ОБ УСЛОВИИ РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛА ПРИ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ О. Л. Швед Объединенный институт проблем информатики НАН Беларуси, Минск, Беларусь В геометрически нелинейных теориях упругопластичности, использующих понятие поверхности нагружения (текучести), эта поверхность вводится обычно необоснованно и упрощенно. Может быть поэтому при рассмотрении вопроса о макроразрушении материала она не принимается во внимание. Поверхность текучести определяется своими девиаторными сечениями S , которые характеризуют пластичность металла. Ранее автором предложен способ нахождения девиаторного сечения поверхности текучести в пространстве напряжений. В качестве его обоснования принимается естественная гипотеза о сохранении потенциальной природы упругой деформации в процессе нагружения, то есть существовании потенциалов упругих напряжений и их скоростей [1]. Оказалось, что начальная кривая пластичности близка к кривой пластичности введенной А. Ю. Ишлинским. В данном случае можно попробовать связать указанные понятия. Для изотропной среды поверхность S всегда существует, и имеются точные формулы для вычисления девиатора внешней нормали к ней. При анизотропии среды, для определенных сочетаний ее параметров, S может не существовать (вырождаться). Это равносильно невозможности пластического деформирования материала и, следовательно, в идеально пластическом состоянии означает его разрушение. Ограничимся случаем одноосного мягкого растяжения, проведенного до момента макроразрушения алюминиевого образца с известной ступенчатой экспериментальной диаграммой ([2], стр. 279), рис. 1а). При численном моделировании процесса используем для материала (ввиду недостатка информации) данные по сплаву D54S: 4.9 , 2.6 , 1 38 , 2 20 , 3 8(104 MПA) , где , – постоянные Ляме второго, 1 , 2 , 3 – третьего порядка, начальное напряжение текучести s 2.3 МПА . Пусть c1, c2 , c3 – исходный неподвижный ортонормированный триэдр, обобщенный упругий градиент Fe OT V U OT , собственно ортогональный тензор O OT E – единичный тензор, меры G U 2 и F V 2 , L 3 – третий инвариант V . Учитывая анизотропные структуры до второй степени, запишем потенциал напряжений в форме Мурнагана [3] 3 э эI b C ( i ci C ci ci C ci 3i c1 C c 2ci C ci 11i c1 C c 3c i C c i i 1 15i c 2 C c 3ci C c i ) 7 (c1 C c 2 ) 2 11 (c1 C c 3 ) 2 15 (c 2 C c 3 ) 2 (1) 8c1 C c1c 2 C c 2 9c 2 C c 2c 3 C c 3 10c1 C c1c 3 C c 3 19c 2 C c1c1 C c 3 20c1 C c 2c 2 C c 3 21c1 C c 3c 3 C c 2 э0 , где C 21 (G E) – тензор упругих деформаций Коши–Грина, э0 – минимальная постоянная, обеспечивающая условие э 0 , начальные значения параметров j 0 , тензора остаточных напряжений b 0 , и тогда э с точностью до постоянной переходит в изотропный потенциал эI . При одноосном растяжения образца, например по оси c 2 , первоначально изотропный его материал становится трансверсально-изотропным: э(C) э(C) 0, (2) C (E cos (1 cos )c 2c 2 c 2 E sin ) C (E cos (1 cos )c 2c 2 c 2 E sin ). Из (1), (2) находим, что ненулевыми могут быть только параметры 1 , 2 , 3 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 15 , и выполняются равенства (3) 1 3 , 9 8 , 11 21 10 , 7 15 . Следовательно, потенциал напряжений (1), переходя к мере G , можно записать в виде э эI 21 b G 41 (1c1 G c1 (c1 G c1 2) 2c2 G c 2 (c 2 G c 2 2) 3c3 G c3 (c3 G c3 2) 8 (c1 G c1c 2 G c 2 c1 G c1 c 2 G c 2 ) 9 (c 2 G c 2c 3 G c 3 c 2 G c 2 c 3 G c 3 ) (4) 10 (c1 G c1c3 G c3 c1 G c1 c3 G c3 ) 7 (c1 G c 2 ) 11 (c1 G c3 ) 15 (c2 G c3 ) ) э0 . Из (4) получаем определяющее уравнение для тензора упругих напряжений Коши 2 2 2 э T Fe 2 L31 (0E 1F 2F2 ) L31V B V j Tj ( B OT b O ). G Запишем для данной задачи определяющие уравнения в скоростях при течении T 2 L31Fe (5) T 0, ( L31э) (1 )T D, B pE N1 , j k j K N1 Tj ( Tj Tj ) 1 , (6) ( 0, ( p 6) , N1 ( 6) (c1c1 2c2c2 c3c3 )). По (6) вычисляются параметры 1 3 10 , 2 , 8 9 , при этом k1 k8 1, а k2 1 для выполнения необходимого условия 0 . Из (3), (6) получаем 11 1 . Параметр 7 находим из следующих соображений. Привлечение анизотропных структур третьей степени дает возможность численно воспроизвести важное явление увеличения пластичности металла при растяжении в условиях всестороннего сжатия без дополнительных предположений. На основании вычислительных экспериментов и (3) тогда полагаем 1 1 7 15 1 ( 21 ). Однако отмеченное явление без структур третьей степени не описывается. (7) а) б) Рис. 1. Ступенчатая диаграмма напряжение–деформация, а) остаточное напряжение 10 2 b ( T c2c 2 , B bc 2c 2 , 0 83.4 MПA , 0 0.24 ); б) кривая пластичности в моменты нагружения, соответствующие началу ступени диаграммы с номером 7, 14, 25, 36, 42, 43, 44, 45 и в ближайший момент, предшествующий разрушению на 45-ой ступени Из условия стационарности функционала вариационного принципа [4] находим множитель Лагранжа условия несжимаемости материала p и тензор деформации скорости D . Дифференцируя (4)–(5) по времени с учетом (6) получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения V, . Так, малыми шагами по времени t в квазистатическом режиме рассчитывается упругопластический процесс при течении. В 0 упругом состоянии используем диаграмму ( log y, y c 2 R T c 2 ) и численное обращение закона (5). Скаляр K 109 полагаем постоянной величиной, а функционал можно задать, например, следующим образом 0 , если n 14 и 0 c((n 14) /( N 14)) 20 ( c 36(1 0 ) ), если n 14 , (8) где 0 0.999999 , n – номер текущей ступени, N 45 – их общее число. На ступеньке с номером 14 происходит насыщение эффекта Баушингера, конечная величина, которой на пути нагружения «растяжение–сжатие» принята 0.8 . Выводы. Исследованы различные режимы задания скаляра – основного функционала процесса (6), который вводит величину части рассеиваемой удельной работы деформации на шаге t . Установлено, что момент разрушения можно определить при численном моделировании процесса растяжения формальным условием, которое заключается в том, что девиаторное сечение поверхности текучести S , содержащее точку процесса, перестает существовать (вырождается), и замкнутую кривую пластичности с учетом величины эффекта Баушингера построить уже невозможно. Для этого задается специальный режим изменения типа (8), обеспечивающий резкий, скачкообразный рост параметров анизотропии. Важную роль при построении S играет соотношение (7). На рис. 1б видно также, что численно описывается известный экспериментальный факт: растяжение в направлении c 2 больше действует в смысле упрочнения на последующее после разгрузки растяжение в поперечном направлении, в частности c1 или c3 . Исключение составляет последняя кривая пластичности, вероятно, из-за близости момента разрушения. ЛИТЕРАТУРА 1. Швед О.Л. О потенциальных направлениях в пространстве девиаторов // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2007. – № 1. – С. 83–87. 2. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Ч. II. Конечные деформации. – M.: Наука, 1984. – 432 с. 3. Murnagan F.D. Finite deformation of an elastic solid. – N.Y.: Dover, 1967. 140 p. 4. Швед О.Л Определение упруго спина в нелинейной теории пластичности // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. – 2009. – № 1. – С. 52–58.