L13-2

Связь момента импульса с угловой скоростью.
Рассмотрим момент импульса твердого тела, совершающего сферическое движение.
Относительно закрепленной точки О(рис.13.2)
L  mi  ri vi ,
где подставляя выражение
vi  ri 
(13.10)
и раскрывая двойное векторное произведение,
получим:
L  mi  ri ri   mi ri 2  ri  ri   


 mi ri 2  ri  xi  x  yi  y  zi  z 
Проектируя этот вектор на ось X декартовой системы координат, связанной с точкой
О, получим
Lx   x mi  ri 2  xi2    y mi yi xi   z mi zi xi .
Рис. 13.2
Аналогичным образом получим
Ly   x mi yi xi   y mi  ri 2  yi2    z mi zi yi ,
Lz   x mi zi xi   y mi yi zi   z mi  ri 2  zi2 .
(13.11)
Представим полученные выражения в следующем компактном виде:
L0  I  ,  ,   x, y, z,
где суммирование производится по повторяющемуся индексу
Величина
I
(13.12)
.
называется тензором момента инерции тела, который имеет девять
компонент. Поскольку этот тензор симметричен, т.е.
I  I  ,
то независимых компонент всего шесть. Записывают компоненты тензора обычно в виде
следующей таблицы:
I
 I xx I xy I xz 


  I yx I yy I yz  ,
I I I 
 zx zy zz 
(13.13)
где
I xx   mi ( ri  xi ),
2
2
I yy   mi ( ri  yi ),
2
2
I zz   mi (ri  zi )
2
2
(13.14)
- диагональные компоненты, которые суть моменты инерции тела относительно осей
X,Y,Z, а
I xy  I yx   mi xi yi ,
I xz  I zx   mi xi zi ,
I yz   mi yi zi
(13.15)
называются центробежными компонентами тензора инерции.
Сумма диагональных компонентов равна
I xx  I yy  I zz  2 mri2  2
,
(13.16)
где  - момент инерции тела относительно точки. Не имея физического смысла, он
является полезным при вычислении моментов инерции тел, имеющих центральную
симметрию.
Компоненты тензора меняются при переходе в другую систему координат как
произведение координат. В частности, для каждого твердого тела существуют три
взаимно перпендикулярные направления, проходящие через его центр инерции,
относительно которых центробежные компоненты тензора инерции обращаются в нуль, и
тензор (13.13) принимает диагональную форму. Эти направления называются главными
осями тела (обозначим их
X 1 , X 2 , X 3 ),
а моменты инерции относительно них –
главными моментами инерции тела (соответственно –
I1 , I 2 , I 3 ).
Рис. 13.3
Тело,
у
которого
все
главные
моменты
инерции
различны,
называют
асимметрическим волчком. Если два главных момента инерции равны друг другу,
например
I1  I 2  I 3 ,то
твердое тело называется симметрическим волчком. Таковым
является любое тело вращения, например юла. В этом случае выбор направлений
главных осей в плоскости
X1 X 2
произволен. Если же все три главных момента инерции
совпадают, то тело называется шаровым волчком. В этом случае произволен выбор
всех трех главных осей инерции – в качестве них можно взять любые три взаимно
перпендикулярные оси, проходящие через центр инерции тела (рис.13.3).
Нахождение главных осей инерции упрощается, если твердое тело обладает той или
иной симметрией. Ясно, что положение центра инерции и направление главных осей
инерции должны обладать той же самой симметрией. Так, если тело обладает плоскостью
симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две
главные оси инерции, а третья – перпендикулярна к ней. Очевидным примером таких тел
являются плоские тела, в которых масса распределена в одной плоскости. В этом случае
связь между тремя главными моментами инерции (13.16) очень упрощается. Так, если
эта плоскость выбрана в качестве плоскости
X1 X 2
x3  0 ,
то поскольку для всех частиц
то имеем
  I3 ,
и тогда получаем
I1  I 2  I 3
(13.17)
Если помимо того тело симметрично относительно оси Z (кольцо, диск), то
I1  I 2  12 I 3 .
(13.18)
Обсудим теперь полученные выражения (15.11) для связи момента импульса тела с
угловой скоростью его вращения. Заметим, что в общем случае направления
векторов момента импульса и угловой скорости вращения не совпадают, даже
если тело закреплено в его центре инерции и координатные оси направлены вдоль его
главных осей. В последнем случае связь (15.11) сильно упрощается:
Lx  I11 , Ly  I 2 2 , Lz  I 33 .
(13.19)
Отсюда видно, что если телу сообщается вращение вокруг одной из главных осей, то
лишь тогда L и  будут сонаправленными вдоль той же главной оси.
Выведем теперь формулу кинетической энергии тела, совершающего сферическое
движение. По определению
1
K  12  mi vi2  12  mi vi [ ri ]  12  mi [rv
i i ]  2 ( L) ,
(13.20)
где пользовались следующим свойством смешанного векторного произведения
A BC   B CA  C  AB .
13.21)
Наиболее простую форму принимает формула (13.20), когда тело вращается вокруг
его неподвижного центра инерции. При этом с учетом (13.19) имеем
K  12 ( I112  I 2 22  I 332 ) .
(13.22)