1. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Программа дисциплины
«Дифференциальные и разностные уравнения»
для направления 521600 - Экономика
(вторая ступень высшего профессионального образования - бакалавриат)
Аннотация: В данном курсе рассматриваются избранные разделы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений и теории рекуррентных уравнений. Такие уравнения возникают
при моделировании динамики разнообразных систем: от механических до социальных, объясняя
закономерности движения планет и закономерности развития экономики.
Курс предназначен для студентов бакалавриата факультета Экономики в первом модуле
второго курса и, в частности, предполагает у слушателей знания, предусмотренные программами
курсов "Математический анализ" и "Линейная алгебра" для направления «Экономика».
Учебная задача курса: В результате изучения курса студенты должны:
- знать точные формулировки основных понятий, уметь интерпретировать их на простых
модельных примерах, в том числе, на примерах описания экономической динамики;
- знать общие теоремы о структуре множества решений различных классов уравнений,
уметь применять специальные методы построения таких решений;
- знать некоторые методы качественного исследования свойств решений уравнений, в том
числе, исследования устойчивости решений;
- быть готовыми понимать разделы учебной и научной литературы, связанные с
применением динамических моделей, самостоятельно получать необходимые дополнительные
сведения о методах исследования таких моделей.
Формы контроля: По курсу предусмотрены две контрольные работы и одно домашние
задание. К экзамену допускаются только успешно выполнившие домашнее задание студенты. Заключительная оценка по курсу складывается из письменного ответа на экзамене. При этом часть
экзаменационных заданий может быть зачтена по результатам двух контрольных работ.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.1. Теоремы о существовании, единственности и дифференцируемой зависимости решений от начальных данных
Фазовое пространство, расширенное фазовое пространство, поле фазовых скоростей и
поле направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Решение
дифференциального уравнения. Фазовая кривая. Интегральная кривая. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых для уравнения с одномерным фазовым пространством.
Положения
равновесия.
Теорема
о
существовании,
единственности
и
дифференцируемости по исходным данным решения обыкновенного дифференциального
уравнения.
Задача
Коши.
Эквивалентность
уравнения
n-го
порядка

x ( n)  V (t , x, x, ... , x ( n1) ) векторному уравнению (системе уравнений) первого порядка.
Условия однозначной разрешимости для уравнений n-го порядка. Автономные уравнения.
Свойства фазовых и интегральных кривых автономного уравнения. Первые интегралы
дифференциального уравнения.
1.2. Примеры дифференциальных уравнений
Уравнения нормального размножения и радиоактивного распада. Уравнение взрыва.
Уравнения размножения с учетом конкуренции. Логистическая кривая. Квоты отлова. Отлов с
относительной квотой. Модель Лотка--Вольтерра системы хищник-жертва. Свободная частица на
прямой. Свободное падение. Математический маятник. Уравнение малых колебаний. Перевернутый маятник. Простейшие экономико-математические методы, приводящие к дифференциальным
уравнениям: динамическая модель рынка, модель Солоу экономического роста.
1
1.3. Некоторые классы дифференциальных уравнений
1.3.1. Уравнения первого порядка с одномерным фазовым пространством
.
x  V (t , x), x  R
1. Уравнения с разделяющимися переменными. Первый интеграл.
2. Однородные уравнения. Редукция однородного уравнения к уравнению с разделяющимися
переменными.
3. Линейные дифференциальные уравнения. Формула решения с данными начальными условиями.
4. Уравнения Бернулли. Редукция уравнения Бернулли к линейному дифференциальному уравнению.
5. Уравнения в полных дифференциалах. Первый интеграл.
1.3.2. Уравнения первого порядка с многомерным фазовым пространством
(системы уравнений первого порядка)
.
1. Линейные однородные уравнения с переменными коэффициентами: x  A(t ) x , где A(t ) -матрица размера n  n с непрерывно зависящими от t элементами. Структура множества
решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависимость решений от начальных
значений. Определитель Вронского.
.
x  A(t ) x  f (t ) , где
A(t ) и f (t ) -- матрицы размера n  n и n 1 с непрерывно зависящими от t элементами.
2. Линейные неоднородные уравнения с переменными коэффициентами:
Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных.
.
3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами:
вая матрица размера n  n .
x  Ax , где A -- число.
x  Ax  f (t ) , где
A -- числовая матрица размера n  n и f (t ) -- матрица размера n 1 с непрерывно зависящими от t элементами.
4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами:

1.3.3. Уравнения n -го порядка x ( n)  V (t , x, x, ... , x ( n1) ), x  R
1. Уравнения n -го порядка, допускающие понижение порядка.
.
с правой частью, не зависящей от x , x ,..., x
( n 1)
:x
(n)
 V (t ) .
с правой частью, не зависящей от неизвестной функции x : x

( n)

 V (t , x,..., x ( n1) ) .
( n 1)
с правой частью, не зависящей от t : x
 V ( x, x,..., x
).
2. Линейные однородные уравнения n -го порядка с переменными коэффициентами
( n)
x ( n )  a1 (t ) x ( n1) ...an (t ) x  0 . Структура множества решений. Фундаментальная система решений. Линейная зависимость решений от начальных значений. Определитель Вронского.
3. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с переменными коэффициентами
x ( n )  a1 (t ) x ( n1) ...an (t ) x  f (t ) . Структура множества решений. Принцип суперпозиции. Метод вариации произвольных постоянных.
4. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
x ( n )  a1 x ( n1) ...an x  0 .
5. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
x ( n )  a1 x ( n1) ...an x  f (t ) .
2
1.4. Комплексные числа
Определение. Вещественная и мнимая часть. Геометрическая интерпретация. Модуль и
аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи. Сложение, умножение, деление. Корни n -ой степени из комплексных чисел. Показательная функция комплексного аргуz
мента e и тригонометрические функции sin z и cos z . Вещественные и комплексно сопряженные корни многочлена с вещественными коэффициентами.
1.5. Методы решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
1. Построение фундаментальной системы решений уравнения
корням характеристического уравнения.
2. Построение частного решения уравнения x
( n)
x ( n )  a1 x ( n1) ...an x  0 по
 a1 x ( n1) ...an x  f (t ) для
f (t )  ( P(t ) cost  Q(t ) sin t )et
.
3. Построение фундаментальной системы решений уравнения x  Ax по корням характеристического уравнения.
4. Редукция системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка к одному
линейному дифференциальному уравнению n -го порядка (на примере n  2 ).
1.6. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений.
Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Достаточные условия устойчивости решений систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Классификация положений равновесия для линейных автономных уравнений на
плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло, центр. Исследование устойчивости
решений дифференциальных уравнений при помощи матрицы Якоби (по первому приближению).
2. Разностные (рекуррентные) уравнения
x(t  m)  V (t , x(t ),, x(t  m  1)) , где t  N
2.1. Примеры разностных уравнений
Арифметическая прогрессия. Геометрическая прогрессия. Последовательность частных
сумм числового ряда. Рост процентного вклада. Рост процентного вклада с регулярными взносами. Величина долга по займу с регулярными выплатами. Числа Фибоначчи. Паутинообразная
модель рынка. Модель делового цикла (Самуэльсона -- Хикса).
2.2. Методы решения линейных разностных уравнений c постоянными коэффициентами
1. Построение фундаментальной системы решений уравнения
x (t  m)  a1 x (t  m  1) ...a m x (t )  0 по корням характеристического уравнения.
2. Построение частного решения уравнения
x (t  m)  a1 x (t  m  1) ...a m x (t )  f (t ) для f (t )  ( P(t ) cost  Q(t ) sin t )  t
3. Принцип суперпозиции.
2.3. Устойчивость положения равновесия разностного уравнения.
Критерий устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
Достаточное условие существования устойчивого положения равновесия нелинейного уравнения x(t  1)  V ( x(t )) .
3
Список литературы
Базовые учебники
1. Лобанов С.Г. Конспект лекций по курсу "Дифференциальные и разностные уравнения". - М.:
Изд-во ВШЭ, 1998.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – М.:
Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для вузов. 3-е
изд. перераб. и доп. - М.: Наука, 1984.
Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: ГИФМЛ, 1959.
Есипов А.А., Сазонов Л.И., Юдович В.И. Практикум по обыкновенным дифференциальным
уравнениям. – М.: Вузовская книга, 2001.
Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – СПб.: Специальная
литература, 1996.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, Любое
издание.
Дополнительная литература
Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. – М.: МЦНМО, 2000.
Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике. Том 5.
Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. - М.: Изд-во "УРСС'', 1998.
3. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. –
М.: Физматлит, 2001.
4. Занг Вэй-Бин. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической
теории. – М.: Мир, 1999.
5. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Решебник. – М.:
Физматлит, 2000.
6. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновеннные дифференциальные уравнения и
основы вариационного исчисления. – М.: Наука, 1976.
7. Кемени Джон Дж., Снелл Дж.Л. Кибернетическое моделирование. Некоторые приложения. –
М.: Советское радио, 1972.
8. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие для вузов. 3-е изд. перераб. и доп. -- М.: Высшая школа,
1978.
9. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. – М.: ИНФРА-М, 1999.
10. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – СПб.: Лань, 2001.
11. Саати Томас Л. Математические методы исследования операций. – М.: Воениздат, 1963.
12. Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. В.И.Ермакова. – М.:
ИНФРА-М, 2001.
13. Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. - М.: Изд-во ВШЭ, 2000 г.
14. Учебные и контрольные задания по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Колл.
авт. А.К.Пономаренко, В.Ю.Сахаров и др. – СПб.: Изд-во Санкт-Петербургского университета,
2000.
15. Учебные материалы по курсу "Дифференциальные и разностные уравнения". Составители:
Андреев В.Б., Кюркчан А.Г., Чернявский В.М. - М.: Изд-во ВШЭ, 1996.
16. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2000.
1.
2.
4
17. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука,
1969.
18. Anthony Martin, Biggs Norman. Mathematics for Economics and Finance. Methods and Modelling.
– UK: Cambridge University Press, 1998.
19. Chiang Alpha C. Fundamental methods of mathematical economics. - McGraw-Hill, 1984.
20. Fuente de la Angel. Mathematical Methods and Models for Economists. – UK: Cambridge
University Press, 2000.
21. Hydon P.E. Symmetry Methods for Differential Equations. A Beginner’s Guide. –UK: Cambridge
University Press, 2000.
22. Kallaher Michael J. Revolutions in Differential Equations. – UK: Cambridge University Press,
2000.
Тематический расчет часов
1-й модуль 2-го курса
Всего
учебных
часов
Лекций
Семинаров
Сам. раб.
12
4
2
6
2
Теоремы о существовании, единственности и
дифференцируемой зависимости решений от
начальных данных.
Примеры дифференциальных уравнений.
4
2
0
2
3
Некоторые классы дифференциальных уравнений.
28
4
10
14
4
Комплексные числа.
8
2
2
4
5
Методы решения линейных дифференциальных
уравнений c постоянными коэффициентами.
Устойчивость и асимптотическая устойчивость
решений дифференциальных уравнений.
Примеры разностные уравнений.
24
6
6
12
8
2
2
4
4
2
0
2
Методы решения линейных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами.
Устойчивость положения равновесия разностного
уравнения.
Итого:
12
4
2
6
8
2
2
4
108
28
26
54
№№
1
6
7
8
9
Название темы
В том числе
Всего учебных часов: 108
Тематика контрольных и домашней работ
Контрольная работа №1 предназначена для проверки качества освоения студентами
следующих компонентов курса:
1. Определения основных понятий
1.1. Фазовое пространство, расширенное фазовое пространство, поле фазовых скоростей и
поле направлений обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
1.2. Решение дифференциального уравнения. Фазовая кривая. Интегральная кривая.
1.3. Задача Коши.
1.4. Метод изоклин для приближенного построения интегральных кривых для уравнения с
одномерным фазовым пространством.
1.5. Положения равновесия.
1.6. Первые интегралы дифференциального уравнения.
2. Определения и свойства некоторых классов дифференциальных уравнений
2.1. Автономные уравнения.
2.2. Уравнения n-го порядка
2.3. Уравнения первого порядка с одномерным фазовым пространством
3. Методы решения некоторых классов дифференциальных уравнений
3.1. Уравнения с разделяющимися переменными. Первый интеграл.
3.2. Однородные уравнения. Редукция однородного уравнения к уравнению с
разделяющимися переменными.
5
3.3. Линейные дифференциальные уравнения. Формула решения с данными начальными
условиями.
3.4. Уравнения Бернулли. Редукция уравнения Бернулли к линейному дифференциальному
уравнению.
3.5. Уравнения в полных дифференциалах. Первый интеграл.
3.6. Уравнения n -го порядка, допускающие понижение порядка.
3.6.1. с правой частью, не зависящей от неизвестной функции и ее производных.
3.6.2. с правой частью, не зависящей от неизвестной функции.
3.6.3. с правой частью, не зависящей от времени (автономные уравнения).
Контрольная работа №2 предназначена для проверки качества освоения студентами
следующих компонентов курса:
1. Определения основных понятий
1.1. Решение дифференциального и разностного уравнений
1.2. Задача Коши.
1.3. Положения равновесия.
1.4. Комплексные числа.
1.4.1.
Вещественная и мнимая часть. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи.
1.4.2.
Сложение, умножение, деление. Корни n -ой степени из комплексных чисел.
1.5. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных и разностных уравнений.
1.6. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
2. Определения и свойства некоторых классов дифференциальных и разностных уравнений
.
2.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами: x  Ax , где A -числовая матрица размера n  n .
2.2. Линейные неоднородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
x ( n )  a1 x ( n1) ...an x  f (t ) .
3.
2.3. Линейных разностные уравнения с постоянными коэффициентами
Методы решения некоторых классов дифференциальных и разностных уравнений
3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
3.1.1. Построение фундаментальной системы решений уравнения
x ( n )  a1 x ( n 1)  ...  an x  0 по корням характеристического уравнения.
3.1.2.
Построение частного решения уравнения x
(n)
 a1 x ( n 1)  ...  an x  f (t ) для
f (t )  ( P(t ) cos t  Q(t )sin t )et . Принцип суперпозиции.
.
Построение фундаментальной системы решений уравнения x  Ax по корням
характеристического уравнения.
3.1.4. Редукция системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка к одному линейному дифференциальному уравнению n -го порядка (на примере n  2 ).
3.2. Линейные разностные уравнений с постоянными коэффициентами
3.2.1. Построение фундаментальной системы решений уравнения
x(t  m)  a1 x(t  m  1)  ...  am x(t )  0 по корням характеристического урав3.1.3.
3.2.2.
нения.
Построение частного решения уравнения
x(t  m)  a1 x(t  m  1)  ...  am x(t )  f (t ) для
f (t )  ( P(t ) cos t  Q(t )sin t )  t . Принцип суперпозиции.
4.
Методы исследования устойчивости и асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений.
4.1.1. Критерии устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
6
Достаточные условия устойчивости решений систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
4.1.3.
Классификация положений равновесия для линейных автономных дифференциальных уравнений на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло,
центр.
4.1.2.
Домашнее задание предназначено для освоения студентами следующих компонентов
курса:
1. Определения основных понятий
1.1. Решение дифференциального и уравнений. Фазовая кривая.
1.2. Задача Коши.
1.3. Положения равновесия.
1.4. Комплексные числа.
1.4.1.
Вещественная и мнимая часть. Геометрическая интерпретация. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма записи.
1.5. Устойчивость и асимптотическая устойчивость решений дифференциальных уравнений.
1.6. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.
2. Определения и свойства некоторых классов дифференциальных и разностных уравнений
.
2.1. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами: x  Ax , где
числовая матрица размера n  n .
2.2. Линейные однородные уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
A --
x ( n )  a1 x ( n 1)  ...  an x  0 .
3.
Методы решения некоторых классов дифференциальных и разностных уравнений
3.1. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
3.1.1. Построение фундаментальной системы решений уравнения
x ( n )  a1 x ( n 1)  ...  an x  0 по корням характеристического уравнения.
.
Построение фундаментальной системы решений уравнения x  Ax по корням
характеристического уравнения.
3.1.3. Редукция системы из n линейных дифференциальных уравнений первого порядка к одному линейному дифференциальному уравнению n -го порядка (на примере n  2 ).
Методы исследования устойчивости и асимптотической устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений.
4.1.1. Критерии устойчивости решений линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
4.1.2. Достаточные условия устойчивости решений систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.
4.1.3.
Классификация положений равновесия для линейных автономных дифференциальных уравнений на плоскости: устойчивые и неустойчивые узлы и фокусы, седло,
центр.
3.1.2.
4.
Автор программы:
С.Г.Лобанов
7