1.04 Определение момента инерции твердых тел.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»
Кафедра
физики
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.04
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Москва
2005 г.
Лабораторная работа N 104
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Цель работы:
определение моментов инерции массивных твердых тел
при помощи крутильного маятника.
ВВЕДЕНИЕ
Моментом инерции системы материальных точек (тела) относительно
оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений
масс материальных точек на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:
I   m i R i2
В настоящей работе момент инерции твердых тел определяется
экспериментально с помощью крутильного маятника, представляющего собой
рамку с моментом инерции I p , подвешенную на упругой нити, в которой
закрепляется тело с моментом инерции I т . Момент инерции маятника
I  Ip  Iт .
По основному закону динамики вращательного
движения


M  Iε
(1)
где M  момент действующих на тело сил, взятый относительно оси, I 
момент инерции тела относительно той же оси;   угловое ускорение тела.
Угловое ускорение  является второй производной от угла поворота по времени
d 2  
ε 2 
dt
(2)
При повороте маятника на небольшой угол  деформация кручения
проволоки является упругой и по закону Гука возвращающий момент пропорционален углу поворота
M  k
(3)
где k  коэффициент пропорциональности, зависящий от размера, формы и
материала проволоки. Знак «» указывает на то, что возвращающий момент сил
направлен в противоположную сторону от смещения маятника, и стремиться
вернуть его в положение равновесия.
С учетом (4.5) и (4.6) уравнение (4.4) принимает вид

 k  I 
(4)
2

k
I
   0 .
Разделив это уравнение на J, получим:
k 
(5)
1
Коэффициент, стоящий при , имеет размерность   = 2 .
I c
Тогда введя обозначение ω 02 
k
, мы придем к следующему уравнению:
I

 ω 02   0
(6)
Решение данного дифференциального уравнения имеет вид
   0  cos(ωt  ) ,
(7)
где 0  амплитуда колебаний, (t+) – фаза колебаний,  - начальная фаза.
Следовательно, при малых колебаниях угловое отклонение крутильного
маятника изменяется со временем по гармоническому закону. Колебания, при
которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса
(или синуса), называют гармоническими.
Циклическая частота таких колебаний будет равна ω0 
Учитывая, что период колебаний T 
T  2π
k
.
I
2π
, получим
ω0
I
.
k
(8)
Следовательно,
период
колебаний крутильного маятника T
зависит от его момента инерции I .
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Общий
вид
установки
изображен на рис.4.2. Основной
частью установки является рамка 2.
Внутри
рамки
расположена
передвижная планка 3 с винтом 4 для
закрепления тела 5, момент инерции
которого определяется в работе.
Рамка подвешена на двух торсионах
1, сделанных из стальной проволоки.
Отклонение рамки от положения
3
равновесия на некоторый угол  фиксируется с помощью электромагнита 6 и
металлической шторки 7, расположенной в нижней части рамки.
ВЫВОД РАСЧЕТНОЙ ФОРМУЛЫ
Из формулы (8) следует, что
T 2k
I 2 .
4π
(9)
Учитывая, что момент инерции маятника I складывается из момента
инерции исследуемого тела Iт и момента инерции рамки Iр, получаем, что
момент инерции тела относительно оси вращения равен Iт = I  Iр.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Закрепить в рамке исследуемое тело.
Нажать клавишу "сеть".
Отжать клавишу "пуск".
Прижать рамку к электромагниту 6.
Нажать клавишу "пуск". При этом рамка начинает совершать
колебания.
Таблица 1.
Положение
груза в
рамке
Пустая
рамка
Число
колебаний
Время
колебаний
Период
колебаний
Момент инерции
груза с рамкой
Момент инерции
твердого тела
n
t, с
T, с
I, кгм2
Iт, кгм2
Момент инерции
пустой рамки
Iр, кгм2
Коэффициент упругости (жесткости) торсиона
k=
4
6. С помощью секундомера измерить время t, за которое маятник совершит десять полных колебаний (n =10). Измерения провести не менее
трех раз.
7. Изменить положение тела в рамке и повторить измерения по п. 3  6.
8. Вынув тело из рамки, измерить время десяти полных колебаний
пустой рамки. Измерения повторить не менее трех раз.
9. Результаты всех измерений числа колебаний n и времени колебаний t
занести в таблицу 1.
10. Занести в таблицу значение величины коэффициента упругости
(жесткости) торсиона k.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1. Определить среднее значение времени 10 колебаний для рамки с телом в
двух положениях и пустой рамки.
2. По формуле T 
t
определить среднее значение периодов колебаний
n
рамки с телом в двух положениях и пустой рамки. Полученные значения
T занести в таблицу 1.
3. По формуле (9) определить моменты инерции рамки с телом I и моменты
инерции пустой рамки Iр. Результаты занести в таблицу.
4. Вычислить моменты инерции тела при двух разных положениях по
формуле: Iт = I  Iр.
5. Рассчитать абсолютную погрешность по формуле:
ΔI  ε J  I  I(2
Δt Δk
Δπ

2
t
k
π
6. Записать окончательный результат в виде:
I  I  ΔI
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
Что называется моментом инерции материальной точки? Твердого тела?
2.
Какие колебания называются гармоническими?
3.
Что называется амплитудой, частотой, фазой, циклической частотой и
периодом колебаний?
4.
Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
5.
Сформулируйте закон Гука для деформации кручения.
5
Применяя к крутильному маятнику основной закон динамики вращатель-
6.
ного движения, покажите, что он совершает гармонические колебания.
Выведите формулу для периода колебаний крутильного маятника?
7.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: «Высшая школа».1999 г.
2.
Трофимова Т.И. Курс физики. М.: «Высшая школа». 2003г.
3.
Савельев И.В. Курс общей физики. М.: «Наука».2001 г. Книги 1,4.
4.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: «Наука».2003. Т.I.