Лист Мебиуса.

Предлагаем один из вариантов проведения внеклассного занятия по математике. Занятие
рассчитано на учеников 5-7 классов. Примерное время проведения – 40-50 минут.
Для проведения необходимо иметь: бумагу, ножницы (не меньше одних на парту), скотч
(не меньше одного на парту), листы гипотез и листы эксперимента (по количеству детей).
Желательно, чтобы учитель на данном занятии был не один (возможно привлекать
учащихся старших классов).
В начале урока учитель говорит, что сегодняшнее занятие будет посвящено такому
интересному предмету, как Лист Мебиуса (ЛМ). Пока учитель дает краткую справку
(Август Мебиус, немецкий математик и астроном, в одной из своих работ описал
геометрическую поверхность, обладающую удивительным свойством; каким именно, мы
узнаем в процессе нашего занятия. Эту поверхность и называют ЛМ, а иногда Лентой
Мебиуса. ЛМ считается одним из символов современной математики, а момент его
открытия стал началом рождения науки – топологии) его помощник раздает на парты
листы гипотез:
Фамилия, Имя _________________________________________________________
Лист гипотез.
1. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль посередине?
2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?
3. На разных сторонах Листа Мебиуса сидят паук и муха. Сможет ли паук
подкрасться к мухе, не переходя через край ленты?
4. Если начать закрашивать Лист Мебиуса с одной стороны, не переходя через край,
то какая часть Листа Мебиуса окажется в результате закрашенной?
5. Что получиться, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль
посередине?
Далее учитель с помощником показывают, как склеить ЛМ. Надо взять прямоугольник
ABB1 A1 :
B
B1
A
A1
и склеить его концы, предварительно повернув один из них на 180 0 , так, что точки A и B
совместятся с точками B1 и A1 соответственно.
Здесь нужно взять крупный лист бумаги, чтобы получившуюся модель можно было легко
рассмотреть и с последних парт. Вместо клея удобно использовать скотч. Важно: ученики
в этот момент сами ничего не делают, только наблюдают. После того, как образец ЛМ
получен, учитель предлагает детям заполнить листы гипотез, поясняя каждый вопрос.
Ответы на вопросы ребята будут писать прямо на полученных листах, для чего при
подготовке этих листов после каждого вопроса необходимо оставить пару пустых строк.
Нужно подчеркнуть, что, заполняя этот лист, мы просто предполагаем (выдвигаем
гипотезу), а проверять правильность наших предположений будем позже.
После того, как все ученики заполнили и сдали учителю свои листы гипотез, учитель с
помощником раздают на каждую парту альбомные листы, ножницы, скотч и листы
эксперимента:
Фамилия, Имя _________________________________________________________
Лист эксперимента.
1. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль посередине?
2. Что получится, если разрезать ЛМ вдоль, отступив треть от края?
3. На разных сторонах Листа Мебиуса сидят паук и муха. Сможет ли паук
подкрасться к мухе, не переходя через край ленты?
4. Если начать закрашивать Лист Мебиуса с одной стороны, не переходя через край,
то какая часть Листа Мебиуса окажется в результате закрашенной?
5. Что получиться, если перекрутить ленту дважды, а потом разрезать вдоль
посередине?
6. Предложите свой эксперимент с Листом Мебиуса
7. Сколько ответов с листа гипотез совпало с ответами на листе экспериментов?
Ученикам предлагается самим склеить ЛМ, провести соответствующий эксперимент и на
полученных листах дать ответы на вопросы (как и в первом случае, ответы пишутся
прямо на этих листах).
В процессе урока учитель с помощником помогают ребятам правильно склеить ЛМ, еще
раз поясняют вопросы, следят, чтобы ученики не забывали заполнять свои листы.
После окончания занятия ребята сдают заполненные листы, учитель подводит итоги. При
этом ребята должны ответить на вопросы: 1) каким же удивительным свойством обладает
ЛМ (имеет только одну сторону), 2) какие из экспериментов подтверждают это свойство
(вопросы 3 и 4). Если занятие как-то будет оцениваться (оценка в журнал, баллы и проч.),
то учитывать нужно
следующие моменты: на каждый вопрос в листе гипотез дан
предполагаемый ответ (не обязательно оказавшийся верным), на каждый вопрос в листе
эксперимента дан ответ (правильный), полнота ответа также должна учитываться. Если
оценка на таком занятии не предусмотрена, то по результатам работы можно наградить
лучшего исследователя (или исследователей).
Важно: ученики должны понять, что количество оказавшихся верным гипотез не влияет
на успешность всего эксперимента и на качество выполненной ими работы (гипотеза была
выдвинута и проверена, и если она была опровергнута – это тоже результат).
Возможные ответы на вопросы листа эксперимента
1. Что получится, если разрезать ЛМ Получится дважды перекрученная лента, причем
вдоль посередине?
она длиннее и тоньше первоначального ЛМ.
2. Что получится, если разрезать ЛМ Получится еще один ЛМ, шириной в треть от
вдоль, отступив треть от края?
первоначального, а в него продета длинная и
тонкая лента, дважды перекрученная вдоль своей
оси. (Получив этот результат, пятиклассница Настя
Куршева сказала: «Я это вижу, но этого не может
быть». ).
3.
На
разных
сторонах
Листа Сможет.
Мебиуса сидят паук и муха. Сможет
ли паук подкрасться к мухе, не
переходя через край ленты?
4. Если начать закрашивать Лист Будет закрашен весь ЛМ.
Мебиуса
с
одной
стороны,
не
переходя через край, то какая часть
Листа
Мебиуса
окажется
в
результате закрашенной?
5. Что получиться, если перекрутить Получится две сцепленных перекрученных ленты
ленту дважды, а потом разрезать (не ЛМ)
вдоль посередине?
Никифорова Н.С., Устинов А.В.
Магнитогорск