Конспект урока, проведенного в 11-ом классе по теме «Логарифмическая функция».

-1-
Муниципальное общеобразовательное учреждение
общеобразовательная средняя школа №9
Конспект урока, проведенного в 11-ом классе
по теме «Логарифмическая функция».
Шестакова Светлана Анатольевна
учитель 1-ой квалификационной категории
Применяемые технологии:
1.Здоровьесбережения
2.Применение ИКТ
3.Личностно-ориентированные технологии
4.Индивидуальное обучение
Березники
2006-2007
-2-
Разработка урока по алгебре в 11 классе учителя
математики Шестаковой С.А.
Семинар по теме «Логарифмическая функция.»
Цели Задача урока:осознать и усвоить понятие «логарифмическая функция» и её
свойства .
урока:
обучающая:
1.обобщение свойств логарифмической функции
2.обобщение и систематизация знаний ,умений и навыков учащихся при решении
уравнений и неравенств.
развивающая:
Развитие математически грамотной речи,логического мышления, сознательного
восприятия учебного материала.
Воспитательная:
воспитание познавательной активности,культуры общения,ответственности .
Материалы и оборудование к уроку:
1.компьютер
2.диапроектор
3.логарифмические таблицы
4.логарифмическая линейка
5.рефераты по темам: а).Из истории логарифмов
б).логарифмическая спираль
в)логарифмы и музыка
г).Звёзды,шум и логарифмы.
Методы проведения урока:беседа,диалог,индивидуальная работа,самостоятельная
работа.
Ход урока.
1.Организационный момент урока.
2.Постановка задачи и целей урока.
3.Устная работа.
4.Реферат по теме «Из истории логарифмов».
5.Повторение определения и свойств логарифмической функции.
6.Выполнение упражнений.
7.Реферат по теме «Логарифмы и музыка»
8.Задача-софизм.
9.Задача из книги Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» на проценты.
10.Задача о наследстве Бенжамина Франклина.
11.Реферат «Логарифмическая линейка».
12.Задача на построение графика логарифмической функции.
13.Реферат «Логарифмическая спираль в природе и технике».
14.решение уравнений (самостоятельная работа с самопроверкой )
15.Домашнее задание .
16.Итог урока.
-3Приложение к уроку-семинару по теме «Логарифмическая функция».
Презентация.
Слайд №2
Логарифмическая функция.
цель урока:Узнать новое о логарифмической функции.
Слайд №3.
Повторение.
1.Дать определение логарифма числа.
2.Вычислить:
log 1 36  log 1 12
3
3.Решить уравнение:
log 6 4  log 6 9
3
log 5 x  4 log 5 3 
1
log 5 27
3
Слайд№4.
Решите уравнение:
1
1
log 7 x  2 log 7 5  log 7 36  log 7 125
2
3
Решение:
log 7 x  log 7
5  36
2
125
1
2
x
1
3
25  6
5
Слайд №5.
Повторение свойств логарифмической функции:
1.Какая функция называется логарифмической?
2.В какой точке её график пересекает ось ОХ ?
3.При каких условиях функция возрастает?Убывает?
Слайд №6.
Сравните числа:
log 2 3 и log 1
2
log 3 4 и log 3 6
1
5
log 1 7 и log 1 9
4
4
Слайд №7.
Установите знак выражения:
log 0.8 3  log 6
Решение:
log 0.8 3  log 0.8 1  log 0.8 3  0
log 6
2
2
 log 6 1  log 6  0
3
3
log 0.8 3  log 6
2
0
3
2
3
x  30
-4Слайд №8.Приложение логарифмов.
«Даже изящные искусства питаются ею.
Разве музыкальная гамма не есть
Набор передовых логарифмов?»
Из «Оды экспоненте»
Слайд №9.Логарифмы и музыка.
Музыканты редко увлекаются математикой. Большинство из них питают к этой науке
чувство уважения. Между тем, музыканты – даже те, которые не проверяют подобно
Сальери у Пушкина “алгеброй гармонию”, встречаются с математикой гораздо чаще, чем
сами подозревают, и притом с такими “странными” вещами, как логарифмы. Известный
физик Эйхенвальд вспоминал:
Слайд№10.Воспоминания Эйхенвальда:
«Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математику. Он даже
говорил с оттенком пренебрежения, что музыка и математика друг с другом не имеют
ничего общего. “Правда, Пифагор нашел какие-то соотношения между звуковыми
колебаниями, - но ведь как раз пифагорова – то гамма для нашей музыки и оказалась
неприемлемой”. Представьте же себе, как неприятно был поражен мой товарищ, когда
я доказал ему, что, играя по клавишам современного рояля, он играет, собственно
говоря, на логарифмах”.
Слайд №11.
И действительно, так называемые ступени темперированной хроматической гаммы
(12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы. Только
основание этих логарифмов равно 2 (а не 10, как принято в других случаях).
Слайд №12.
Положим, что ноте “до” самой низкой октавы – будем ее называть нулевой –
соответствует частота, равная п колебаниям в секунду. В октаве частота колебаний
нижнего звука в 2 раза меньше верхнего, т.е. эти частоты соотносятся как 1 : 2. Тогда
ноте “до” первой октавы будут соответствовать 2п колебания в сек., а ноте “до” m-ой
n2 m колебания в сек. И т.д.. Тогда высоту, т.е. частоту любого звука
октавы можно выразить формулой
N mp  n  2 m
 2
12
p
Здесь p-номер ноты хроматической гаммы рояля
Слайд №13.
Логарифмируя эту формулу, Получаем lg N mp = lg n + m lg2 + +p(lg2)/12,
lg N mp = lg n + (m + p/12)lg2.Принимая частоту самого низкого “до” за единицу (n = 1)
и приводя все логарифмы к основанию 2. имеем
log 2 N mp  m 
p
12
-5Слайд №14.Логарифмический софизм.
Что за прелесть «Логарифмическая комедия 2 > 3»
2
Комедия начинается с неравенства  1    1 
2
2
следует преобразование
1 1

4 8
3
бесспорно правильного. Затем
тоже не внушающее сомнение. Большему числу соответствует больший логарифм,
значит,
Слайд №15.
получаем:
2
1
1
lg    lg  
2
2
3
;
2 lg
1
1
 3 lg
2
2
;
23
.
В чём заключается ошибка?
Слайд№16.Это интересно.
Любопытная задача, взятая из книги “Господа Головлевы” Салтыкова-Щедрина:
“Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными
выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: Сколько было бы у него
денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей
не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит,
однако, немного: всего 800 рублей?
Слайд №17.
Предполагая, что Порфирию в момент расчета было 50 лет, и, сделав допущение, что
он произвел вычисления правильно (допущения маловероятное, т.к. едва ли Головлев
знал логарифмы и умел вычислять сложные проценты), требуется установить, сколько
% платил в то время ломбард.
Слайд № 18.
Найдите процент банка,
используя формулу сложных процентов
n
p 

N  a  1 
 , a  первоначальный
 100 
вклад, p  процент банка , n  количество лет
Слайд №19.
“Можно ли число 3 представить тремя двойками?”
Решение:
3   log 2 log 2
2
-6Слайд № 20.
Завещание Франклина
Препоручаю тысячу фунтов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту
тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать
их с процентами,по 5 на 100 в год, в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через
сто лет возвысится до 131000 фунтов стерлингов. Я желаю, чтобы тогда 100000 фунтов
были употреблены на постройку общественных зданий, остальные же 31000 фунтов
отданы были в проценты на 100 лет. По истечению второго столетия сумма возрастет
до 4060000 фунтов стерлингов. Из коих 1060000 фунтов оставляю в распоряжение
бостонских жителей, а 3000000 – правлению Массачусетской общины.
Слайд № 21.
Далее не осмеливаюсь простирать своих видов.
Оставляя всего 1000 фунтов, Франклин распределяет миллионы. Математический
расчет подтверждает, что соображения завещателя вполне реальны. 1000 фунтов,
увеличиваясь в 1,05 раза ,через 100 лет должны превратиться в x  1000  1.05100
фунтов. Это выражение можно вычислить с помощью логарифмов lg x=
+100lg1, 05 = 5,11893 откуда х = 131000 в согласии с текстом завещания.
lg 1000 +
Слайд № 22.
Далее 31000 фунтов в течение следующего столетия превращается в
100
сумму у = 31000  1,05
, откуда вычисляя с помощью логарифмов, находим у =
4076000,сумму несущественно отличающуюся от условия завещания.
Слайд № 23.
Постройте график функции
Решение:
Д(у):
y
 2
2 log2
2 x
0
x 1
3
x 1
2 x
x 1
2
;
log2
2 x
x 1
y  1

 2
2 log2
2 x
x 1
x   1;2
; при x   1;2
y
3
x 1
2 x
x 1
-7Слайд №24
Решите уравнения:
log 1 2 x  1  log 3
3
log 25 x  1  log
5
1
x3
ответ : 4
ответ : 6
1
 log 1 125
x 1
25
Слайд № 25.
Решите уравнения:
log 2  x log 26 x 3 log x

1
4
2   14

 3x 
 3x 
log 1   1  log 26 3 x 26  2 log 1   1
26 
26 
15 
15 
ответ : 218
ответ :
Слайд №26.
Решите уравнения:
lg 2 x  10 lg x  9  0
log x 37  log 37 x 2  1
Слайд №27.
Домашнее задание:
Стр.300 №171;
№175(а,б)
Стр.293 №114(а.в)
ответ : 10; 10 9
ответ : 37 и
1
37
52
и9
3
-8-
Логарифмическая спираль в природе и технике.
В технике часто применяют вращающиеся ножи. Сила,с которой они давят
на разрезаемый материал,зависит от угла резания,т.е. угла между лезвием
ножа и направлением скорости вращения.Для постоянства давления
нужно,чтобы угол резания сохранял постоянное значение .а это будет в том
случае,если лезвия ножей очерчены по дуге логарифмической
спирали.Величина угла резания зависит от обрабатываемого материала.
В гидротехнике по логарифмической спирали изгибают трубу ,подводящую
поток воды к лопастям турбины.Благодаря такой форме трубы потери
энергии на изменение и направление течения в трубе оказываются
минимальными и напор воды используется с максимальной
производительностью.
Пропорциональность длины дуги спирали радиус-вектору используют при
проектировании зубчатых колёс с переменным передаточным числом.Для
этого берут два квадрата ,расположенных так,как показано на рисунке.
И через середину и конец каждой стороны проводят дуги одинаковых
логарифмических спиралей с полюсами в центрах квадратов,причём одна
спираль закручивается по часовой стрелке,а другая –против часовой
стрелки..Тогда при вращении этих квадратов дуги спиралей будут катиться
одна по другой без скольжения.Передаточное же число,т.е.
отношение угловых скоростей этих колёс ,будет непрерывно
меняться,достигая в течение одного оборота колеса четыре раза
максимального значения и четыре раза минимального.
Живые существа обычно растут ,сохраняя общее начертание своей
формы.При этом чаще всего они растут во всех направлениях-взрослое
существо и выше и толще детёныша.Но раковины морских животных могут
расти лишь в одном направлении.Чтобы не слишком вытягиваться в
длину,им приходится скручиваться,причём рост совершается так,что
сохраняется подобие раковины с её первоначальной формой.А такой рост
может совершаться лишь по логарифмической спирали.Поэтому раковины
многих моллюсков,улиток,а также рога таких млекопитающих,как архары
(горные козлы),закручены по логарифмической спирали.Можнс сказать.что
эта спираль является математическим символом соотношения формы и
роста.Великий немецкий поэт Иоганн-Вольфган Гёте считал её даже
математическим символом жизни и духовного развития.
По логарифмической спирали очерчены не только раковины,но и в
подсолнухе семечки расположены по дугам,близким к логарифмической
спирали и т. д..Один из наиболее распространённых пауков,эйпера,сплетая
нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.По ним также закручены
и многие галактики,в частности Галактика,которой принадлежит Солнечная
система.
-9-
Вид логарифмической спирали
- 10 -
- 11 -
Логарифмическая Спираль в природе и технике.
Логарифмическая спираль - плоская кривая, описываемая точкой,
движущейся по прямой, которая вращается около одной из своих точек
(полюса) так, что логарифм расстояния движущейся точки от полюса
изменяется пропорционально углу поворота.
Примеры логарифмической спирали
1.Соцветия цветов,
2.Расположение листьев на стебле растения,
3.Ряд чисел Фибоначчи.
4.В пятиугольниках,
5.Пропорции человеческого тела,
6.Специальные формы моллюсков.
Загадочные Круги.
Первые круги на полях были замечены в 1972-м году, когда два
очевидца, Артур Шаттлвуд и Брюс Бонд, сидели на склоне холма,
надеясь увидеть тот загадочный неопознанный летающий объект,
сделавший этот район Англии Меккой для уфологов. Но то, что они
увидели этой лунной ночью, было несколько более экстраординарным: в
сотне футов они заметили, как часть колосьев веерообразно полегла,
образовывая ровный круг.
С того момента поступило около восьмидесяти сообщений о точно таких
же происшествиях. Появление круга занимает около двадцати секунд, и
часто сопровождается скрипящим звуком, который был записан на
пленку и признан НАСА как звук искусственного происхождения.
Спустя декаду феномен начал проявлять себя количественно. К тому
моменту насчитывалось уже больше 9000 сообщений о КНП по всему
миру, 90% которых поступило из Англии. В который раз правительство
пытается подчинить себе общественное мнение о нло, используя метод
дезинформации. Но настоящие фигуры можно отличить от фальшивок.
Настоящие фигуры математически точны, в некоторых зашифрованы
различные сложные теоремы. Края настоящих фигур сильно
отличаются от фальшивок, так как выведены с хирургической
точностью. Колосья закручены в спираль, в которой используются те же
логарифмические пропорции, что и в числах Фибоначчи или золотой
пропорции, которые, впрочем, можно найти и в природе, например в
ракушке или роге барана. Еще одна особенность настоящих кругов - это
повышенное инфракрасное излучение внутри и снаружи фигуры
- 12 -
Также при изготовлении настоящего круга загадочные силы используют
чрезвычайно сложные формы Евклидовой геометрии, чтобы изменить
магнитную структуру, из-за чего компасы не могут определить, где
север, а где юг. При этом камеры, мобильные телефоны и батареи не
функционируют, и приборы самолета начинают дурить при пролете над
фигурой, счетчики Гейгера показывают увеличение радиации примерно
в три раза по сравнению с нормальным фоном. Животные из окрестных
ферм избегают место фигуры на поле даже до того, как фигура появится.
Очень часто автомобильные аккумуляторы в окрестных деревнях
полностью разряжаются, а иногда электричество выключается во всем
поселке.
- 13 -
Звёзды,шум и логарифмы. (Сообщение ученика.)
Речь пойдёт о звёздах и о шуме в тесной связи с логарифмами.Шум
и звёзды объясняются здесь потому,что и громкость шума,и
яркость звёзд оцениваются одинаковым образом-по
логарифмической шкале.
Сходным образом оценивается и громкость шума.Вредное
влияние промышленных шумов на здоровье рабочих и на
производительность труда побудило выработать приёмы точной
числовой оценки громкости шума.Единицей громкости служит
«бел»,практически-его десятая доля, «децибел».Последовательные
степени громкости -1 бел,2 бела и т.д.(практически -10 децибел,20
децибел и т.д.)-составляют для нашего слуха геометрическую
прогрессию со знаменателем 10.Разности громкостей в 1 бел
отвечает отношение силы шумов 10.Значит ,громкость шума
,выраженная в белах,равна десятичному логарифму его физической
силы.
Рассмотрим несколько примеров.Тихий шелест листьев
оценивается в 1 бел,громкая разговорная речь –в 6,5 бел,рычание
льва –в 8,7 бела.Отсюда следует,что по силе звука разговорная речь
превышает шелест листьев в 10 6,51  10 5,5  316000 раз.;
львиное рычание сильнее громкой разговорной речи в
10 8,7 6,5  10 2, 2  158 раз.
Шум,громкость которого больше 8 бел,признаётся вредным для
человеческого организма.Указанная норма на многих заводах
превосходится:здесь бывают 10 бел и более;удары молотка в
стальную плиту порождают шум в 11 бел.Шумы эти в 100 и1000
раз сильнее допустимой нормы и в 10 -1000 раз громче самого
шумного места Ниагарского водопада (9 бел).
Случайность ли то ,что и при оценке видимой яркости светил и при
измерении громкости шума мы имеем дело с логарифмической
зависимостью между величиной ощущения и порождающего его
раздражения?Нет,и то ,и другое –следствие общего закона
(называемого «психофизическим законом Фехнера») ,гласящего:
величина ощущения пропорциональна логарифму величины
раздражения.Как видим,логарифмы вторгаются и в область
психологии.
Логарифмическая
- 14 линейка.(.сообщение ученика)
Логарифмическая линейка (счётная линейка)- инструмент для несложных
вычислений ,с помощью которого операции над числами (умножение ,
деление, возведение в степень ,извлечение корня и т.д. заменяются
операциями над логарифмами этих чисел . Логарифмическая линейка состоит
из корпуса ,
движка и бегунка , имеющего визирную линию.
Логарифмическая линейка ,прообразом которой явилась так называемая
гантерова линейка ,была изобретена
английским математиком Э. Гантером вскоре после открытия логарифмов и
описана им в 1623 году .Это была логарифмическая линейка (шкала) на
которой сложение отрезков производилось с помощью циркуля .В 1630 году
английский математик У. Отред заменил циркуль второй линейкой
(движком). В дальнейшем усовершенствовались лишь детали :в 1650 году
была осуществлена идея нанесения шкалы по спирали на цилиндрической
поверхности ;в 30-ых годах 19 века появился прибор.действующий по
принципу линейки Гантера , выполненный в виде часов с вращающимся
циферблатом (логарифмическая шкала) и подвижной стрелкой,- прообраз
современных круглых логарифмических линеек; в 1850 году к
логарифмической линейке был добавлен бегунок ,что значительно упростило
работу с ней ;в начале 20-го века для расчётов с повышенной точностью
использовались т.н. счётные вальцы – вид логарифмической линейки ,шкалы
которой нанесены по образующим цилиндрических вальцов ;движком
служил полый цилиндр с окнами ,прорезанными против основных шкал
;деление движка нанесено по краям этих прорезей.
Современная логарифмическая линейка-простой и удобный счётный
инструмент ,ещё совсем в недавнее время без неё не мог обойтись ни один
инженер.
- 15 -
Логарифмические таблицы
сообщение
Логарифмические таблицы, таблицы логарифмов чисел; применяются для упрощения
вычислений. Наиболее распространены таблицы десятичных логарифмов. Т. к.
десятичные логарифмы чисел N и 10kN (при k целом) различаются только
характеристиками и имеют одинаковые мантиссы (lg10kN = k + lg N), то в таблицах
десятичных логарифмов приводятся только мантиссы логарифмов целых чисел. Для
отыскания характеристики служат правила: 1) характеристика числа, большего 1, на
единицу меньше числа цифр в целой части этого числа (так, lg 20 000 = 4,30103) и 2)
характеристика десятичной дроби, меньшей 1, равна взятому со знаком минус числу
нулей, предшествующих первой в дроби цифре, отличной от нуля (так, lg 0,0002 = 4,30103, т. о., десятичные логарифмы дробей записываются в виде суммы положительной
мантиссы и отрицательной характеристики).
Существуют таблицы десятичных логарифмов с различным числом знаков мантисс.
Наиболее распространены 4-значные и 5-значные таблицы. Иногда употребляют 7значные таблицы, а в редких случаях — таблицы, позволяющие без большого труда
вычислять логарифмы с большим числом знаков. В Л. т. часто приводятся таблицы
антилогарифмов — чисел, логарифмы которых суть данные числа, и таблицы так
называемых гауссовых логарифмов, служащих для определения логарифмов суммы или
разности двух чисел по известным логарифмам этих чисел (без промежуточного
нахождения самих чисел). Кроме логарифмов чисел, Л. т. содержат обычно логарифмы
тригонометрических величин.
Первые Л. т. были составлены независимо друг от друга Дж. Непером и швейцарским
математиком И. Бюрги. Таблицы Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов»
(1614) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619) содержали 8-значные
логарифмы синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0° до 90°, следующих через одну
минуту. Т. к. синус 90° тогда принимали равным 107, а на него часто приходилось
умножать, то Непер определил свои Л. так, что логарифм 107 был равен нулю. Логарифмы
остальных синусов, меньших 107, у него положительны. Непер не ввёл понятия об
основании системы логарифмов. Его логарифм числа N в современных обозначениях
приблизительно равен . Свойства логарифмов Непера несколько сложнее обычных, т. к. у
него логарифм единицы отличен от нуля.
«Арифметические и геометрические таблицы прогрессий» (1620) Бюрги представляют
собой первую таблицу антилогарифмов («чёрные числа») и дают значения чисел,
соответствующих равноотстоящим логарифмам («красным числам»). «Красные числа»
Бюрги суть логарифмы поделенных на 108 «чёрных чисел» при основании, равном
. Таблицы Бюрги и особенно Непера немедленно привлекли внимание
математиков к теории и вычислению логарифмов. По совету Непера английский
математик Г. Бриге вычислил 8-значные десятичные логарифмы (1617) от 1 до 1000 и
затем 14-значные (1624) от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 (по его имени десятичные
логарифмы иногда называют бриговыми). 10-значные таблицы от 1 до 100 000 издал
голландский математик А. Влакк (1628). Таблицы Влакка легли в основу большинства
последующих таблиц, причём их авторы внесли много изменений в структуру Л. т. и
поправок в выкладки (у самого Влакка было 173 ошибки, у австрийского математика Г.
- 16 Вега в 1783 — пять; первые безошибочные таблицы выпустил в 1857 немецкий математик
К. Бремикер). В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 при участии Л.
Ф. Магницкого. Таблицы т. н. гауссовых логарифмов были опубликованы в 1802
итальянским математиком З. Леонелли; К. Ф. Гаусс ввёл (1812) эти логарифмы в общее
употребление.