маршрутках за 17 руб. и за 10 руб., а Петя – на автобусах
за 12 руб. К вечеру оказалось, что они сделали поровну поездок и потратили
одинаковое количество денег. Сколько денег у них осталось?
36. По кругу стоят 22 человека, каждый из которых рыцарь (который всегда говорит правду) или лжец (который всегда лжет). Каждый произнес фразу : «10
человек, стоящие после меня по часовой стрелке - лжецы». Сколько лжецов
среди этих 22 человек?
37. На доске выписано в ряд 101 натуральное число. Разрешается из двух соседних чисел вычесть 1. Известно, что такими операциями можно получить набор
1, 0, 0, 0,…, 0 (всего 100 нулей) и можно получить набор 0,.., 0, 0, 0, 1. Доказать,
что можно получить набор 0,…, 0, 1, 0, …, 0 (50 нулей справа и 50 слева).
38. В стране живет несколько рыцарей, каждые два из которых либо дружат,
либо враждуют между собой, причем каждый имеет
ровно n врагов. Все рыцари живут по принципу:
"Враг моего друга - мой враг". Как-то раз один рыцарь со зла на тяжелые условия жизни перебил всех
своих врагов, после чего осталось в живых ровно 5
рыцарей. Докажите, что n делится на 5.
39. Может ли шестизначное число вида 𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏
быть квадратом натурального числа (цифры a и b не
обязательно различны)?
40. Докажите, что произведение любых n подряд идущих натуральных чисел
делится на n!
41. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПИФАГОРОВЫХ ТРОЕК
Докажите, что во множестве M = {1, 2, …, 250} можно выделить 10 подмножеств так, чтобы для каждого натурального
k ≤ 250 можно было указать 5 из этих множеств, пересечение которых равно {k} (то есть множеству, единственным элементом
которого является число k).
49.