РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Министерство образования Российской Федерации
Воронежский государственный педагогический университет
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины "Математическая логика"
для подготовки специалиста по специальности 030100 «Информатика»
с дополнительной специальностью 032100 «Математика»
(8 семестр)
Трудоемкость: 90 час
Всего: 39 час.
Из них: 26 лекционных
13 практических
Самостоятельная работа студентов: 51 час.
Форма отчетности: экзамен 8 сем.
по учебному плану 2000-2001 уч.г.
Составитель: проф. Потапов А.С.
Программа утверждена на заседании
кафедры информатики и МПМ
10 мая 2001 г., протокол №9
Заведующий кафедрой, профессор
_______________________А.С.Потапов
Воронеж 2001
1. Пояснительная записка
В эпоху всеобщего распространения компьютеров закономерно возрастает роль математической логики в образовании. Учитель, вводящий
учеников в мир математики, информатики и вычислительных машин, должен обладать достаточной логической подготовкой. Познакомить будущего учителя с основными понятиями и методами математической логики,
научить оперировать ими в сфере своей педагогической деятельности, показать взаимосвязи математической логики и современных ЭВМ и призван
настоящий курс. Он содержит систематизировано изложение основных
понятий математической логики: высказывание, логические операции, булевы функции, основные формулы, аксиоматическая теория высказываний, предикат. Курс является базовым для дисциплины Теория алгоритмов, связанной с проверкой эффективности и способы разрабатываемых
алгоритмов.
СРС
30
20
20
20
90
Практич.
Алгебра высказываний
Аксиоматическая теория высказываний
Алгебра предикатов
Аксиоматическая теория предикатов
Всего:
Лекции
1.
2.
3.
4.
Тема
В том числе
аудиторных
Всего
№
Всего в трудоемкости
2. Тематическое планирование
12
10
9
8
39
8
6
6
6
26
4
4
3
2
13
16
12
12
11
41
3. Содержание учебной дисциплины
1. Алгебра высказываний. Высказывание, операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Нормальные формы, совершенные нормальные формы. Тавтологии. Равносильные формулы алгебры высказываний. Логическое следование. Типы теории: прямая, обратная, противоположная, контрапозитивная. Примирение алгебры высказываний.
Использование логики высказываний в контактно-релейных схемах.
2. Аксиоматическая теория высказываний (исчисление высказываний): алфавит, формулы, аксиомы, правила выводы. Теоремы аксиоматической теории высказываний. Теорема дедукции и ее применений. Свойства аксиоматической теории высказываний: полнота. Непротиворечивость, разрешимость и независимость системы аксиом.
3. Логика предикатов. Формулы логики предикатов и их классификация. Приведенная форма для формул логики предикатов. Предваренная
нормативная форма. Проблема разрешения в логике предикатов. Применение логики предикатов. Строение математических теорем. Методы доказательств теории.
4. Исчисление предикатов. Непротиворечивость исчисления предикатов. Теорема Теселя о полноте исчисления предикатов.
4. Рекомендации по организации работы студентов
Практические занятия по всем разделам с последующей проверкой
домашней работы. Самостоятельное изучение отдельных вопросов и доказательство задач, предлагаемых на лекциях.
5. Список рекомендуемой литературы
Основная
1. Игошин В.И. Математическая логика и теория алгоритмов. –Издво СГУ, 1991.
2. Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логики. –
М.: Просвещение, 1986.
Дополнительная
3. Математическая логика (под ред. Столяра А.П.) – Минск, 1991.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
6. Рекомендации для СРС
На самостоятельную работу выносятся следующие вопросы.
1) Проверка основных тавтологий с помощью таблиц истинности и
решение логических уравнений.
2) Равносильные преобразования формул.
3) Проверка правильности умозаключений с помощью логического
следования.
4) Доказательство основных теорем в аксиоматической теории высказываний.
5) Запись математических выражений и предложений естественного
языка с помощью предикатов и кванторов.
Вопросы к экзамену
Высказывания, примеры.
Операции над высказываниями.
Определение формулы алгебры высказываний.
Интерпретации и таблицы истинности формул алгебры высказываний.
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
Совершенная конъюнктивная форма (СКНФ).
Классификация формул алгебры высказываний.
Основные тавтологии.
9. Равносильные формулы алгебры высказываний. Связь между равносильностью и тавтологиями.
10.Определение и признаки логического следования.
11.Свойства логического следования. Связь логического следования и равносильности.
12.Типы теорем. Принцип полной дизъюнкции.
13. Применение логики высказываний в контактно-релейных схемах.
14.Определение предиката. Примеры. Классификация предикатов.
15.Множество истинности предиката.
16. Логические операции над предикатами.
17. Кванторные операции над предикатами: квантор общности.
18. Кванторные операции над предикатами: квантор существования.
19. Запись на языке логики предикатов различных предложений.
20. Строение математических теорий. Методы доказательств. Теоремы.
21.Аксиоматическая теория высказываний: формулы, аксиомы, правила
вывода, теоремы.
22. Основные свойства вывода.
23.Теорема о дедукции.
24. Примеры доказательства теорем.
25. Свойства аксиоматической теории высказываний.
26.Основные понятия аксиоматической теории предикатов.
27.Основные свойства аксиоматической теории предикатов.
28. Теорема Геделя о неполноте.
Задачи к экзамену
1. Доказать, что произведение k произвольных последовательных натуральных чисел делится на k!
2. Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать 2 кости так,
чтобы их можно было приложить друг к другу.
3. Имеется колода из 4n карт (n>=5), которая содержит 4 масти по n карт в
каждой масти, занумерованных числами 1,2,3 …, n. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся 4 карты
из 5 с одинаковыми номерами.
4. Доказать, что число последовательностей длины n с элементами из kэлементного множества, содержащих каждый элемент этого множества по
крайней мере один раз, равно kS (n, k).
5. Лифт, в котором находится 9 пассажиров, может останавливаться на 10
этажах. Пассажиры выходят группами по 2,3 или 4 человека. Сколькими
способами это может произойти.
6. Имеется колода из 4n карт ( n>=5), которая содержит 4 масти по n карт в
каждой масти, занумерованных числами 1,2,3, ..., n. Подсчитать, скольки-
ми способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся 3 карты с
одним номером и 2 карты с другим.
7. На книжной полке стоят n книг. Сколькими способами можно выбрать
из них k книг так, чтобы не брать никаких двух рядом стоящих.
8. Сколькими способами можно переставить буквы слова
"логарифм" так, чтобы 2,4 и 6 места были заняты согласными буквами.
9. Имеется колода из 4п карт (п>=5), которая содержит 4 масти по п карт в
каждой масти, занумерованных числами 1,2,3,...,п. Подсчитать, сколькими
способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся 5 карт одной
масти.
10. Сколькими способами можно расставить 20 книг в книжном шкафу с 5
полками, если каждая полка может вместить все 20 книг.
11. Сколько всего делителей у числа 30030?
12. Имеется колода из 4n карт (n>=5), которая содержит 4 масти по n карт
в каждой масти, занумерованных числами 1,2,3, .., n. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся 5 последовательно занумерованных карт.
13. Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы
никакие две единицы не стояли рядом.
14. Сколькими способами можно расставить n ладей на шахматной доске
nn так, чтобы никакие две из них не стояли на одной горизонтали или одной вертикали, если все ладьи одинакового цвета.
15. Сколькими способами можно расставить n ладей на шахматной доске
nn так, чтобы никакие две из них не стояли на одной горизонтали или одной вертикали, если все ладьи окрашены в разные цвета.
16. Сколькими способами можно расставить n ладей на шахматной доске
nn так, чтобы никакие две из них не стояли на одной горизонтали или одной вертикали, если k ладей белого цвета а остальные - черного.
17. Доказать, что если n=30m, то число целых, не превосходящих n и не
делящихся ни на одно из чисел б, 10, 15, равно 22m.
18. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся ни на одно из чисел 3, 5, 7.
19. Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не
делящихся ни на одно из чисел 6,10,15.
20. Пусть колода состоит из n карт, занумерованных числами 1,2, .., n.
Сколькими способами можно расположить карты в колоде так, что ни для
одного k карта с номером k не занимает k-e место.
21. Имеется колода из 4п карт (п>=5), которая содержит 4 масти по n карт
в каждой масти, занумерованных числами 1,2,3, .., n. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся 3 карты из пяти с одним и тем же номером.
22. Имеется колода из 4n карт (n>=5), которая содержит 4 масти по n карт
в каждой масти, занумерованных числами 1,2,3, .., n. Подсчитать, сколькими способами можно выбрать 5 карт так, что среди них окажутся две
карты из пяти с одинаковыми, а остальные с разными номерами.