файл в формате doc 148 Kb

1
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А.А.ДОРОДНИЦЫНА
Российской академии наук
«УТВЕРЖДАЮ»
Директор ВЦ РАН
Академик РАН Ю.Г.Евтушенко
___________________
«____»__________________ 20___ г
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«Методы оптимизации в математической физике»
для подготовки аспирантов по специальности
05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ
Москва 2012
2
1. АННОТАЦИЯ
В курсе изучаются фундаментальные понятия оптимального управления сложными
динамическими системами, поведение которых описывается дифференциальными
уравнениями с частными производными. Кроме того, осуществляется ознакомление
аспирантов с областями практического применения этих знаний.
2. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Цель курса - освоение аспирантами фундаментальных знаний в области оптимального
управления сложными динамическими системами, поведение которых описывается
дифференциальными уравнениями с частными производными, а также ознакомление
с областями практического применения этих знаний.
Задачами данного курса являются:
 формирование базовых знаний в области оптимального управления сложными
динамическими системами;
 приобретение навыков постановки задач оптимизации, возникающих в математической физике;
 овладение аналитическими и численными методами решения прикладных задач
оптимизации сложных систем.
3. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ОПППО
Курс «Методы оптимизации в математической физике» относится к обязательным
дисциплинам учебного плана подготовки аспирантов по научной специальности
05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ». Для успешного изучения курса аспиранту необходимо знать теорию и методы
решения дифференциальных уравнений с частными производными, а также теорию и
методы оптимизации. Получаемые в результате изучения курса знания могут быть
востребованы при подготовке к кандидатскому экзамену по научной специальности
05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», в научно-исследовательской работе и при подготовке диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.
4. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ КУРСА
В результате освоения дисциплины «Методы оптимизации в математической физике»
обучающийся должен:
Знать:
 место и роль общих вопросов науки в научных исследованиях;
 современные проблемы теории оптимизации сложных динамических систем;
 основные современные методы решения задач оптимального управления сложными системами;
 новейшие открытия в естествознании;
 постановку проблем физико-математического и компьютерного моделирования;
 о взаимосвязях и фундаментальном единстве естественных наук.
Уметь:
 эффективно использовать на практике теоретические компоненты науки: понятия, суждения, умозаключения, законы;
3




представить панораму универсальных методов и законов современного естествознания;
использовать современную вычислительную технику;
абстрагироваться от несущественных влияний при моделировании реальных
физических ситуаций;
планировать оптимальное проведение вычислительного эксперимента.
Владеть:
 планированием, постановкой и обработкой результатов вычислительного эксперимента;
 научной картиной мира;
 навыками самостоятельной работы на современной вычислительной технике;
 методами математического моделирования сложных систем и управления этими системами.
5. СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА КУРСА
В курсе изучаются фундаментальные понятия оптимального управления сложными
динамическими системами, поведение которых описывается дифференциальными
уравнениями с частными производными. Кроме того, осуществляется ознакомление
аспирантов с областями практического применения этих знаний.
В курсе дается общее представление о роли оптимизации в математической физике. Значительное внимание уделяется прямым методам оптимизации: методам численного решения задач безусловной оптимизации (градиентным методам, методу Ньютона, методу сопряженных градиентов и т.д.), а также основным методам численного решения задач условной оптимизации и их применению в математической физике. Важное место занимает метод множителей Лагранжа и его использование в оптимизационных задачах математической физики. Курс завершается изложением метода быстрого автоматического дифференцирования и способов его применения в оптимизационных задачах математической физики.
5.1.СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ КУРСА
№
п/п
Наименование раздела
Содержание раздела
1
Введение. Роль оптимизации
в математической физике
Простейшая задача вариационного исчисления. Слабый и сильный экстремум.
Участки одностороннего экстремума.
Уравнение Эйлера. Условие Вейерштрасса-Эрдмана. Существование решения вариационной задачи. Случаи
вырождения. Задача Бернулли. Пример
Вейерштрасса. Системы с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Закон Ньютона, принцип наименьшего
времени Ферма, вариационные принципы газовой динамики, магнитной гидродинамики.
Форма текущего
контроля
4
2
3
Прямые методы оптимизации и их применение в математической физике
Абстрактная постановка задачи аппроксимации, каркас решения, восполнение
каркаса. Мера аппроксимации решения
непрерывной задачи оптимизации конечномерной задачей. Способы приближения решений.
Обзор основных методов численного решения задач безусловной оптимизации:
градиентные методы, метод Ньютона,
метод сопряженных градиентов
Обзор основных методов численного решения задач условной оптимизации, возникающих в математической физике: методы спуска, методы штрафных функций, метод локальных вариаций
Знакомство с современными пакетами
оптимизации: ДИСО, DACOTA. Важность работы с пакетом в диалоговом
режиме.
Обзор задач оптимизации аэродинамических характеристик крыловых профилей.
Методы решения подобных задач. Сведение задач оптимизации профиля к решению обратных краевых задач
Обтекание цилиндра и произвольного
профиля потоком идеальной несжимаемой жидкости. Постановка задачи оптимизации профиля. Обратная задача теории профиля. Ее решение. Задача о
нахождении оптимального профиля в
потоке вязкой жидкости.
Относительный экстремум функции
многих переменных. Метод множителей
Лагранжа.
Обтекание плоской дуги сверхзвуковым
потоком совершенного газа. Характеристики течения. Область зависимости
решения. Постановка задачи выбора оптимальной дуги. Решение этой задачи
для случая линеаризованного сверхзвуМетод множителей Ла- кового течения и для случая гиперзвукогранжа и оптимизационные вого течения Ньютона. Метод контрользадачи математической фи- ного контура Никольского. Сопряженная задача. Исследование решения опзики
тимизационной задачи.
Общая идея метода множителей Лагранжа для задач с распределенными
параметрами. Применение общего метода множителей Лагранжа к решению задачи построения оптимальной формы
плоского крылового профиля.
Задача об оптимальном управлении тепловым процессом
5
4
Метод быстрого автоматического дифференцирования
(БАД-методология) и его
применение к оптимизационным задачам математической физики.
Описание методологии быстрого автоматического дифференцирования. Ее
преимущества.
Задача оптимального управления нестационарным процессом, описываемым
уравнением Бюргерса. Решение этой задачи с помощью методологии быстрого
автоматического дифференцирования.
5.2. СТРУКТУРА КУРСА
Общая трудоемкость курса составляет 4 зачетные единицы (144 часов).
Вид работы
Трудоемкость, часов
Общая трудоемкость
144
Аудиторная работа:
36
Лекции
36
Практические занятия
Лабораторные занятия
108
Самостоятельная работа:
Самостоятельное изучение разделов
36
Самоподготовка (проработка и изучение лекционного ма72
териала и материала учебников и учебных пособий, выполнение практических заданий)
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Кандидатский экзамен
Трудоемкость отдельных разделов курса
№ темы и название
1. Введение. Роль оптимизации в математической физике.
2. Прямые методы оптимизации и их
применение в математической физике.
3. Метод множителей Лагранжа и оптимизационные задачи математической
физики.
4. Метод быстрого автоматического
дифференцирования (БАД-методология)
и его применение к оптимизационным
задачам математической физики.
ВСЕГО( зач. ед.(часов))
Общее число
часов
Аудиторная Внеаудиторная
работа
самостоятельная
(лекции)
работа
6
2
6
36
12
36
16
48
6
18
36 час.
108 час.
48
18
144 час.
6
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
Форма контроля знаний:
Кандидатский экзамен по специальности
Контрольно-измерительные материалы
На кандидатском экзамене аспирант должен продемонстрировать знания в объеме
основной программы кандидатского экзамена по научной специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», в которую могут
входить вопросы, рассматриваемые в данном курсе.
Контрольные вопросы для программы
1. Системы с сосредоточенными и распределенными параметрами. Управляющая функция.
2. Вариационные принципы механики и физики, их роль в описании явлений.
3. Аппроксимация задач оптимизации в функциональных пространствах задачами оптимизации в конечномерных пространствах. О сходимости решений
аппроксимирующих задач к решению аппроксимируемой задачи.
4. Методы численного решения задач безусловной оптимизации.
5. Методы численного решения задач условной минимизации.
6. Диалоговая система оптимизации. Пакеты программ оптимизации.
7. Методы решения задач оптимизации аэродинамических характеристик крыловых профилей. Обратные краевые задачи.
8. Задача оптимизации профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости.
9. Метод множителей Лагранжа (функция многих переменных).
10. Метод контрольного контура. Его применение для решения задачи построения оптимальной формы плоского крылового профиля.
11. Применение общего метода множителей Лагранжа к решению задачи построения оптимальной формы плоского крылового профиля.
12. Задача об оптимальном управлении тепловым процессом.
13. Применение БАД-методологии к решению задачи оптимального управления уравнением Бюргерса.
7. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Ф.П. Методы оптимизации, т. 1, 2. М.: МЦНМО, 2011.
7
2. Соколов А.В. Токарев В.В. Методы оптимальных решений, т. 1. М.: Физматлит,
2010.
3. Нестеров Ю.Е. Введение в выпуклую оптимизацию. М.: МЦНМО, 2010.
4. Измайлов А. Ф., Солодов М. В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит,
2008.
5. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. М.: Лань, 2008.
6. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы.
Примеры. М.: Физматлит, 2001.
7. Шмыглевский Ю.Д. Аналитические исследования динамики газа и жидкости. М.:
Эдиториал УРСС, 1999. 232 с.
8. Елизаров А.М., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Физматлит, 1994. 436 с.
9. Evtushenko Y.G. Computation of exact gradients in distributed dynamic systems // Optimization Methods and Software. 1998. V. 9. P. 45-75.
10. Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. О численном подходе к оптимизации
решения задачи Бюргерса с помощью граничных условий // Ж. вычисл. матем. и
матем. физ. 1997. Т. 37. № 12. С. 1449-1458.
8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Необходимое оборудование для лекций и практических занятий: компьютер и
мультимедийное оборудование (проектор, звуковая система)
Программу составил д.ф.-м.н., профессор Зубов Владимир Иванович.
Программа принята на заседании Ученого Совета ВЦ РАН,
Протокол № ________ от «_____»________________2012 г.