Лекция 8 Магнетизм 2. Закон Био-Савара-Лапласа.

Лекция 8
Магнетизм
1. Магнитное поле и его характеристики. Напряженность и индукция.
2. Закон Био-Савара-Лапласа.
3. Магнитное поле кругового тока.
1.
В 1820 году Ампером было открыто явление:
Если магнитную стрелку расположить рядом с проводником, по
которому течет электрический ток, то при изменении направления тока
стрелка поворачивается на 1800.
I
N
S
В это же время был проведен опыт с двумя длинными проводниками с
током.
Если токи текли в одну сторону проводники отталкивались, то есть
вокруг движущихся зарядов возникает силовое поле которое называется
магнитным.
Idl – элемент тока.
По
аналогии
с
законом
Кулона
силу
взаимодействия
между
проводниками с током можно определить по формуле
F
q1 q 2
r
2
, F k
I1dl1  I 2 dl 2
1
, k
2
40
r
Исследуем магнитное поле рамки с током. Для плоского контура с током
I.
n
F
F
Магнитный момент рамки с током.


Pm  ISn
S – площадь рамки, I - сила тока, n – единичный вектор нормали к
поверхности рамки.
Направление Pm совпадает с n. Рамка всегда располагается так, что n  S .
Если рамку помещать в магнитное поле под различными углами к вектору

индукции В , то М будут разными.
Если рамку расположить параллельно линиям, то момент вращающий
рамку будет
М max  Pm B  B 
В
М max
I S n
М max
- магнитная индукция
Pm
В
М max
I S
Нм
Н

 Тл
2
м  А А м


Магнитное поле кроме В характеризуется и Н - напряженность, которая
В
связана с индукцией формулой


В   0 Н ,
μ – магнитная проницаемость среды, μ0 = 4π·10-7 Гн/м – магнитная
постоянная.
Н
В
 0
- напряженность магнитного поля.
Не зависит от свойств среды Н = А/м.
2.
Закон Био-Савара-Лапласа.
Закон
установлен
экспериментально
и
позволяет
рассчитывать
магнитные поля.
H
I
A
R
H
α
r
dl
Пусть дан прямой проводник с током I. Выделим участок dl, в точке А

напряженность Н магнитного поля определяется по формуле
dH 
I  dl
sin  ,
4r 2
где Idl – элемент тока, r – расстояние от элемента тока до точки А, α –
угол между элементом тока и направлением на точку А.
При расчете напряженности, создаваемой проводником конечной
длинны, проводится суммирование и на основании принципа суперпозиции
поле
n
Н   Нi .
i 1
В   0
I  dl
sin  - индукция магнитного поля.
4r 2
3.
Магнитное поле в центре кругового тока.
По закону Био-Савара-Лапласа
dH 
I  dl
sin  (1), sin 900 = 1.
4r 2
dH 
I  dl
(2).
4r 2
I
dl
r
О
R
H
Для нахождения полной напряженности, в центре кругового тока
проинтегрируем выражение (2)
Idl
I
I 2R 2
I
H 

dl 

2
2 
2
2R
4r
4r
4R
H
I
- напряженность в центре кругового тока.
2R
Лекция 9
Магнетизм
1. Закон Ампера.
2. Сила Лоренца.
3. Поток магнитной индукции.
4. Работа по перемещению проводника в магнитном поле.
5. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея.
6. Индуктивность.
7. Энергия магнитного поля.
1.
Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на
элемент проводника dl с током I1 пропорциональна силе тока и векторному
произведению элемента длины dl проводника на магнитную индукцию В.


 
dF  I dl  B .
Направление определяется правилом левой руки.
F
I
B
Модуль силы Ампера определяется по формуле
dF  IBl sin 
где α угол между I и B.
2.
Левую руку необходимо расположить так, чтобы перпендикулярная
составляющая В входила в ладонь, 4 пальца.
F
B
I
B
Возникновение силы Ампера связано с тем, что магнитное поле

действует на заряженные частицы, движущиеся со скоростью  .
Сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле, называется
силой Лоренца и определяется по формуле.



 
F  q  B ,
а модуль силы
F  q  B    sin  ,


где α угол между В и  .
Сила Лоренца выполняет роль центростремительной силы FЛ = Fц, α =
900.
Fц  maц  m
2
R
,
υ перпендикулярно В
FЛ  q  B   , sin 900 = 1.
R  q  B   m  2 ,

R
m 
- радиус окружности.
qB
0 < α < 900
Частица движется по спирали.

FЛ   , работы не совершает, кинетическую энергию не изменяет.
3.
Поток магнитной индукции.
Выберем площадку, в пределах которой магнитное поле однородно.
Ф
α
S
S
β
B = const
B
β
B
Ф = ВS, Ф = Тл·м2 = Вб (Вэбр).
Ф  В S , cos  
В
 В  В cos  , Ф  В  S  cos 
В
α угол между вектором индукции В и перпендикуляром к площадке S.
sin  
В
 В  В  sin 
В
Ф  В  S  sin  ,
α – угол между В и S.
4.
Если проводник с током помещенный в магнитное поле не закреплен, то
он будет перемещаться. Приложена сила F и происходит перемещение,
вперед (работа) А.
+
+
l
+
+
dx
FA
Проводник длиной l, переместится в магнитном поле, под действием
силы F на расстояние dx при этом совершается работа А.
A  FЛ  dx
F  IBS - сила Ампера.
A  I  B  l  dx ,
l  dx  dS - площадь
A  I  B  dS ,
B  dS  dФ - магнитный поток
A  I  dФ
Интегрируя последнее выражение получим, что
A  I  Ф - вектор намагниченности
Ф - магнитный поток, пересеченный проводником.
5.
Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея.
Фарадей 15 лет пытался при помощи магнитного поля заставить
двигаться направлено электрические заряды, т. е. получить электрический
ток. Он проделал опыт с катушкой, подключенной к чувствительному
гальванометру. При внесении магнита стрелка гальванометра отклоняется в
одну сторону, при вынесении в другую, регистрирую электрический ток в
цепи.
Г
N
S
Второй опыт с двумя катушками, одна была через ключ К подключена к
источнику тока, а вторая к гальванометру при замыкании и размыкании
ключа К гальванометр регистрировал электрический ток. Если магнит
покоится, то и ток равен 0.
Г
2
К
1
- +
ε
На основе этих опытов Фарадей пришел в выводу:
- во всяком замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного
потока
через
поверхность
ограниченную
этим
контуром
возникает
электрический ток. Это явление получило название электромагнитной
индукции, а возникающий ток назвали индукционным, а ЭДС – ЭДС
индукции. Опытным путем Фарадей установил, что
I
dФ
- сила тока.
dt
7.
Энергия магнитного поля.
Рассмотрим контур индуктивностью L по которому течет ток I, известно,
что вокруг движущихся зарядов возникает магнитное поле. Часть энергии
электрического тока идет на создание этого магнитного поля, энергию
которого можно приравнять к работе, совершаемой током.
W = A (1)
Из предыдущего материала известно, что Ф – магнитный поток
определяется по формуле
Ф = I·L (2),
а изменение магнитного потока
dФ = L·dI (3)
Совершаемая при этом работа определяется по формуле
dA = I·dФ. (4)
Подставим значение dФ из формулы (3) в уравнение (4)
dA = L·I·dI (5)
Для нахождения общей работы по созданию магнитного потока Ф
проинтегрируем уравнение (5)
LI2
,
A  L  I  dI 
2
0
1
с учетом уравнения (1) получим
W
LI2
- энергия магнитного поля
2
L – индуктивность контура, I – сила тока в контуре.
Трансформаторы
Генератор переменного тока. Простейшим генератором переменного тока
является квадратная рамка, вращающаяся между полюсами постоянного
магнита c круговой частотой . ЭДС индукции, генерируемая в рамке с током
из-за
изменения
магнитного
потока,
равна
Так как v =  l/2 и площадь рамки S = l2, то полная ЭДС индукции равна
(1)
Здесь учтено, что при равномерном вращении с угловой скоростью  угол
поворота  t.
Итак, вращающаяся между полюсами магнита рамка генерирует переменную
ЭДС индукции, а следовательно, в цепи возникает переменный ток.
Если поместить между полюсами магнита обмотку, содержащую N витков,
каждый из которых представляет отдельную рамку, то в каждом витке будет
генерироваться вычисленная выше ЭДС и полная ЭДС будет равна
Генерируемое
во
внешней
цепи
напряжение
будет
иметь
вид:
(2)
а
ток
в
цепи
будет
по
закону
Ома
равен
(3)
Произвольное значение  определяет начальную фазу напряжения или тока
(произвол в выборе фазы соответствует произволу в выборе начального
положения рамки). Если в цепи действует только активное сопротивление R, то
фазы напряжения и тока совпадают, однако в реальных цепях это не так.
Мощность в цепи с активным сопротивлением. Мощность в цепи тока, где
имеется только активное сопротивление R, равна N = I2R. Так как ток быстро
меняется со временем, то и мощность является функцией времени. Удобно
пользоваться средней мощностью за какой-то большой промежуток времени по
сравнению с периодом колебаний тока в цепи. Для этого нужно знать среднюю
мощность за один период, т.е. количество энергии, поступающей в цепь за один
период,
деленное
на
период.
Пусть I = Imcos(t) (в предыдущей формуле фаза тока выбрана равной /2).
Тогда
При усреднении за период второе слагаемое обращается в нуль, так что средняя
мощность
оказывается
равной
(4)
где
введено среднее
(действующее)
значение
силы
тока
Аналогично
можно
ввести
и действующее
значение
напряжения:
Понятия действующих значений тока и напряжения в цепи переменного тока
полезны на практике, так как именно они регистрируются амперметрами и
вольтметрами.
Принцип работы трансформатора. Возбуждение ЭДС индукции в одном
контуре за счет изменения тока в другом контуре может быть нежелательным
(например,
в
радиотехнических
устройствах
такие
паразитные
ЭДС
представляют серьезную проблему). Однако существуют и устройства,
основанные на этом явлении и приносящие большую пользу. Примером может
служить трансформатор, принцип действия которого становится ясен после
простых
выкладок.
Напряжение, генерируемое в первичной обмотке трансформатора, имеющей
число витков, равное Nперв и подключенной к цепи переменного тока, равно
Вторичная обмотка с числом витков Nвтор пронизывается тем же потоком
магнитной
индукции,
поэтому
Отсюда: отношение напряжений на первичной и вторичной обмотках
трансформатора равно отношению числа витков в этих обмотках и
вторичное
напряжение
(5)
Коэффициент K называется коэффициентом
трансформации.
Итак, если число витков во вторичной обмотке больше числа витков в
первичной обмотке ( K > 1), то трансформатор - повышающий (вторичное
напряжение больше первичного). При K < 1 трансформатор понижающий.
Если пренебречь потерями на нагревание сердечника трансформатора (в
реальных трансформаторах КПД достигает 99%), то мощность, выделяемая в
первичной цепи, N = UпервIперв, должна по закону сохранения энергии равняться
мощности, выделяемой во вторичной цепи трансформатора, т.е. UпервIперв =
UвторIвтор,
откуда
(6)
Итак, ток во вторичной цепи повышающего трансформатора становится
меньше, чем ток в первичной обмотке. Это обстоятельство используется на
практике
при
передаче
энергии
на
большие
расстояния.
Генераторы
электростанций вырабатывают ток большой силы и невысокого напряжения. На
выходных
повышающих
трансформаторах
электростанций
напряжение
повышается во много раз (до нескольких сотен тысяч вольт). При этом
уменьшается ток в цепи, что приводит к уменьшению джоулевых потерь при
передаче тока на большие расстояния. На конце цепи тока, подключенном к
потребителям,
понижающие
трансформаторы
уменьшают
напряжение
переменного тока до стандартного значения, при этом ток в цепи увеличивается.