ВОПРОСЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ (III семестр, 2006–2007 уч. год) 1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка: определение дифференциального уравнения, его решения; задача Коши; общее, частное, особое решения. Теорема существования и единственности решения. 2. Уравнения с разделенными переменными. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. 3. Однородные уравнения 1-го порядка и приводящиеся к ним. 4. Линейные уравнения 1-го порядка. Метод Лагранжа и метод Бернулли. Уравнение Бернулли. 5. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. 6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной: 1) уравнения первого порядка, разрешаемые относительно y неоднозначно; 2) неполные уравнения, параметрический метод решения; 3) уравнения Клеро и Лагранжа. 7. Уравнения высших порядков: определение, общее решение, задача Коши, теорема существования и единственности решения. 8. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка: 1) вида F ( x, y ( n ) ) 0 ; 2) не содержащие искомой функции и ее производных до ( k 1) -го порядка включительно; 3) не содержащие независимого переменного; 4) однородные относительно неизвестной функции и ее производных. 9. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков: 1)свойства решений, 2) определитель Вронского, теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на (a, b) функций, 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ n -го порядка, 4) Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ. ФСР. 10. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Отыскание общего решения ЛОДУ с постоянными коэффициентами в зависимости от корней характеристического уравнения. 11. ЛОДУ порядка 2 с произвольными коэффициентами. 12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков: метод вариации произвольных постоянных, структура общего решения ЛНДУ, отыскание частного решения ЛНДУ по виду правой части уравнения, теорема о наложении решений. 13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка: классификация методов, метод последовательных приближений и интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. 14. Краевые задачи. Задача Штурма – Лиувилля. 15. Системы дифференциальных уравнений: общий вид системы, решение системы. Канонические и нормальные системы. Задача Коши, теорема существования и единственности решения системы. Метод решения нормальной системы путем сведения к одному уравнению порядка n . 16. Линейные однородные системы: 1) свойства решений, 2) линейное пространство D n ( a, b ) , определитель Вронского n векторов пространства D n ( a, b ) , теорема об определителе Вронского для линейно зависимых на ( a, b ) векторов пространства D n ( a, b ) , 3) теорема об определителе Вронского для линейно независимых реше1 ний линейной однородной системы дифференциальных уравнений, 4) теорема о пространстве решений линейной однородной системы, ФСР. 17. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами, метод Эйлера. 18. Линейные неоднородные системы: метод вариации постоянных, структура общего решения линейной неоднородной системы, теорема о наложении решений. 19. Устойчивость решения дифференциального уравнения и системы дифференциального уравнения. Устойчивость автономных систем. Типы точек покоя. 20. Уравнения в частных производных: основные определения, первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, симметричная форма записи системы обыкновенных дифференциальных уравнений, линейные однородные уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование, линейные неоднородные уравнения в частных производных первого порядка и их интегрирование. 21. Двойной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, необходимое условие существования двойного интеграла, достаточные условия существования двойного интеграла, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных в двойном интеграле, приложения двойных интегралов. 22. Тройной интеграл: определение, геометрический и физический смысл, теоремы существования, свойства, вычисление в декартовых координатах, замена переменных в двойном интеграле, приложения тройных интегралов. 23. Криволинейные интегралы I рода: определение, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных интегралов I рода. 24. Криволинейные интегралы II рода: определение, физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения криволинейных интегралов II рода. 25. Связь между криволинейными интегралами II рода и двойными интегралами. Связь между криволинейными интегралами I и II рода. 26. Криволинейные интегралы II рода, не зависящие от пути интегрирования: необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования. Необходимое и достаточное условия равенства нулю криволинейного интеграла II рода по замкнутому контуру. 27. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. 28. Поверхностные интегралы I рода: определение, геометрический и физический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, приложения поверхностных интегралов I рода. 29. Поверхностные интегралы II рода: определение, теорема существования, свойства, вычисление. 30. Связь между поверхностными интегралами I и II рода. 31. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса (в векторных и скалярных формах). 32. Векторное поле: Определение, основные характеристики (векторные линии, поток и дивергенция, ротор и циркуляция). Типы векторных полей. 2 ДОКАЗАТЬ 1. Найти интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. 2. Доказать теорему о среднем для двойного (тройного, криволинейного I рода, поверхностного I рода) интеграла. С помощью теоремы о среднем найти 1 R0 R 2 где f x, y dxdy , lim x2 y 2 R2 f x, y – непрерывная функция. 3. Вывести формулу для определения статического момента или момента инерции плоской области (тела, кривой, поверхности). 4. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, N – нормаль к поверхности (S ) , C – ненулевой постоянный вектор, то cos(N , C )ds 0 . [ diva ( a, grad )]dV , (S ) 5. Доказать формулу ( a, n 0 )ds (S ) (V ) где ( x , y, z ) , (S ) – поверхность, ограничивающая тело (V ) , n 0 – орт внешней нормали к (S ) . 6. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность и функция u ( x , y, z ) удовлетворяет u ds 0 , где n (S ) уравнению 2u 2u 2u 0, dx 2 dy 2 dz 2 Лапласа то u – производная по направлению нормали к поверхности n (S ) . 7. Доказать, что если (S ) – замкнутая кусочно-гладкая поверхность, u( x , y, z ) является многочленом второй степени и нию нормали к (S ) , то интеграл функция u – производная по направлеn u ds пропорционален объему тела (V ) , n (S ) ограниченному поверхностью (S ) . 8. Пусть ( ) – кусочно-гладкая замкнутая кривая, расположенная в некоторой плоскости, и a P i Q j R j , где P , Q , R – линейные функции от x , y , зать, что если циркуляция Pdx Qdy Rdz ( ) отлична от нуля, то она пропор- циональна площади области (S ) , ограниченной ( ) . 3 z . Дока-