РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г.Ишиме УТВЕРЖДАЮ Директор филиала ______________ /Шилов С.П./ 20.11.2014 ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование профиля подготовки Математика Информатика очной формы обучения ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ от19.09.2013 Содержание: УМК по дисциплине Теория функций комплексного переменного для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование профиля подготовки Математика Информатика очной формы обучения Автор(-ы): к.ф.-м.н., доцент В.Н.Столбов Объем 27 стр. Должность Заведующий кафедрой физикоматематических дисциплин и профессиональнотехнологического образования Председатель УМС филиала ТюмГУ в г.Ишиме Начальник ОИБО ФИО Мамонтова Т.С. Дата согласования Результат согласования 16.10.2014 Рекомендовано к электронному изданию Протокол заседания кафедры от 16.10.2014 №2 Протокол заседания УМС от 11.11.2014 №3 Коробейникова И.А. 11.11.2014 Согласовано Гудилова Л.Б. 20.11.2014 Согласовано Примечание РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал в г. Ишиме Кафедра математики, информатики и методики их преподавания Столбов.В.Н. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки 44.03.05 Педагогическое образование профиля подготовки Математика Информатика очной формы обучения Тюменский государственный университет 2014 В.Н. Столбов. Теория функций комплексного переменного. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления подготовки Математика Информатика профиля подготовки очной формы обучения. Тюмень, 2014, 51 стр. Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю подготовки. Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ Основы исследований в математическом образовании [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный. Рекомендовано к изданию кафедрой физико-математических дисциплин и профессионально-технологического образования. Утверждено директором филиала ТюмГУ в г. Ишиме. ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: к.п.н.,доцент,зав.кафедрой ФМДиПТО Мамонтова Т.С. Ф.И.О., ученая степень, звание заведующего кафедрой © Тюменский государственный университет, филиал в г. Ишиме, 2014. ©Мамонтова Т.С., 2014. Ф.И.О. автора Учебно-методический комплекс. Рабочая программа включает следующие разделы: 1. Пояснительная записка. 1.1. Цели и задачи дисциплины (модуля) Цели освоения дисциплины: формирование систематизированных знаний в области теории функции комплексного переменного, расширение на комплексную область основных понятий, используемых в действительном анализе: функция, предел, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость. Задачи освоения дисциплины: - осуществление профессионального самообразования и личностного роста, проектирование дальнейшего образовательного маршрута и профессиональной культуры, - выработка умений формировать роль математики как универсального аппарата для решения практических проблем, - популяризация профессиональной области знаний в обществе. 1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» относится к вариативной части профессионального цикла. Ее изучение опирается на знания, полученные студентами в ходе освоения математического анализа, теории функций действительного переменного, алгебры, геометрии, и математической логики. Освоение данной дисциплины является необходимой основой для последующего изучения учебных дисциплин «Теория алгоритмов», «Дифференциальные уравнения» и др., а также курсов по выбору студентов, содержание которых связано с готовностью студента углубить свои знания в области комплексного анализа. Таблица 1. Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № п/п 1. 2. Наименование обеспечиваемых (последующих) дисциплин Дифференциальные уравнения Элементы теории функций Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин 1 2 3 4 5 6 7 + + + + + 1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы. Студент в процессе освоения содержания дисциплины должен овладеть следующими компетенциями: способностью использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3) В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями: знать:  основные понятия теории функций комплексного переменного;  основные факты (теоремы, свойства) комплексного анализа;  основные методы теории функций комплексного переменного; уметь:  используя определения и теоремы, проводить исследования, связанные с основными понятиями курса;  вычислять пределы, производные, интегралы в комплексной области, строить простейшие конформные отображения; владеть:  основными положениями классических разделов теории функций комплексного переменного;  базовыми идеями и методами теории функций комплексного переменного;  основными понятиями школьного курса математики, связанные с теорией функций комплексного переменного (профильный уровень); 2. Структура и трудоемкость дисциплины. Семестр 4 Форма промежуточной аттестации (зачет, экзамен) зачет. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 академических часа, из них 82 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 26 часов, выделенных на самостоятельную работу. Таблица 2. Вид учебной работы Всего часов Контактная работа: Аудиторные занятия (всего) В том числе: Лекции Практические занятия (ПЗ) Семинары (С) Лабораторные занятия (ЛЗ) Иные виды работ: Самостоятельная работа (всего): Общая трудоемкость зач. ед. час Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен) Семестры 1 2 3 18 18 4 36 36 18 18 - - - 72 72 36 36 5 6 7 8 9 - - - - - 3 108 зачет Зач 3. Тематический план Тема Виды учебной работы и Итого Из них Итого самостоятельная работа, часов в количес в час. по интерак тво недели семестра № 2 3 4 тивной форме, в часах баллов 9 10 Самостоятельная работа* Семинарские (практические) занятия* Лабораторные занятия* Лекции * 1 теме 5 6 Модуль 1 2 7 8 12 16 0-20 12 16 0-20 8 14 0-10 1.1 Плоскость комплексных чисел. Последовательности и ряды с комплексными членами. Всего 2 2.1 Функции комплексного переменного. Производная. 2.2 Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения. 2.3 Интегрирование функции комплексного переменного. Всего 4 2 Модуль 2 2 4 4 10 18 0-15 4 4 10 18 0-15 12 28 50 0-40 Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. Ряд Лорана. 3.2 Изолированные особые точки. Вычеты и их 3.3 приложения. Всего Итого (часов, баллов): Курсовая работа * Из них в интеракт. форме 2 10 Модуль 3 2 8 12 0-15 2 2 12 16 0-15 2 12 14 0-10 6 18 30 72 42 108 0-40 0-100 3.1 2 4 18 4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля. другие формы Информа ции онные системы и технолог ии комплексные ситуационные задания электронные практикумы программы компьютерного тестирования Технические формы контроля эссе реферат тест контрольная работа Письменные работы лабораторная работа ответ на семинаре собеседование Устный опрос коллоквиумы № Темы Итого количество баллов Таблица 4. Модуль 1 Всего Модуль 2 2.1 2.2 2.3 Всего Модуль 3 3.1 3.2 3.3 Всего Итого 7 7 20 20 0-27 0-27 7 7 7 21 7 7 7 0-21 9 9 9 27 55 9 9 34 0-52 0100 25 25 45 5. Содержание дисциплины. Модуль 1 Тема 1.1. Плоскость комплексных чисел. Последовательности и ряды с комплексными членами. Комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах, действия над ними. Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел, основные неравенства. Расширенная комплексная плоскость и стереографическая проекция. Сходящиеся последовательности и ряды с комплексными членами. Абсолютная сходимость. Модуль 2 Тема 2.1. Функции комплексного переменного. Производная. Множества точек на плоскости. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции комплексного переменного, равномерная непрерывность. Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве. Дифференцирование функции комплексного переменного. Производная функции комплексного переменного.Условия дифференцируемости. Понятие аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение. Гармонические функции. Понятие аналитической функции. Действительная и мнимая части аналитической функции – гармонические функции. Тема 2.2 Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения. Линейная и дробно-линейная функции, осуществляемые ими конформные отображения. Степенная функция и радикал. Области однолистности аналитической функции. Понятие римановой поверхности. Показательная, тригонометрическая, логарифмическая и обратные тригонометрические функции. Степень с произвольным показателем. Тема 2.3. Интегрирование функции комплексного переменного. Интеграл функции комплексного переменного по кусочно гладкому пути. Свойства интегралов, сведение к вычислению обыкновенного интеграла. Теорема Коши. Теорема о составном контуре. Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифмической функции. Интегральная формула Коши. Модуль 3 Тема 3.1. Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. Степенные ряды с комплексными членами. Теорема Абеля о степенных рядах. Теорема Коши-Адамара. Круг и радиус сходимости. Последовательности и ряды функций комплексного переменного. Равномерная сходимость степенных рядов. Аналитичность суммы степенного ряда. Разложение функции, представимой интегралом Коши, в ряд Тейлора. Определение радиуса сходимости ряда Тейлора, если известны особые точки функции. Второе определение аналитической функции.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора.Теорема Лиувилля. Основная теорема алгебры. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Задача аналитического продолжения. Элементарные функции комплексной переменной как аналитическое продолжение с действительной оси. Тема 3.2. Ряд Лорана. Изолированные особые точки. Разложение аналитической функции в ряд Лорана. Неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана. Нули аналитической функции. Классификация изолированных особых точек однозначного характера. Теорема Ю.В. Сохоцкого. Случай бесконечно удаленной точки. Целые и мероморфные функции. Тема 3.3. Вычеты и их приложения. Вычет аналитической функции. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычетов. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о сумме всех вычетов функции. Применение теории вычетов к вычислению интегралов. Номер раздела № п/п 6. Планы семинарских занятий. Тема семинарского занятия Комплексные числа и действия над ними. Числовые последовательно сти и ряды 1. 1 Трудое мкость Вопросы, выносимые на семинар Всего Теоретический материал: Лекции, гл. I; [1], гл. I. Знать с доказательством: а) вывод формулы главного значения аргумента; б) вывод формулы извлечения корня из комплексного числа; в) критерий существования предела последовательности; г) критерий сходимости числового ряда. Быть готовыми ответить на вопросы: Как записывается комплексное число в алгебраической форме? 2 Какая часть комплексного числа z обозначается: а) Rez; б) Imz? Как узнать, какая часть комплексного числа является действительной, а какая мнимой? Каким свойством обладает мнимая единица? В каком случае два комплексных числа называют равными? Как называются числа вида: а) z=Rez; б) z=iImz? В каком случае между двумя комплексными числами можно поставить знак « > » или « < »? Как изображается комплексное число в прямоугольной декартовой системе координат? Как называется плоскость, на которой изображаются комплексные числа? Назовите множества точек комплексной плоскости, где изображаются числа вида: а) z=Rez; б) z=iImz? Какое число обозначается символом z ? Назовите число, сопряженное числу x-iy? Каково взаимное расположение точек z и z на плоскости z? Дайте определение модуля комплексного числа. По какой формуле вычисляется z ? z Если известен z , что можно сказать о ? Чему равен модуль числа z=0? По какой формуле находится z1 - z 2 ? Сколько значений имеет модуль фиксированного комплексного числа? Что называется аргументом комплексного числа? Что можно сказать об Arg0? Какое значение Argz называется главным? Как найти Argz, если известен аrgz? Сколько значений имеет: а) Argz, z ≠0; б) аrgz, z ≠ 0? По каким формулам находится аrgz? Чему равен аrgz: а) z>0; б) z<0? Каково значение аrg iImz: а) Imz>0; б) Imz<0? Пусть известен аrgz. Чему равен аrg z ? Сформулировать правило: а) сложения; б) вычитания; в) умножения двух комплексных чисел. 2 Справедливо ли равенство z • z = z ? Сформулируйте правило деления двух комплексных чисел. Какой из знаков « ≥ » или « ≤ » можно поставить между: а) z и Rez ; б) z и Imz ; в) z и Rez + Im z ; г) z и Rez - Imz ; д) z1 ± z 2 и z1 + z 2 ; е) z1 ± z 2 и z1 - z 2 ? Чему равен: а) аrgi; б) i ? Каков геометрический смысл: а) z1 - z 2 ; б) аrg(z2 z1)? Как записать число z в тригонометрической форме? Чему равен модуль: а) произведения; б) частного двух комплексных чисел? Чему равен аргумент: а) произведения; б) частного двух комплексных чисел? Сформулируйте правило: а) умножения; б) деления двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. n Сколько различных значений имеет z ? По какой формуле можно получить значение n z? n Какова особенность расположения значений z на комплексной плоскости? Что называется последовательностью комплексных чисел? Какая последовательность называется ограниченной? Дать геометрическую интерпретацию. Можно ли применить термин «монотонная последовательность» к последовательности: а) комплексных чисел; б) модулей членов последовательности; в) аргументов членов последовательности? Дайте определение ρ-окрестности точки z0. Можно ли неравенство |z| < ρ записать в виде – < z< ρ? Какое множество точек плоскости z, с геометрической точки зрения, является ρокрестностью точки z0? Дайте определение предела последовательности. Какая последовательность называется сходящейся? Что значит «последовательность расходится»? Дайте геометрическую интерпретацию предела последовательности. Пусть в некоторой окрестности точки z0 содержится бесконечно много членов последовательности {zn}. Следует ли отсюда, что lim z n = z 0 ? n →∞ Пусть в любой окрестности точки z0 содержится бесконечно много членов последовательности {zn}. lim z n = z 0 ? Следует ли от сюда, что n→∞ Сформулируйте критерий существования предела последовательности. Сколько пределов может иметь последовательность комплексных чисел? Можно ли утверждать, что если последовательность ограничена, то она имеет предел? Имеет ли место теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности для последовательностей с комплексными членами? Сформулируйте теорему: а) о пределе алгебраической суммы последовательностей; б) о пределе произведения последовательностей; в) о пределе частного двух последовательностей. Как, используя теорему о пределе последовательности, доказать, что последовательность расходится? Каковы основные свойства сходящихся последовательностей? Какая последовательность называется бесконечно малой? Приведите примеры: а) сходящихся; б) расходящихся; в) бесконечно малых последовательностей. Является ли какое-либо число бесконечно малой величиной? Будет ли величиной бесконечно малой: а) алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых; б) сумма бесконечного числа бесконечно малых; в) произведение числа на бесконечно малую; г) произведение последовательности, имеющей предел, на величину бесконечно малую; д) произведение ограниченной величины на бесконечно малую; е) произведение неограниченной величины на бесконечно малую? Дайте определение ρ-окрестности бесконечно удаленной точки. Какое множество точек на плоскости z, с геометрической точки зрения, является ρокрестностью бесконечно удаленной точки? Какая последовательность называется неограниченной? Дайте геометрическую интерпретацию. Дайте определение бесконечного предела последовательности. Какова геометрическая интерпретация определения бесконечного предела последовательности? Пусть последовательность имеет своим пределом бесконечность. Является ли она сходящейся? Дайте определение бесконечно большой последовательности. Какова взаимосвязь между бесконечно большими и бесконечно малыми последовательностями? lim z n = ∞ Имеет ли место утверждение: а) если n→∞ , то последовательность {zn}-неограничена; б) если последовательность {zn} неограниченна то lim z n = ∞ n →∞ ? lim z n = 0 Эквивалентны ли равенства: а) n→∞ и lim z n = ∞ lim z n = ∞ lim z n = 0 lim z n = 0 n →∞ ; б) n→∞ и n →∞ ; в) n→∞ lim arg z n = 0 и n →∞ ? Пусть А ≠ 0,∞. Имеют ли место соотношения: а) lim z n = А lim z n = А lim z = А n →∞ ⇒ n →∞ n ⇔ ; б) n→∞ lim z n = А lim z n = А lim arg z n = arg A ⇒n→∞ ; в) n→∞ ; г) lim z n = А lim Argz n = ArgA lim z n = А n →∞ ⇒n→∞ ⇔ ; д) n→∞ n →∞ lim z n = А n →∞ lim Argz n = ArgA ∧n→∞ ? lim z n = А ⇒ Пусть А неотрицательно. Верно ли n→∞ lim arg z n = arg A n →∞ ? Что называется рядом с комплексными членами? Какой ряд называется сходящимся? Что такое сумма ряда? Что такое частичная сумма ряда? Что значит ряд расходится? Сформулируйте критерий сходимости ряда с комплексными членами. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Сформулируйте теорему об остатке сходящегося ряда. Как читается признак Лейбница для знакочередующихся рядов? Что можно сказать о величине остатка сходящегося знакочередующегося ряда? ∞ ∑ Применим ли признак Лейбница к рядам вида n =1 (-1)nzn? Сформулируйте теорему о почленном умножении ряда на число. ∞ ∞ ∞ n ∑ (- 1) ∑1n ∑ n ; б) n =1 ; в) n =1 (Сходятся ли ряды: а) n =1 ∞ ∞ 1 ∑n α , ∑n1α , α >1; е) α ≤1 ; д) n =1 1)n; г) n =1 ∞ ∞ n ∑n1! ∑сn! α >0; ж) n =1 ; з) n=1 , с ≥ 0; ∞ ∑nn! n ∞ ∑c ∞ ∑ n =1 (- 1) n nα , и) ∞ n ∑c n ; к) n =1 , c <1; л) n =1 , c ≥ 1? Какой ряд называется абсолютно сходящимся? Сформулируйте критерий абсолютной сходимости n =1 ряда с комплексными членами. Если ряд с комплексными членами сходится, то что можно сказать о его абсолютной сходимости? Пусть ряд с комплексными членами сходится абсолютно. Сходится ли данный ряд? Перечислите известные Вам признаки абсолютной сходимости рядов. Сформулируйте признак Даламбера абсолютной сходимости ряда. В чем заключается признак сравнения положительных рядов? Сформулируйте признак Коши абсолютной сходимости ряда. Какой ряд называется условно сходящимся? Разобраться в решении примеров: [4], § 1, №№ 1-4; § 2, №№ 1-3. Решить на занятии: [4], №№ 1.1; 1.3а),в); 1.4б),в); 1.5б); 1.12д); 2.1б); 2.2а); 2.4в); 2.6а),е). Множество точек на плоскости. Функции комплексного переменного, предел, непрерывность 2. 1 Дополнительно: №№ 1.6б),в); 1.11а); 1.13а); 1.15в); 2.7а). Решить дома: [4], №№ 1.2а),в); 1.3б); 1.4д),е); 1.5е); 1.12е); 2.1г); 2.2е); 2.4е); 2.6б),и). Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. II, §§ II.1-II. ; [2], гл. I, п. 5; гл. II, п.п. 1-4; [3], гл. I, гл. II, §1, §3. Знать с доказательством: а) критерий существования предела функции в точке; б) критерий непрерывности функции в точке. Быть готовыми ответить на вопросы: Какая точка называется внутренней точкой множества? Принадлежит ли внутренняя точка множества самому множеству? Приведите пример внутренней точки множества на комплексной плоскости. Приведите пример множества на комплексной плоскости, которое не имеет внутренних точек. Дайте определение открытого множества. Приведите пример открытого множества на комплексной плоскости. Какое множество называется связным? Приведите пример: а) связного множества; б) несвязного множества. Дайте определение области. Приведите пример: а) области; б) связного множества, но неоткрытого; в) открытого, но несвязного; г) неоткрытого и несвязного. Какое множество точек комплексной плоскости называется ограниченным? 2 Приведите пример: а) ограниченного множества; б) неограниченного множества; в) ограниченной области; г) неограниченной области. Какая точка называется предельной точкой множества? Принадлежит ли предельная точка множества самому множеству? Дайте определение замкнутого множества на комплексной плоскости. Приведите пример: а) замкнутого множества; б) не являющегося открытым, но и не являющегося замкнутым. Какая точка называется граничной точкой множества? Может ли граничная точка множества: а) принадлежать этому множеству? б) не принадлежать ему? Что такое граница множества? Какая область называется замкнутой? Приведите пример: а) области; б) замкнутой области. Дайте определение непрерывной кривой на комплексной плоскости. Какой вид имеет уравнение непрерывной кривой в параметрической форме? Как задаются направления обхода кривой? Какая кривая называется замкнутой? Приведите пример: а) замкнутой кривой; б) незамкнутой кривой. Что понимается под термином «кратная точка кривой»? Какая кривая называется простой или жордановой? Всякая ли простая кривая является незамкнутой? Дайте определение односвязной области. Приведите пример: а) односвязной области; б) многосвязной области. Что называется множеством изменения комплексного переменного? Дайте определение функции комплексного переменного. Как обычно обозначается функция комплексного переменного? Что называется областью определения функции? Какую переменную называют независимой переменной? Что называется значением функции? Какая функция называется комплекснозначной функцией комплексного переменного? Приведите пример. Какая функция называется действительной функцией комплексного переменного? Приведите пример. В чем отличие действительной функции комплексного переменного от действительной функции действительного переменного? Дайте определение однозначной функции комплексного переменного. Какая функция называется многозначной? Приведите пример: а) однозначной функции: б) многозначной функции. Какое множество называется множеством значений функции? Какие Вам известны способы задания функции комплексного переменного? Почему нельзя применить графический способ к заданию комплексной функции комплексного переменного? Почему в теории функций комплексного переменного не рассматриваются монотонные функции? Что значит «выделить действительную и мнимую части функции»? Как геометрически изображаются функции комплексного переменного? Какая точка называется образом при отображении  =f(z)? Как обычно обозначается плоскость, где изображаются образы f(z)? Как называется точка z при отображении  =f(z)? Изложите схему отыскания образа заданной линии при заданном отображении. Какая функция называется обратной к функции  =f(z), z∈E,  ∈G? Дайте определение предела функции в точке на языке « ε - δ » (по Коши). Какова геометрическая интерпретация предела функции в точке? Дайте определение предела функции в точке на языке последовательностей. Как используется определение предела функции в точке по Гейне для доказательства отсутствия предела функции в точке? Какая функция называется бесконечно малой в точке? Сформулируйте леммы о бесконечно малых функциях в точке. Дайте определение бесконечного предела функции в точке. Сформулируйте критерий существования предела функции в точке. Равносильны ли равенства lim f ( z)  A  u  i lim f ( z ) = A z  z0  x0 iy0 и а) z → z0 ; б) lim Argf ( z) = ArgA z → z0 lim Re f ( z ) = u x→ x y → y0 lim f ( z) = arg A ; в) z →z0 ; г) lim Im f ( z )  i x→ x ; д) y → y0 lim Re f ( z ) = u lim Im z   ; е) x→ x y → y0 3. 2 Производная. x→ x lim f ( z ) = A и y → y0 ; ж) z → z0 и lim Argf ( z) = ArgA z → z0 . Какие свойства функций, имеющих предел в точке, Вам известны? Сформулируйте теоремы о пределе алгебраической суммы, произведения и частного функций, имеющих предел в данной точке. Имеет ли место теорема о пределе промежуточной переменной для комплексных функций комплексного переменного? Справедлива ли теорема о единственности предела функции комплексного переменного в точке? Дайте определение непрерывной функции в точке на языке предела. Как дается определение непрерывной функции в точке на языке « ε - δ »? Дайте определение функции непрерывной в точке на языке последовательностей. Сформулируйте теоремы о непрерывности алгебраической суммы, произведения и частного функций, непрерывных в точке. Как применяется определение непрерывности функции в точке на языке последовательностей для доказательства разрыва функции в точке? Какая точка называется точкой разрыва функции? Дайте определение функции непрерывной на множестве. Каков критерий непрерывности функции в точке? Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции в точке. Какая функция называется равномерно непрерывной на множестве. Сформулируйте свойства функций непрерывных на компакте (на ограниченном замкнутом множестве). Разобраться в решении примеров: [4], § 3, №№ 1,3,4; § 4, №№ 1,2,4. Решить на занятии: [4], №№ 3.1а),б),в); 3.2а),д); 3.3г); 3.5в),д); 3.6б),в); 4.1а); 4.2г); 4.5а)2); 4.7д)4); 4.10г). Дополнительно: №№ 3.4е); 3.7г); 4.3б); 4.9б); 4.13в); 4.15а). Решить дома: [4], №№ 3.1г),е),з); 3.2в),е); 3.3д); 3.5а),б); 3.6а)д); 4.5б)1); 4.7б)2); 4.10к). Теоретический материал: 2 Понятие об аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. II, §§ II. 5 – II. 10; [2], гл. II, п.п. 5 – 9, 12; [3], гл. II, § 4, гл. III, § 3, гл. IV, § 1. Знать с доказательством: а) критерий дифференцируемости функции; б) геометрический смысл аргумента производной; в) геометрический смысл модуля производной; г) действительная и мнимая части функции как гармонические функции. Быть готовыми ответить на вопросы: Что понимается под приращением независимой комплексной переменной? Чем отличается приращение независимой комплексной переменной от частного приращения двух независимых по какой-либо из них? Как обозначается приращение независимой комплексной переменной? Что называется приращением функции комплексного переменного в заданной точке? Каким символом обозначается приращение функции? Дайте определение производной функции комплексного переменного в точке. Какова особенность изменения приращения аргумента функции комплексного переменного по сравнению с частным приращением аргумента функции двух действительных переменных? Какая функция комплексного переменного называется дифференцируемой в точке? Дайте определение функции, дифференцируемой на множестве. Где дифференцируема постоянная величина и чему равна ее производная? Чему равна производная от независимой переменной? Как найти производную алгебраической суммы дифференцируемых функций? Сформулируйте правило дифференцирования произведения двух функций. Можно ли постоянный множитель вынести за знак производной? Как найти производную частного двух дифференцируемых функций? Сформулируйте правило дифференцирования суперпозиции функций. Запишите формулу для производной обратной функции. Как найти производную произведения трех и более функций? Чему равна производная от zn , где n-натуральное число? Сформулируйте критерий дифференцируемости функции в точке. Какой вид имеют условия Д´Аламбера-Эйлера? Каковы четыре формы записи производной? Как определить, где дифференцируема функция? Дайте определение аналитической функции. Какова особенность множества аналитичности функции? Как нужно понимать выражение: а) функция аналитическая в точке; б) функция аналитическая на кривой; в) функция аналитическая в замкнутой области? Какая функция называется аналитической на множестве? Можно ли функцию, дифференцируемую на некотором точечном множестве, назвать аналитической на этом множестве? Если функция аналитическая на некотором множестве, то является ли она дифференцируемой на этом множестве? Дайте определение гармонической функции. Какие две гармонические функции называются сопряженными в области? Какой вид имеет уравнение Лапласа для функции двух переменных? Можно ли утверждать, что для всякой гармонической в области функции существует сопряженная гармоническая функция в этой области? Сформулируйте теорему о действительной (мнимой) части аналитической функции. Прочитайте теорему о восстановлении аналитической функции по ее действительной (мнимой) части. Чем измеряется угол между кривыми, проходящими через точку z0? Каков геометрический смысл модуля производной? Дайте геометрическое толкование аргумента производной. Чем характеризуется растяжение в точке z0 при отображении  =f(z)? Как найти коэффициент растяжения в точке z0 при отображении  =f(z)? Чем определяется угол поворота касательной к кривой, проходящей через точку z0, при отображении  =f(z)? Как найти угол поворота касательной к точке z0 при отображении  =f(z). Дайте определение конформного отображения в точке. Какое отображение называется конформным отображением 1 рода в точке? Линейная, дробно-линейная и степенная с рациональным показателем функции 4. 3 Чем отличается конформное отображение 2 рода от отображения 1рода? Дайте определение конформного отображения в области. Приведите примеры конформного отображения а) 1 рода; б) 2 рода. Разобраться в решении примеров: [4], § 5, №№ 2 – 9. Повторить правила дифференцирования и таблицу производных функций. Решить на занятии: [4], №№ 5.2б),е),ж); 5.11а),б),в); 5.16в); 5.17б); 5.18а)2),4); 5.20б); 5.21б),1-3); 5.22в). Дополнительно: 5.1б); 5.6; 5.10; 5.23. Решить дома: [4], №№ 5.2а),д); 5.17в); 5.18б)2); 5.20а); 5.21в)1),2); 5.22г). Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. III, §§ III.1 – III. 3, гл. IV, §§ IV. 1 - IV. 3; [2], гл. II, п.п. 10,11, гл. III, п.п. 4,6; [3], гл. VII, §§ 1-3. Быть готовыми ответить на вопросы: Какая функция называется линейной? Какова область определения линейной функции? Перечислить основные свойства линейной функции. Какие геометрические преобразования плоскости содержатся в линейном отображении? Является ли отображение с помощью линейной функции конформным? Если является, то где? Чем определяется вектор параллельного переноса при линейном отображении? Между какими множествами расширенной комплексной плоскости осуществляется взаимно 2 однозначное соответствие при линейном преобразовании? Чем определяется коэффициент гомотетии при линейном отображении? В каком случае линейное преобразование плоскости сводится только к параллельному переносу? Какая точка преобразования плоскости называется неподвижной? Существует ли неподвижная точка при линейном преобразовании? Как найти неподвижную точку при заданной линейной функции? Можно ли свести любое линейное преобразование к повороту и гомотетии? Сколько пар соответственных точек нужно задать, чтобы однозначно определить линейное преобразование? Какая функция называется дробно-линейной функцией? Какие преобразования плоскости присутствуют при дробно-линейном преобразовании? Является ли дробно-линейное отображение конформным? Если является, то где? Имеет ли место утверждение: «дробно-линейное преобразование осуществляет взаимно однозначное отображение расширенной плоскости z на расширенную плоскость  »? Сколько пар соответственных точек нужно задать, чтобы определить дробно-линейное преобразование? Как нужно понимать термин «окружность в широком смысле»? В чем заключается круговое свойство при дробнолинейном отображении? Какие две точки называются симметричными относительно окружности? Сформулируйте свойство симметрии при дробнолинейном отображении. Какое отношение называется двойным отношением четырех точек? Зная три пары соответственных точек, как можно записать формулу для дробно-линейной функции, осуществляющей данное отображение? В чем заключается принцип соответствия обхода границ при дробно-линейном отображении? Какая функция называется целой степенной? Является ли отображение  =zn конформным? Если является, то где? Дайте определение области однолистности функции. На какое множество точек плоскости  преобразование  =zn отображает угол с 2π вершиной в начале координат раствора 0 < α < n ? Является ли отображение, указанное в п. 30, взаимно однозначным и конформным? В какую линию отображается луч argz при отображении  =zn? Каков образ окружности z = r при отображении  =zn? Дайте определение однозначной непрерывной ветви функции на заданном множестве. Сколько однозначных аналитических ветвей n функции   z можно выделить на плоскости с разрезом по лучу выходящему из начала координат? Дайте определение точки разветвления многозначной функции. Элементарные трансцендентные функции 5. 3 n Сколько точек разветвления имеет функция   z ? Какая точка разветвления функции называется алгебраической? Разобраться в решении примеров: [4], § 6, №№ 1, 2, 4 – 8. Решить на занятии: [4], №№ 6.3а); 6.4а),в); 6.10а),г); 6.11б); 6.12а); 6.15а). Дополнительно: №№ 6.5а),в); 6.6б),д); 6.13в), 6.16б); 6.17а). Решить дома: [4], №№ 6.3в); 6.4г); 6.10б); 6.11в); 6.12в). Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл.IV, §§ 4, 6, 8 – 10; [2], гл. III, п.п. 11, 13, 19 – 20; [3], гл. VI. Знать с доказательством: а) вывод формулы показательной функции, свойства; б) вывод формулы логарифмической функции; в) свойства тригонометрических функций; г) вывод формул обратных тригонометрических функций. Быть готовыми ответить на вопросы: Дайте определение показательной функции комплексного переменного через предел последовательности. Какая формула определяет функцию  =ez? z Чему равен: а) e ; б) Arg ez? 2 Перечислите основные свойства показательной функции комплексного переменного. Сформулируйте теорему сложения для показательной функции комплексного переменного. Какое свойство ez не имеет места для ex? Каков период показательной функции комплексного переменного? Как записать комплексное число z в показательной форме? Сколько корней имеет уравнение: а) ez=1; б) ez=i; в) ez=0; г) ez=-1? В какую линию преобразовывается прямая, параллельная мнимой оси, при отображении  =ez? Каков образ прямой, параллельной действительной оси, при отображении  =ez? Является ли отображение  =ez конформным? Если является, то где? На какое множество точек плоскости  преобразование  =ez отображает полосу ширины h (0<h<2π), параллельную действительной оси? Является ли отображение, указанное в п.13, взаимно однозначным и конформным? С помощью какой формулы определяется: а) sinz; б) cosz; в) tgz; г) ctgz; д) secz; е) cosecz? Перечислите основные свойства тригонометрических функций cosz и sinz. Какое свойство sinz и cosz не имеет места для sinх и cosх? Существуют ли корни уравнения: а)sinz=0; б) cosz=0; в) sin2z+cos2z =2; г) sin2z+cos2z=0; д) sin2z+cos2z=1? Если корни существуют, то указать их. Может ли случиться так, что: а) sin z >1; б) cos z >2; в) sin z <-1; г) sin z =3? Ответ обосновать. Какие формулы Эйлера Вам известны? Какая функция называется логарифмической? Укажите область определения и множество значений логарифмической функции. Сколько значений имеет логарифм числа, отличного от нуля? Какова особенность расположения значений Lnz? По какой формуле вычисляются значения логарифма числа z? Какое значение логарифма называется главным? Как взаимосвязаны значения Lnz и lnz? Существует ли логарифм отрицательного числа? Чему равен логарифм: а) произведения двух комплексных чисел; б) частного двух комплексных чисел, отличных от нуля? Чему равен: а) Ln1; б) ln1? Верно ли равенство Lnz2=2Lnz? Существуют ли точки разветвления логарифмической функции? Если существует, то указать их. Какая точка называется логарифмической точкой разветвления? Дайте определение: а) Arcsinz; б) Arccosz; в) Arctgz; г) Arcctgz. По каким формулам вычисляется значение отмеченных в п. 34 функций? С помощью какой формулы определяется степень с произвольным показателем? Сколько различных значений имеет: а) zn, n ∈N; б) p p 1 ∈Q z n ∈N; в) z q , q , p и q – взаимно просты; г) zρ, ρ – иррационально; д) zα, α∈C? α α α +α Имеет ли место равенство: а) z 1 • z 2 = z 1 2 ; б) (z α ) β = z αβ ? Интеграл от функции комплексного переменного 6. 4 Какой формулой определяется: а) гиперболический синус; б) гиперболический косинус? Разобраться в решении примеров: [4], § 7, №№ 1 – 4. Решить на занятии: [4], №№ 7.1б),3); 7.2а)1), б)2); 7.4а)2),6),5), б)2),в)3), г)3),д)3); 7.5г),д); 7.6г),ж). Дополнительно: 7.7в); 7.8в),г); 7.10а); 7.11в); 7.123)в). Решить дома: [4], №№ 7.1д),и); 7.2а)2), б)1); 7.4а)3), б)1), в)4), д)1); г)4), д)1); 7.6в). Теоретический материал: [1], гл. V, §§ 1 – 3; [2], гл. V, п.п. 1 – 3; [3], гл.VIII, § 1. Знать с доказательством: Вывод формулы, сводящей вычисление комплексного интеграла к вычислению определенного интеграла. Быть готовыми ответить на вопросы: Что называется длиной кривой? Какая кривая называется спрямляемой? Сколько направлений можно выбрать на плоской кривой? Что значит функция задана на (вдоль) кривой L? Какая функция называется однозначной? Дайте определение функции, непрерывной в точке z0 ∈L. Какая функция называется непрерывной на кривой L? Изложите схему построения интегральной суммы 2 для функции f(z) по кривой L: z=z(t), α<t<β. Как выражается комплексная интегральная сумма через ее действительную и мнимую части? Дайте определение предела интегральных сумм при измельчении разбиений ( λ → 0) отрезка  ,   . Что называется интегралом от функции комплексного переменного по кривой L? Какая функция называется интегрируемой по кривой L? Перечислите основные свойства интегралов от функции комплексного переменного. На каком множестве при оценке сверху интеграла от f(z) определяется max f (z ) ? Что называется контуром интегрирования? Сформулируйте теорему о существовании интеграла от f(z) вдоль кривой L. Дайте определение гладкой кривой. Какой особенностью характеризуется (с геометрической точки зрения) гладкая кривая? Какая кривая называется кусочно-гладкой? Если z(t)=x(t)+iy(t) – уравнение гладкой кривой, то как найти z´(t)? Чему равен дифференциал dz, если z=z(t). Изложите схему вычисления интеграла от функции f(z) по гладкому контуру L. Какое направление простой замкнутой кривой считается положительным? Какую точку можно выбрать в качестве начальной при интегрировании по замкнутому контуру? Дайте определение первообразной функции действительного переменного. Что называется неопределенным интегралом? dx ∫ x α dx e x dx Чему равен а) x ; б) ∫ α ≠ -1; в) ∫ ; г) a dx sin xdx cos xdx ∫ ; д) ∫ ; е) ∫ ? x Интегральная теорема и формула Коши 7. 4 Запишите формулу Ньютона-Лейбница. Какова формула замены переменной в определенном интеграле? Какой вид имеет формула интегрирования по частям определенного интеграла? Какие классы функций вам известны, которые интегрируются методом по частям? При каких условиях справедливы формулы: а) Ньютона-Лейбница; б) замены переменной; в) интегрирования по частям? Разобраться в решении примеров: [4], § 8, № 1. Повторить таблицу интегралов, правила интегрирования, метод замены переменной и интегрирование по частям. [4], №№ 8.1 а)1),2),3); б)1),2); в)1),2); г)2),3). Дополнительно: [4], №№ 8.2 а)1),4); б)2),3); 8.3 б); 8.4. Решить дома: [4], №№ 8.1б)3),4); в)3),4); д)1),4); е)3),4). Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. V, § V.4 (с.114, 115, 120); §§ V.5, V.6, V.8; [2], гл. V, п. 4 (с. 137, 138); п.п. 7, 9; гл. VI, п. 1. Знать с доказательством: а) теорему Коши; б) теорему Коши о составном контуре; в) теорему о первообразной; г) интегральную формулу Коши. Быть готовыми ответить на вопросы: Дайте определение непрерывной кривой. Какая кривая называется спрямляемой? Что значит «кратная точка кривой»? Дайте определение простой (жордановой) кривой. Какая кривая называется замкнутой? 2 Всякая ли кривая имеет кратные точки? Приведите примеры. Может ли быть простая кривая замкнутой? Начертите замкнутую кривую, не являющуюся кривой Жордана. Может ли случиться так, что все точки кривой являются кратными? Приведите примеры. Как можно выбрать направления обхода непрерывной кривой? Что понимается под контуром интегрирования? Какое множество точек комплексной плоскости называется внутренностью замкнутой жордановой кривой? Какое направление обхода простой замкнутой кривой считается положительным? Как Вы понимаете, выражение: «кривая принадлежит области»? Какая область называется: а) односвязной; б) многосвязной? Приведите примеры. Дайте определение особой точки функции. Сформулируйте интегральную теорему Коши. Верна ли теорема Коши, когда область многосвязна, а контур – простая замкнутая кривая? Если верна, то сформулируйте ее. Какая область называется замкнутой? Какую ориентацию границы области D называют положительной? Что значит «функция аналитическая в замкнутой области»? Сформулируйте теорему Коши о составном контуре. Назовите условие независимости интеграла аналитической функции по кривой L⊂D от пути интегрирования, соединяющего точки z1 и z2. Сформулируйте теорему об аналитичности z  f (t )dt интеграла как функции от z. Чему равна производная от интеграла п.24 по переменному верхнему пределу в случае выполненных условий теоремы п. 23? Дайте определение первообразной функции в области D. Справедлива ли формула Ньютона-Лейбница в случае интеграла от непрерывной функции комплексного переменного? Если справедлива, то, при каких условиях? Запишите интегральную формулу Коши. В каком случае (кроме f ( z ) ≡0, z ∈D ) интеграл z0 Коши равен нулю? Какой интеграл называется интегралом Коши? Запишите формулу, выражающую значения Степенные ряды и ряд Тейлора. Теорема единственнос-ти. Аналитическое продолжение 8. 5 производных через интеграл. Изложите схему вычисления интеграла по замкнутому контуру с помощью теорем и формул Коши. Разобраться в решении примеров: [4], § 9, №№ 2, 3. Решить на занятии: [4], №№ 9.1 а) 1); в) 1),3); е)1); 9.8 б),д); 9.9 а)2), б)3), в)2), г)3), д)2); ж)4); з)3). Дополнительно: №№ 9.2 1),3),5); 9.3; 9.4; 9.7. Решите дома: [4], №№ 9.1 а)3); б)2); г)4); 9.8 г); 9.9 а)3); б)2); в)4); г)1); е)4); ж)2); з)4); и). Теоретический материал: Лекции: Соответствующие параграфы; [1], гл. VI, §§ VI.1 - VI. 5, 8 – VI.10; [2], гл. VI, п.п. 2 – 4; гл. VI, п.п. 2, 3, 5; гл. IX, п. 1. Знать с доказательством: а) теорему Коши – Адамара; б) теорему об аналитичности суммы степенного ряда; в) теорему о разложении функции в ряд Тейлора; г) теорему единственности. Быть готовыми ответить на вопросы: Какой ряд называется функциональным? Дайте определение точки сходимости функционального ряда. Как определяется сходимость функционального ряда на множестве? Какое множество называется множеством сходимости ряда? Какой ряд называется абсолютно сходящимся? Дайте определение равномерной сходимости функционального ряда. Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Перечислите основные свойства равномерно сходящихся рядов. Сформулируйте теорему о непрерывности суммы функционального ряда. Как читается теорема о почленном интегрировании функционального ряда? Какой ряд называется степенным? Что называется коэффициентом ряда? Как по виду степенного ряда найти его центр? Где сходится всякий степенной ряд? Может ли множество сходимости степенного ряда состоять из нескольких не пересекающихся множеств? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. По каким формулам можно найти радиус 1 сходимости степенного ряда? В каком случае не применим признак Д´Аламбера? Чему равен радиус сходимости степенного ряда, который сходится: а) только в своем центре; б) во всей комплексной плоскости; в) не только в своем центре, но и не во всей плоскости? Что такое: а) круг сходимости; б) область сходимости; в) множество сходимости; г) окружность сходимости степенного ряда? Как выясняется вопрос о сходимости степенного ряда на окружности сходимости? Каков круг сходимости степенного ряда с центром в точке z0, если его радиус сходимости равен: а) нулю; б) бесконечности; в) некоторому положительному числу R? Какие признаки абсолютной сходимости степенного ряда Вам известны? Где степенной ряд с положительным радиусом сходимости сходится абсолютно? Сформулируйте теорему о равномерной сходимости степенного ряда. Имеет ли место для степенных рядов теорема о непрерывности суммы ряда? Сформулируйте теорему о почленном интегрировании степенного ряда? Можно ли степенной ряд почленно дифференцировать? Если можно, то где? Изменится ли круг сходимости степенного ряда при его дифференцировании? Как читается теорема об аналитичности суммы степенного ряда? Сформулируйте теорему о бесконечной дифференцируемости суммы степенного ряда. Запишите k-ю производную степенного ряда  a n 0 n ( z - z) n . Когда говорят, что функция f(z) разлагается в степенной ряд? Если функция разлагается в степенной ряд по степеням (z – z0 ), то сколько таких рядов данной функции существует? Как выражаются коэффициенты степенного ряда с центром в точке z0 функции f(z)? Дайте определение ряда Тейлора. Сколько раз дифференцируема аналитическая функция? Дайте второе определение аналитичности функции. Какой вид и на каком множестве имеет место 1 разложение по степеням z для функции: а) 1 - z ; б) expz; в) sinz; г) cosz; д) ln(1+z); е) (1+z)α, где α- Ряд Лорана. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции 9. 6 любое комплексное число? Как называется разложение функции п. 39, е)? Сформулируйте теорему Коши о разложении аналитической функции в ряд Тейлора. Как найти радиус сходимости и круг сходимости ряда Тейлора функции, особые точки которой известны? Как выражаются коэффициенты ряда Тейлора с помощью интеграла? Какой вид имеет выражение n-й производной функции f(z) через интеграл? Какие условия при этом накладываются на контур интегрирования и функцию f(z)? Запишите неравенства Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Сформулируйте теорему Лиувилля. Как формулируется основная теорема алгебры? Сформулируйте теорему единственности аналитической функции. Что значит функцию, заданную на множестве Е, аналитически продолжить на область D? При каком условии аналитическое продолжение единственно? Каково необходимое и достаточное условие продолжения функции, аналитической в области, на более широкую область? Разобраться в решении примеров: [4], § 10, №№ 1, 3, 4. Решить на занятии: [4], №№ 10.1 а)1),3); б)3),4); в)3); 10.3 а),д),е); 10.5 а)3), б)4), в)3); 10.6 в); 10.7 а)1),3); б)2),4. Дополнительно: 10.2 а)2), б)1),4); 10.8 б); 10.11 в); 10.16 б). Решить дома: [4], №№ 10.1 а)4); б)1),2); г)4); 10.3 б),в); 10.5 б)2), в)4); 10.6 а); 10.7а)2),4), б)3). Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. VII; [2], гл. VII, п.п. 1 – 4, 6, 7; [3], гл. X. Знать с доказательством: а) теорему Лорана; б) теорему о взаимосвязи нулей и полюсов; 1 в) теоремы о поведении функции в окрестности устранимой особой точки и полюса; г) теорему Ю.В. Сохоцкого. Быть готовыми ответить на вопросы: Какой ряд называется рядом, расположенным по целым отрицательным степеням? Как с помощью формул для радиуса сходимости степенного ряда найти область сходимости ряда, расположенного по целым отрицательным степеням? Какова область сходимости ряда по целым отрицательным степеням? Где сходится всякий ряд по целым отрицательным степеням? ∞ lim n a n = r ∑a (z - z ) -n n 0 Пусть n→∞ . Где сходится ряд n=0 , если: а) r=0; б) r=∞; в) r- положительное число? Где ряд, расположенный по целым отрицательным степеням, сходится: а) абсолютно; б) равномерно? Какой ряд называется рядом Лорана? В каком случае ряд Лорана считается сходящимся? Какова область сходимости ряда Лорана, если Rрадиус сходимости степенного ряда (части ряда Лорана по положительным степеням), r –радиус сходимости части ряда Лорана, расположенный по отрицательным степеням, если а) R>r; б) R<r; в) R=0. r >0; г) r=0, R>0; д) 0 < r < R=∞; е) 0 < r < R < ∞; ж) r=0, R=∞; з) r=∞, R=0? Какая часть ряда Лорана называется правильной? Как называется часть ряда Лорана, расположенная по отрицательным степеням? Обладает ли свойством единственности разложение функции в ряд Лорана? Каковы множества абсолютной и равномерной сходимости ряда Лорана? Сформулировать теорему Лорана. Как выражаются коэффициенты ряда Лорана через интеграл? Какими свойствами при этом обладают контур интегрирования и разлагаемая в ряд Лорана функция? Распространяется ли свойство аналитичности суммы степенного ряда на случай суммы ряда Лорана? Можно ли ряд Лорана внутри кольца сходимости: а) почленно интегрировать; б) почленно дифференцировать? Где расходится всякий ряд Лорана с отличной от нуля главной частью? Дайте определение функции, аналитической в бесконечно удаленной точке. Что называется нулем функции? Как определить кратность нуля функции: а) с помощью производных; б) по коэффициентам ряда Тейлора? Какой нуль функции называется простым? В виде какого произведения можно представить аналитическую функцию f(z), которая в точке С имеет нуль порядка m? Пусть аналитическая функция f(z) в точке z0 имеет нуль порядка m и представлена в виде f(z)=(z - z0)m φ(z ) . Каким свойством обладает функция φ(z ) ? Дайте определение нуля кратности m функции f(z) в точке z= ∞. Какая точка называется изолированной особой точкой однозначного характера функции? Дайте определение: а) устранимой (правильной) точки функции; б) по-люса функции кратности m; в) простого полюса функции; г) существенно особой точки функции. Сформулируйте критерий устранимой особой точки функции. Какова особенность поведения функции в окрестности полюса? Как по аналитическому выражению найти полюсы функции и определить их кратность? Как читается теорема о взаимосвязи полюсов 1 функции f(z) и нулей функции f ( z ) ? 10 . 7 Вычеты и их приложения к вычислению Если функция f(z) однозначная и аналитическая в некоторой проколотой окрестности точки z0 и lim f ( z ), z 0 ≠∞ z → z0 равен: а)0; б) ∞; в) отличен от 0 и ∞; г) не существует, то в каких из этих случаев можно утверждать, что точка z0 является особой точкой функции f(z) и если да, то какого типа особенность? Сформулируйте теорему Сохоцкого. Какая часть ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки называется главной, а какая правильной? Пусть функция f(z) разложена в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Как узнать, является ли точка z=∞ : а) правильной; б) полюсом; в) существенно особой точкой функции f(z)? Дать ответы на вопросы п. 32 в случае z0=∞. Разобраться в решении примеров: [4], § 11, №№ 1 – 6. Решить на занятии: [4], №№ 11.1а),в),г),з); 11.2а),г); 11.3а),в); 11.4а),б),е); 11.5а)2); б)4); 11.13а)2),3); в)1),2); г)3),5). Дополнительно: 11.6а),б); 11.7; 11.15; 11.18а),в). Решить дома: [4], №№ 11.1б),е); 11.2в); 11.3б),г); 11.4в),г); 11.5а)3); в)4); 11.13б)4); в)3),5); г)1),2). Готовиться к контрольной работе по темам 7 – 11. Теоретический материал: Лекции: соответствующие параграфы; [1], гл. VIII, §§ 1 – 4; 2 интегралов [3], гл. XI. Знать с доказательством: а) формулы вычисления вычета относительно полюса; б) основную теорему о вычетах; в) теорему о сумме вычетов. Быть готовыми ответить на вопросы: Что такое вычет функции f(z) относительно точки z0? Как обозначается вычет функции f(z) в точке z0? Дайте определение вычета функции f(z) относительно бесконечно удаленной точки. Сформулируйте основную теорему о вычетах. Какова взаимосвязь между вычетом функции в точке z 0 ≠∞и коэффициентами ряда Лорана по степеням z – z0 ? Чему равен вычет функции в точке z 0 ≠∞, если z0 – устранимая особая точка? Дано разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки. Как узнать, чему равен вычет этой функции относительно z 0 = ∞? Может ли случиться так, что функция в точке z0 имеет полюс или существенную особенность, а вычет ее в этой точке равен нулю? Если «да», то приведите пример? Чему равен вычет функции в точке z 0 = ∞, если z0 – нуль функции не ниже второго порядка? Сформулируйте теорему о сумме всех вычетов однозначной функции, имеющей только изолированные особые точки. Запишите формулу для вычисления вычета относительно: а) простого полюса; б) полюса порядка m > 1. φ( z ) f ( z) = , ψ ( z ) Пусть где и φ(z ) и ψ (z ) аналитические в точке z 0 ≠∞, а ψ (z ) в этой точке Re s f ( z ) имеет простой нуль. Чему равен z = z0 ? Изложите схему вычисления интеграла по замкнутому контуру с помощью вычетов. Разобраться в решении примеров: [4], § 12, №№ 1 -3. Решить на занятии: [4], №№ 12.1а)2); 12.2а)2); 12.3 а)2); б)3); в)2); г)1). Всего 8. Примерная тематика курсовых работ 18 1. Применение теории вычетов для вычисления интегралов 2. Гармонические функции комплексного переменного 3. Стереографическая проекция, расширенная комплексная плоскость 4. Гиперболические функции комплексного переменного и их применение 5. Ряды с комплексными членами 6. Исследование особых точек функций комплексного переменного 7. Последовательности комплексных чисел 8. Элементарные функции комплексного переменного. 9. Функциональные последовательности и ряды. 10. Теоремы Коши и их применение. 9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов. № Модули и темы 1. 1 Плоскость комплексных чисел. Последовательност и и ряды с комплексными членами. Всего Модуль 2 2. Функции 1 комплексного переменного. Производная 2. 2 Элементарные функции и задаваемые ими конформные отображения. Виды СРС обязательны дополнительны е е Модуль 1 Чтение Чтение лекций, дополнительной подготовка к литературы. практическим Выход к доске занятиям, подготовка к проверочным работам Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам Неделя семестр а Объе м часов Колво балло в 1-2 12 0-4 12 0-4 Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 3-4 Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 5-6 8 0-4 10 0-4 2. 3 Интегрирование функции комплексного переменного. Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 7-8 Всего 3. 1 Ряд Тейлора. Аналитическое продолжение. 3. 2 Ряд Лорана. Изолированные особые точки. 3. 3 Вычеты и их приложения. Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам Чтение лекций, подготовка к практическим занятиям, подготовка к проверочным работам 10 0-4 28 0-12 Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 9-10 Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 11-12 12 0-4 Чтение дополнительной литературы. Выход к доске 13-14 12 0-4 32 72 0-12 0-28 Всего Итого 8 0-4 10. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля). 10.1 Формы оценочных средств Таблица 7 Виды Оцениваемые Элементы учебного Форма оценочных средств Входная контрольная работа Входной ОК-1, СК-2, по теме: контроль СК-3, ОК-5 «Комплексные числа» Количество баллов в рамках БРС оценки ОК-4, СК-1, Текущий Основные темы СК-2, СК-3, контроль дисциплины СК-5 Количество баллов в рамках БРС оценки ОК-4, СК-1, Промежуточная Весь материал СК-2, СК-3, аттестация дисциплины СК-5 Количество баллов в рамках БРС оценки Зачет материала: раздел/ тема/весь материал** Работа на лекции Работа на практике Домашняя работа компетенции Контр. работа аттестации + - - - - 7 - - - - + + + + - 25 7 11 10 - - - - + 40 ОК-3 Код компетенции 10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания: Таблица 8. Критерии в соответствии с уровнем Виды занятий Оценочные освоения ОП (лекции, семинар средства (тесты, пороговый базовый повышенный ские, творческие (удовл.) (хор.) (отл.) практические, работы, проекты 61-75 баллов 76-90 91-100 лабораторные) и др.) баллов баллов Лекции, ПФ-6 Знает: Знает: Знает: основные основные основные практические УФ-12 понятия факты методы занятия ПФ-12 теории (теоремы, теории функций свойства) функций комплексного комплексн комплексног переменного ого о анализа переменного Лекции, ПФ-6 Умеет: Умеет: Умеет: используя используя вычислять практические УФ-12 определения определен пределы, занятия ПФ-12 и теоремы, ия и производные проводить теоремы, , интегралы исследования проводить в , связанные с исследова комплексной основными ния, области, понятиями связанные строить курса; с простейшие основным конформные и отображения понятиями ; курса; Владеет: основными положениями классических разделов теории функций комплексного переменного Лекции, Владеет: основными практические понятиями занятия школьного курса математики, связанные с теорией функций комплексног о переменного (профильны й уровень) Владеет: базовыми идеями и методами теории функций комплексн ого переменно го ПФ-6 УФ-12 ПФ-12 10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы. Текущая контрольная работа по дисциплине «Теория функций комплексного переменного» (наименование дисциплины) 1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Запишите число в тригонометрической форме. 3 i   ; 3 ; 2 2 д)2 + 2i; е) 3  i; ж) -3i; з) 5i; а) 2 – 2i; б) 1 + i; в) -1 + i г) и) -3; к) 2 + 3i. 3i 3 1 i 3 ; ; 10 2. Вычислить: а) 1  i  ; б) 1  i в) 1  i 3 ; г) 2  2i   1 i ; i з) 1  i  ; и) д) 1  i 3  ; е) 2  i  3  2i ; ж) 3 3 1  i 5 ;  i 5  2  1  i 3 к)  i19  1  2 . 3. Найдите все значения корня заданного комплексного числа: 8 3 4 3 3 4 а)  1; б) i ; в) 1; г) 1  i ; д)  1  i ; е) 1; ж)  i ; з) 1  i ; и) 1  i 3 ; к) 4  16 ; zz Re z  ; z  z  2 Re z ; z  z  2 i Im z ; 2 4. Доказать равенство: а) б) в) zz Im z  ; 2 2 2i г) д) z  z  0 ; е) z  z  Re z   Im z  ; ж) Im( z  z )  0;     z ; и) z     z 2  z 2  z1 ; к) z1  z 2  z1  z 2 . 2 2 3 5. Решить уравнение: а) z  2iz  3  0; б) z  2iz  i  1  0; в) z  8i  0; 2 3 z  z  1  i; z  z  1  2i; z  z  z  1  i ; z  z ; г) д) е) ж) з) z  2 z  1; з) z1  z 2  z1 2 1 z  z  1. и) z  Re z  2 Im z  2  i; к) 6. Пользуясь определением предела последовательности, доказать равенство: 2 i  3i n 1 2ni lim   2   0; lim  0; lim  1; lim 2  0; n  n n   n   n   n   n ni n i а) б) в) г) 2  in 2 in ni 2n lim  1 ; lim  2 ;  i ; lim  0; 2 д) n n  2i е) n n  i ж) n n  3i з) n n  2i n i 2n 2  i 2 lim    0. lim 2  ; n  2   и) n 3n  i 3 к) lim 7. Относительно заданной последовательности выяснить: имеет ли она предел? Если предел существует, то найти его. 1 i n zn  ; n 2n 3n 4n z  i ; z  i ; z  i ; z  i ;   z   1 i ; n а) n б) n в) n г) n д) n е) zn  i n ; z n  arg( i n ); z n  arg( i ) 2n ; n zn  1  i . ж) з) и) к) 8. Найти предел последовательности: n 2  in  2 ; 2 2 2 2 2 а) in  1 б) n  i  n  i ; в) n  in  1  n  2ni  1; г) n2  2  i n ; д) 1 1  n  1 1 cos n sin  i ; n sin  i ; n  in  3i  n  ni  2 ; е) n n  n  1  ж) n n 2 2 n2 2 2   n  1   sin n cos n   n3  1  n 2 1  cos   i 1    i  ;  ;  i sin n. 2 n  и)  n  n   n з)  n  к) n  n  1 9. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:  n i  ;  n n2 n    2 n  1 1  1  3i ; 2n ni   2 1 1  ; sin  i ;      3 2 2 n n n  i 2 n n n ! n   n  1 n  1 n  1 а) б) в) г)  n    i  1 i 1  i n ; 1 3n n 2    1    ;  i ; sin  ;    n n2   ln n  2n 3  1 з) n 1 n 2  i n  ж) n 1 n n n  д) n1 е) n 1 n   1  i n! . ln n  i ;   2 n n nn и) n 1 n n к) n 1 n 10. Является ли данное множество: ограниченным? замкнутым? открытым? Сделать чертеж.  а) n 2 z  i  1; б) z  1  2; в) 0  arg z  arg z   ; 4 г) Re z  1; д) z  2; е) Re z  1;  ; 4 к) Im z  0, Re z  0 . ж) з) Im z  2; и) 11. Какое множество точек комплексной плоскости определяется неравенствами и является ли оно областью? Сделайте чертеж.  z  1,     arg z  ,  z  2,  z  i  1, Re z  0,    2    0  arg z  2 ;  Im z  0; Re z  0; Im z  1; Im z  0 ;    а) б) в) г) д) 1  z  1  2;   z  1,    arg z  ,   1  z  i  2 , z  1  1 , Re z  0, 1 4     Im z  ;    z  1; z  1; 2 ж)  z  1  1; з)  е)  и)  к) Im z  0. 12. Записать с помощью неравенств множество точек комплексной плоскости: а) первый квадрат (оси координат не принадлежат множеству); б) второй квадрат (полуось действительной оси принадлежит множеству); в) полукруг единичного круга (без окружности), лежащий выше оси 0х; г) полукруг единичного круга (включая полуокружность) лежащий правее оси 0у; д) сегмент круга с центром в точке z=i радиуса 2, лежащий правее прямой х=1 (без граничных точек); е) полуокружность, окружности с центром в точке z=2i радиуса 1, лежащая выше прямой у=2 (прямая не принадлежит множеству); ж) полоса, лежащая правее оси ординат шириной 2 ед. (без граничных точек); з) внутренность квадрата с центром в начале координат, со сторонами параллельными осям координат величиной 2ед.; и) внутренность кольца с центром в точке 1+i, внутренним радиусом равным 1, а внешним – 3;  к) угол с вершиной в начале координат величины 4 , биссектрисой которого является положительная полуось действительной оси (стороны угла множеству не принадлежат). 13. Выяснить, какая кривая определяется заданным параметрическим уравнением. Сделать чертеж, указать направление обхода кривой:  1 z  2 sin t  i, 0  t  ; z  it  , 0  t  ; 2 б) z  i sin t , 0  t   ; в) t а) 2 2 4 г) z  2t  it , -   t  ; д) z  t  it , -   t  ; е) z  2t  it , - 2  t  2; ж) z  r cos t  i sin t , 0  t  2 , r  0; з) z  2cos t  i sin t , 0  t   ; и) z  t  it , 0  t  ; к) z  2  it , -   t  . 14. Напишите какое-либо параметрическое уравнение кривой: а) биссектрисы I и III координатных углов; б) отрезка, соединяющего точки z1 =2+ i, z2 =2+3i; в) нижней полуокружности с центром в начале координат радиуса 2, обходимой по часовой стрелке; г) окружности с центром в точке z=0 радиуса 3, обходимой против часовой стрелки; д) луча, выходящего из начала координат под углом 600 к положительному направлению действительной оси; е) прямолинейного отрезка, соединяющего точки z1=i и z2 =1; ж) правой полуокружности с центром в начале координат радиуса 2, обходимой против часовой стрелки; з) действительной оси, обход соответствует убыванию х; и) прямой, проходящей через точку z = -i параллельно действительной оси; к) отрезка [0, 1], пробегаемого дважды. 15. Найти значение функции   f (z ) в точке z : 0 z 2    i, z 0  1  i 2   z 3  Re z 2 , z 0  i;     z  Im z , z  1  i ; 0 z а) б) в) ; 2 3 1000 2   z , z 0  1  i; д)   z  z , z 0  i; е)   z  Re z  Im z, z 0  i; г) ж)   z   z , z 0  i; з) 2 z     , z 0  i. z к) 2 2  z2 , z 0  1  i;   z  z, z 0  2  i; z и) 16. Выделить действительную и мнимую части функции: z  z ; 2 3 а)   z ж) z ; z б) 1 1 z 1 z  2;  ;  ; 3 z в) z z z г)   z ; д) е)   z ; 2 2 з)   z  z; и)   Re z  z ; к)   Im z  i Re z. 17. Найти образ линии l при отображении с помощью функции   f (z ) : 1 1   , l : x  0, y  0;   , l : y  0, x  0; 2   z , l : y  1 , x  0 ; z z а) б) в) 2 2 2 г)   z , l : x  1, y  0; д)   z , l : x  1, y  0; е)   z , l : y  1, x  0; 1 1   , l : x  0, y  0;   , l : y  0, x  0;   z  i, l : z  1, Re z  0; z z ж) з) и) 1    , l : z  1, 0  arg z  ; z 2 к) 18. Найти   f (E ) : а)   z  z , E : Re z  0; б)   z  z , E : Im z  0; в)   z  z , E : Re z  1, Im z  1; 1    , E : z  2, 0  arg z  ; z 2 г)   z , E : Re z  1, Im z  0; д) 1    , E : z  1, 0  arg z  ; z 4 ж)   z  i, E : Re z  0; е) 1      , E : z  1,   arg z  ;   2 z , E : 0  arg z  ; z 4 4 и) 4 з)    z , E : 0  arg z  ; 4 к) 19. Найти предел функции в точке: z  1   z 1 lim 2z  3  ; lim  z 5  5 z  2  ; lim ;  z 0 z  2  в) z i z  а) z i z  2 б) z 2  1  i  3z 3  2 z 2  z z i lim ; lim 2 ; lim ; z  1  i z  1  i  5z г) z 0 д) е) z i z  1  x y y   sin( x  y ) x  y z lim  2 i 2 ; lim  i lim ; 2 ; z 1i x  1 z  1  i x  y x  y 2 x z     з)   и) z 1 ж) z2  z 1 lim . к) z  z  1 20. На каком множестве дифференцируема функция? Является ли она аналитической? 2 2 2 2 2 2 2 2 а)   x  iy ; б)   y  ix ; в)   y  x  2ixy; г)   x  y  2ixy; 2 д)   x  y  2ixy; е)   z  z ; ж)   z   2ixy; з) 2 2 2 3 3 2 и)   3xy  x  ( y  3x y)i; к)   x  y  2 xyi. 2 2 2 2 1 z  ; 21. Выяснить, является ли функция гармонической в какой-либо области: 2 2 2 2 2 2 а) u  x  y ; б)   xy; в) u  x  y ; г)   2 x  3 y  1; д)   ln( x  y ); е) u x y y  ; ;   arctg ; 2 x  y к) u  x 2  y 2  x  y. x ж) x з) u  xy ; и) 22. Постройте аналитическую функцию по ее заданной действительной или мнимой части: x u 2 ; 2 2 2 x x x  y u  x  y  1 ; u  x  e cos y ; а) б) в) г) u  e sin y; 3 2 2 y 2 3 д)   x  3xy ; е)   e cos 2 x; ж)   3x y  y , f (0)  0; 4 2 2 4 з) u  x  6 x y  y , f (0)  0; и) u  2 xy, f (0)  0; к)   xy  x  y, f (0)  0. 23. Найти коэффициент растяжения к и угол поворота φ в точке z0 при отображении ω=f(z). а) ω= z3 , z0=1+i; б) ω= sinz , z0=0; в) ω=i ez , z0=2; г) ω= icosz-z , z0=0; 1 д) ω= eiz , z0=i; е) ω= z2 +2, z0=1-i; ж) ω= siniz , z0=-i; з) ω= z , z0=-1-i; и) ω= z3 +z2, z0=-i; к) ω= ez +cosz, z0=0. 24. Найти множество точек z, в которых угол поворота при отображении ω=f(z) равен φ.  2 а) ω= z2 , φ= 4 ; б) ω=i z2, φ=0; в) ω= z3, φ=π; г) ω=- z3, φ= 3 π;    2 2 3 3 д) ω=i z , φ= 6 ; е) ω=3i z , φ= 2 ; ж) ω=i z , φ=0; з) ω=-i z , φ=- 2 ;  и) ω=-iz2, φ=- 4 ; к) ω= ez, φ=0. 25. Найти множество точек, в которых при отображении ω=f(z) коэффициент растяжения равен к. 1 1 а) ω= z2, к=2; б) ω= z , к=1; в) ω= z3, к= 2 ; г) ω=- z3, к=3; 2i 1 1 2 3 2 д) ω= z , к= 2 ; е) ω= 3iz +1, к=2; ж) ω= z , к=1; з) ω= 2eiz, к=2; и) ω=3ie z,к=3; к) ω= ez, к=1. 26. Какая часть плоскости сжимается, а какая растягивается при отображении ω=f(z)? 2i 1 2 2 а) ω= iz+2; б) ω= z -z; в) ω= z ; г) ω= z ; д) ω= z3+1; е) ω= eiz; i 2 3 ж) ω= 2ez ; з) ω= 3z ; и) ω= z ; к) ω= ez-1. 27. Найти линейное отображение с неподвижной точкой z0, переводящее точку z1, в точку ω1: а) z0=0; z1=1, ω1=i; б) z0=1; z1=2, ω1=0; в) z0=i; z1=1+i, ω1=1-i; г) z0=-1; z1=2, ω1=i; д) z0=1+i; z1=0, ω1=0; е) z0=1-i; z1=1+i, ω1=i; ж) z0=0; z1=1, ω1=1+i; з) z0=i; z1=1+i, ω1=0; и) z0=i; z1=0, ω1=-i; к) z0=-i; z1=i, ω1=1-i. 28.Найти образ фигуры Е при отображении с помощью линейной функции ω=f(z). Сделать чертеж множества Е и его образа. Re z  1; z  2; а) Е: ω=iz; б) Е: ω=2z+i; в) Е: Im z  0, 0 <Rez <1; ω=z+1;  ; ω=z-i; д) Е: argz= 4 ω=(1-i)z;е) Е: Re z  0; ω=-iz; z  1  1; z  2;  z  2; ж) Е: ω=z+1; з) Е: 0 argz  π; ω=-z; и) Е: ω=2z+i; к) Е: Im z  0; ω=2z+1. г) Е: z  i  1; 29. Найти дробно-линейную функцию, переводящую заданные три точки плоскости z соответственно в точки плоскости ω. Во что при этом отображается множество Е? а) 0, i,  в точки -1, 0, 1; Е: Rez=0; б) –i, 0, i, в точки 0, -1,  ; Е: Rez=0; в) 0, 1-i, 2 в 4 2 1 i 2 i z  ; z  1  1 ; 2 2 5 ; E: точки 0, 1-i, 5 г) i, 1, 0 в точки 0,  , 1-i, E: д) 1, i,-1, в z  1; точки 1, -i,-1; E: е) 0, 1,  , в точки -1, 0, 1 ; Е: Imz  0; ж) 0, 2, -2i в точки 0, 1,  ; i  , z  1  i   2 Е: ; з) 2 i, 2i, в точки 0, 2,  ; E: Rez  0; и) 1, 0, i, в точки 0, 1,  ; Е: 1 i 2  ; 2 2 к) -1, 0,  в точки  , i, 0; E: Imz  0. 30. Найти какую-либо дробно-линейную функцию ω=f(z), осуществляющую отображение f(E)=M. Сделать чертеж множеств E и M. z 1 i 2 z  ; 2 2 M:   2; г) E: а) E: M:Reω  0 ; б) E: Re z  0; M:Imω  0 ; в) E: z  1;  1  1 z  2;  1 z  i  1; M: ; д) E: M:Imω  1 ; е) E: Im z  2; M: ; ж) E: z  2; M:Reω  1 ; з) E: Im z  0; M:Reω  0 ; и) E: Im z  2; M:Rez  2 ; к) E: M: z  1; 1 2 31. Представить в показательной форме число: а) 3i; б) -2; в) 1+ i; г) -1- i; д) 2+5i; е) 2-5i; ж) -2+5i; з) -2-5i;   123 и) 1+ i ; к) –cos 7 +isin 7 . 32. Записать в параметрическом виде уравнение линии с начальной точкой z0: z  1, Re z  0; z 0  i; z  2, Re z  0; z 0  2i; а) б) в) отрезок, соединяющий точки z0=0, z  1  1, Im z  0; z 0  0; z1= i; г) отрезок Im z  1, 0  Re z  1; z 0  i; д) z  i  1, Re z  0; z0  0; е) ж) отрезок, соединяющий точки z0=0, z1=1+ i; з) отрезок, соединяющий точки z0=1+i, z1=0; и) отрезок Re z  1, 0  Im z  1; z 0  1; к) отрезок, соединяющий точки z0=1+ i, z1=1- i. 33. Найти:   1 i 2 i 2 ; e ; а) б) Ln(1+i); в) ln2i; г) cosi; д) Argsin 2 ; е) 1i; ж) e   ; ctg(i) . з) Lni; и) ln1; к) 34. Решить уравнение:  iz z 5z  iz z z а) e  1; б) lnz=1+ i 2 ; в) e  e ; г) e  e; д) lniz=3; е) 1  1 ; z iz ж) ilnz=π; з) e  1; и) e  e; к) –ln z=2-πi. 35. Доказать справедливость формулы: iz а) e  сosz  i sin z; б) sin( z1  z 2 )  sin z1сosz 2  cos z1 sin z 2 ; сos ( z   )   sin z; 2 в) сos( z1  z 2 )  сosz1 cos z 2  sin z1 sin z 2 ; г) д) sin z      sin z; 2 2 2 2 е) sin iz  ishz ; ж) cos iz  chz ; з) ch z  sh z  1; и) cos 2 z  сos z  sin z; Ln к) z1  Lnz1  Lnz 2 . z2 Варианты контрольных работ 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант 5 вариант 6 вариант 7 вариант 8 вариант 9 вариант 10 вариант 1а) 2б) 3а) 4б) 5а) 1д) 2и) 3ж) 4г) 5д) 6в) 7г) 8а) 9д) 11в) 14а) 13к) 12е) 11ж) 10е) 13в) 14б) 12г) 10и) 15а) 16е) 17и) 16б) 18е) 19и) 22а) 20г) 21б) 23а) 24д) 25е) 26г) 20а) 21и) 23б) 27б) 29б) 29а) 32д) 31и) 27в) 29е) 33е) 32ж) 31е) 29в) 32а) 31к) 33е) 32а) 29и) 31а) 31б) 33з) 32б) 33а) 34б) 33б) 34д) 33в) 33г) 33д) 33ж) 34з) 33и) Критерии оценки: - оценка «отлично» (5 баллов) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 5 заданий работы; - оценка «хорошо» (4 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 4 задания работы; - оценка «удовлетворительно» (3 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 3 задания работы; - оценка «неудовлетворительно» (0-2 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) менее 3-х заданий работы. Итоговая контрольная работа, 1 семестр по дисциплине «Теория функций комплексного переменного» (наименование дисциплины) 36. Вычислить интеграл  f z dz, Г а) f(z)=zcosz; z0=0, z1= i; б) f(z)= где Г- прямолинейный отрезок z0z1: z ; z0  i, z1  i; 1 3 i ; 2 г) z1 = 2 в) f(z)=ez; z0=0, 1 3 2 i ; z 2 f(z)=sinz; z0=0, z1= i; д) f(z)=e ; z0=0, z1= 2 z ; z0  0, z1  2  i; е) f(z)=Rez;z0=0, z1=2+ i; ж) f(z)=Imz; z0=0, z1=2+ i; з) f(z)= z ; z 0  1, z1  1; и) f(z)= к) f(z)=Rez + Imz; z0=0, z1=1+2i.  f z dz, 37.Вычислить интеграл Г где Г-дуга окружности от точки z0 до z1: 1 f ( z)  ; Г : z  1  1, Re z  0, z 0  0, z1  2i; z 1 а) б) в) г) f ( z)  z ; Г : z  2, Im z  0, z0  2, z1  2; f ( z)  1 ; Г : z  1, Im z  0, z 0  1, z1  1; z f ( z)  z ; Г : z  1, Re z  0, z0  i, z1  i; д) f ( z)  Re z; Г : z  1, Im z  0, z0  1, z1  1; е) f ( z)  Im z; Г : z  1, Im z  0, z0  1, z1  1; ж) f ( z)  z ; Г : z  1, Im z  0, z0  1, z1  1; з) f ( z)  z ; Г : z  2, Im z  0, z0  1, z1  1; и) f ( z)  z; Г : z  2, Im z  0, z0  2, z1  2; к) f ( z)  z z ; Г : z  2, Im z  0, z0  2, z1  2;  f z dz, 38. Вычислить интеграл Г : f ( z )  z ; а) Г – треугольник с вершинами в точках z=0, z=1, z=i; z б) f ( z )  e ; Г – треугольник с вершинами в точках z=0, z=1+i, z=i; z  1, Im z  0 в) f ( z )  2 z  3 z ; Г: и горизонтальный диаметр; 1 f ( z)  ; z  i Г: z  i  1, Re z  0 и отрезок z1 z2, где z1=2i, z2=3i; начальная точка z=0; г) z f ( z)  ; z Г- замкнутый контур, состоящий из дуг окружностей z  2, Im z  0, д) z  1, Im z  0 и отрезков [-2,-1], [1,2]; f ( z)  z z ; Г : z  1, Im z  0 е) и горизонтальный диаметр; z f ( z)  ; z Г – замкнутый контур, состоящий из дуг окружностей z  1, Im z  0, ж) z  2, Im z  0 и отрезков [-2,-1], [1,2]; f ( z)  z  z ; Г : z  1, Re z  0 з) и вертикальный диаметр; и) f ( z )  Re z  Im z; Г – ломанная с вершинами z=0, z=1, z=1+2i, начальная точка z=0; z ; z Г – замкнутый контур, состоящий из дуг окружностей z  1, Im z  0, к) z  2, Im z  0 и отрезков [-2,-1], [1,2]; 39. Вычислить интеграл: f ( z)   2  cos izdz 1 e iz dz вдоль дуги параболы y  1  x ; i 1 dz sin zdz 3 i  z  1, Re z  0 в) вдоль дуги окружности ; г) 0 z  2 по отрезку [0, 1]; а) 0 вдоль арки синусоиды; б)  д)  cos zdz 0 2 1 1 вдоль арки синусоиды; е)  sin zdz 1 вдоль дуги z  1, Im z  0 ; 1i  e dz z ж) з) 0 по прямолинейному отрезку, соединяющему точки 0 и 1+ πi; 2 dz z 2  1 dz;  z 2sin izdz z  2, Im z  0 z  2 1 ; и) ; к) по полуокружности .  z  40. Вычислить интеграл: sin z dz z 2 z dz; C z , а) С – прямоугольник с вершинами 1, i, -1, - i; б) iz 1 dz e dz ; 2  C z  i , 2i z 1  2 z  2 z в) С – треугольник с вершинами 2, 2i, -2; г) dz C zz  32 , д) С – окружность с центром в точке i радиуса R=3; 2 z dz C 1 , z 2 квадрат с вершинами в точках 1+i, -1+i, -1-i, 1-i; е) 1 dz ; 2  sin z 2i z 1  1  3  dz ,  z  i  z  i   z  2, Im z  0 z i 2 2     C ж) з) С – дуга окружности и диаметр, 1 cos izdz dz  z 2 z  1z  3i  ; 2i z 1 z  1 i 2 . на который она опирается; и) к) 41. Вычислить интеграл: 1 sin zdz 1 1 1 1 ,  2i,   2i,   2i,  2i; 2i С z 2  1 2 2 2 а) С – прямоугольник с вершинами 2 б) z e dz dz z 2 z 2  1 ;  z z 2  1 , в) C С – ромб с вершинами 1, 2i, -1, -2i; iz 1 e dz , 2i С z 2  1 г) С – окружность с центром в точке i радиуса R=3; dz ;  dz cos izdz 1 1     z 2 z 3  1 ; z i 1 z  i  z  i  z  i  z 3 z 2  4 ; 2  4  ж)  д) е)  з)  1 z2 1 dz , 2i С z 2  1 С – окружность с центром в начале координат радиуса R=2; 1 z dz z 4 dz ;  2 . 2i z i 2 z  1z  i  z 1  2 z  1 и) к) 42. Вычислить интеграл: e iz dz 1 dz 1 dz cos zdz ; ; ; ; 3  z4  2i z i 1  z  i 2  z  i  2i z2 z 3 z 2 z  i 1  z  i  а) б) в) г) 2 1 z 1 1 z 1 dz; dz, 3   i z 2 z  1 2i C z  i 2 z д) е) С – прямоугольник с вершинами sin z e z dz 1 1 1 1 1 1 dz ;  3  i,   i,   2i,  2i;  z z  12 , z 1 z C 2 2 2 2 2 2 ж) з) С – окружность с центром в 3 точке -1 радиуса R=2; и) 1 i z 2  i dz  z  i  z  i  2 z 2 2 ; к) z3 1 z 5 z 5 dz. 43. Найти радиус и круг сходимости степенного ряда:  z  i n ;  n! z  2i n ;   1n z n ;  n n z n 2 ;  n z  i n ;  n  n   4  а) n 1 n б) n 1 n в) n 1 n г) n 1 д) n 1 3      zn nn n n! k n n n ,   0 ; n z ; n z ; 2 n  z  1 . z ;       е) n 1 ж) n 0 n! з) n1 n! и) n 1 к) n 1  a 44. Радиус сходимости ряда n 0   an 5 n z  i n ; n a z   n n а) n 0 ; б) n 1 4 в)  е) an  n! z  n ж) n 0  n a z  1 ; n 1 n zn равен R. Найти радиус сходимости ряда:   n n an z  1 ; з) n 1  a z  i  ; n 0  n  n n ; n k n г)  n k an z n ; n 0  n и)  a z  2 n 0 n 2n  2  д) n 0 n   1 an z n ;  ; к)  na n 0 2 n zn . 45. Пусть функцию f (z ) требуется разложить в ряд Тейлора по степеням (z-z0). Какова будет область сходимости этого разложения? 1 1 z f ( z)  , z 0  0; f ( z)  2 , z 0  1; z 1 f ( z )  e , z 0  i; cos 2 z z 1 а) б) в) z 1  f ( z)  , z 0  2; f ( z)  , z 0  i; f ( z )  tgz, z 0  ; 2   z  1 z 1 4 г) д) е) ж) f ( z )  ctgz, z 0  i; з) f ( z )  sin z, z 0  0; и) f ( z )  ln z, z 0  2i; ez f ( z)  3 , z 0  2. z 1 к) 46. Найти первых три отличных от нуля члена ряда Тейлора функции f (z ) по степеням (z-z0) и определить радиус сходимости: 1  f ( z)  , z0  ; z   f ( z )  ln 1  e , z  0 ;   f ( z )  ln 1  sin z , z  0 ; 0 0 sin z 2 а) б) в) 1 1 f ( z)  , z 0  2; f ( z)  , z 0  0; f ( z )  e iz , z 0  0; f ( z )  tgz, z 0  0; 5 z cos z г) д) е) ж) z z z f ( z)  2 , z 0  i; f ( z)  , z 0  0; f ( z)  , z 0  1. cos z z2 z 4 з) и) к) 47. Разложить функцию f (z ) в ряд по степеням (z-z ), указать область сходимости ряда: 0 1 f ( z)  , z 0  1; f ( z )  ln z , z  4 ; 0 z4 а) б) в) 1 1 f ( z)  , z 0  i; f ( z)  2 , z 0  0; f ( z )  sin 2 z , z 0  0; 1 z z 4 г) д) е)  f ( z )  cos, z 0  ; z 2 f ( z )  cos z , z 0  0; f ( z )  e , z 0  1; 4 ж) з) и) f ( z )  e z 3 , z 0  1. к) 48. Найти область сходимости ряда:       z n n2  2 zn 1   n n n n    ; 2 z ; 2  n  z  1 ; ;   z  n n ;     n! z n   n 2 z  б) n 0   в) n 3  1 г) n   а) n 0  д) n   n 3     1  1n 2 n  1  z n . zn 2 n n n ;   2 z ; z  i ; ;     n1 3   2 n n n 0 3 е) n   n  1 ж) n   з) n  1 и) n z  1 к) n 0 z z 2 f ( z )  e , z 0  0; 49. Разложить функцию f (z ) в ряд Лорана в указанных областях D: 1 2 f ( z)  , D : 1  z  2; f ( z)  , D : 1  z  2  3;    z  1 z  2 1 z2 а) б) 1 1 f ( z)  , D : 1  z  3; , D : 2  z  3; z  i z  3 z  z6 в) г) 1 z f ( z)  , D : 1  z  2; f ( z)  2 , D : 1  z  2; z  2z  i  z  3z  2 д) е) z 1 3 f ( z)  2 , D : 1  z  2; f ( z)  2 , D : 1  z  2; z  z2 z  z2 ж) з) 1 z 1 f ( z)  2 , D : 0  z  1  2; f ( z)  2 , D : 1  z  3. z  4z  3 z  4z  3 и) к) 50. Можно ли данную функцию разложить в ряд Лорана в области D? 1 1 sin , D : z  2 ; z 2 tgz, D : z  100; e , D : z  2; z а) б) в) 1 1  z2 , D : 0  z   1; , D : 1  z  1  2; , D : z  2 ; 2 2 г) z  i z  2 д) z  2 е) cos z f ( z)  2 sin z z , D : 0  z  ; , D : 0  z  2. ж) з) и) z к) sin z 51. Заданную функцию разложить в ряд Лорана в окрестности точки z0. Указать область сходимости разложения: 1 1 1  , z 0  0; , z 0  1; , z 0  ; e z , z 0  ;       z 1  z z 1  z z 1  z а) б) в) г) ln z  1, D : z  2; ln z, D : z  i  1; д) 1 z z e , z 0  0; 2 е) e 1 1 z , z 0  1; ж) e z 1 z 1 , z 0  1; з) 2  z e 1 z2 2 cos , z 0  0; , z 0  0; z и) 1 , z 0  . 2 к) z  2 52. Найти все нули функции и указать их кратность: 2 1 1 cos ;  z 2  5 3 3 2 z 1   e  1 ; z sin z ; z sin z ; z z  1 sin z ; e  1 ; z 1 а) б) в) г) д) е) z2  4 ; 2 2 z3 ж) з) z sin z; и) cos z  1; к) z cos z. 53. Найти все изолированные особые точки однозначного характера заданной функции и определить их тип: z5 ez ez z 1 1 1 ; ; ; ; ; ; 2 z 3 2 3 ze ;   1  z sin z sin z z  z 1  z z  z а) б) в) г) д) е) ж)   1 1 ; 2 z z2 z z  1 ze ; e . з) и) к) 54. Найти вычеты функции в указанных точках: z 2  z 1 1 1 ; z  0 , z  1 ; ; z1  1, z 2  1; 1 2 z 3 5 3 а) ze ; z1  0, z 2  ; б) z  z в) z  z 2 г) z   z2 2  1 2 ; z1  i, z 2  ; 1   ; z1  0, z 2   ; tgz; z1   , z 2  ; 2 2 д) sin z е) z 1 z2 1 sin z ; z1  1, z 2  ; ; z1  1, z 2  2; ; z1  0, z 2  ; 2 2   z z  1    z  1 z  2 ж) з) и) z к) z cos z; z1  0, z 2  . 55. Вычислить интеграл по положительно ориентированному контуру: z 2 dz cos zdz zdz sin 2 z z 2 z  3 z 2  1 ; z i 2 z 2 z  2 ; z2 z 4  1 ; z 1 1 z  15 dz; а) б) в) г) cos 2 z  1 z 2  1 dz;  cos2 2 z dz;  cosz3  1 dz, z 1 z z д) 2 е) z i 1 ж) C С – квадрат с вершинами в точках 1, i, z e dz z zdz  1 z z  12 ;  e2 dz ;  cos . 2 2 z 1  z 2 z   z 3 z  1 2 1, -i; з) и) к)   Варианты контрольных работ 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант 5 вариант 6 вариант 7 вариант 8 вариант 9 вариант 10 вариант 38 а б в г д е ж з и к 41 к и з ж е д г в б а 47 з е г б а в д ж и к 49 к е д г в б а ж з и 55 е г б а в д к и з ж Критерии оценки: - оценка «отлично» (5 баллов) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 5 заданий работы; - оценка «хорошо» (4 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 4 задания работы; - оценка «удовлетворительно» (3 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) 3 задания работы; - оценка «неудовлетворительно» (0-2 балла) выставляется студенту, если верно выполнены (с возможными недочетами) менее 3-х заданий работы. 10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций. Вопросы зачета: 1. Линейная функция. 2. Дробно-линейная функция. 3. Степенная функция с натуральным показателем. 4. Показательная функция. 5. Тригонометрические функции. 6. Логарифмическая функция. 7. Обратные тригонометрические функции. 8. Степень с произвольным показателем. 9. Интеграл от функции комплексного переменного. 10. Свойства интегралов. Сведение к вычислению обыкновенного интеграла. 11. Интегральная теорема Коши. 12. Первообразная функции комплексного переменного. 13. Теорема Коши для составного контура. 14. Интегральная формула Коши. 15. Теорема Коши-Адамара. 16. Равномерная сходимость. 17. Аналитичность суммы степенного ряда. 18. Ряд Тейлора. Единственность разложения. 19. Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. 20. Определение радиуса сходимости ряда для известной функции. 21. Второе определение аналитической функции и его эквивалентность с первым. 22. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. 23. Оценка коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лаувилля. 24. Основная теорема алгебры. 25. Теорема единственности аналитической функции. 26. Задача аналитического продолжения. Доказать теорему о единственности аналитического продолжения. 27. Ряд Лорана. 28. Теорема Лорана. 29. Классификация особых изолированных точек однозначного характера. 30. О нулях аналитической функции. 31. Поведение функции в окрестности устранимой особой точки. 32. Взаимосвязь нулей и полюсов. 33. Поведение функции в окрестности полюса. 34. Теорема Сохоцкого. 35. Случай бесконечно удаленной точки. 36. Простейшие классы аналитических функций. 37. Вычет, его взаимосвязь с коэффициентом ряда Лорана. 38. Вычисление вычета относительно полюса. 39. Основная теорема о вычетах. 40. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о сумме вычетов. Критерии оценки качества знаний студентов на зачете: Оценка «зачтено» выставляется студенту, твёрдо знающему программный материал, грамотно и по существу излагающему его, который не допускает существенных неточностей в ответе на вопрос. Оценка «не зачтено» выставляется студенту, который не знает значительной части программного материала, допускает в ответе существенные ошибки, с затруднениями отвечает или не отвечает на дополнительные вопросы по материалу. 11. Образовательные технологии. В ходе изучения дисциплины рекомендуется использовать электронные ресурсы (см. перечень электронных ресурсов, п. 7.4). 12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля). 12.1 Основная литература: 1. Липчинский, А.Г. Задачник-практикум по теории функций комплексного переменного [Текст] / А.Г. Липчинский.– Ишим: ИГПИ, 2003. – 131 с. – 168 экз. 2. Липчинский, А.Г. Учебно-методический комплекс по теории функций комплексного переменного [Текст]: учеб. пособие / А.Г. Липчинский. - Ишим: ИГПИ, 2005. – 67 с. – 91 экз. 12.2 Дополнительная литература 1. Балк, М.Б. Задачник-практикум по теории аналитических функций [Текст] / М.Б. Балк. – М.: Просвещение, 1976. 2. Евграфов, М.А. Сборник задач по теории аналитических функций [Текст] / М.А. Евграфов. – М.: Просвещение, 1976. 3. Свешников, А.Г. Теория функций комплексной переменной [Текст]: учеб.для ун-тов / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. – М.: Наука, 1974. – 319 с. – 35 экз. 4. Сидоров, Ю.В. Лекции по теории функций комплексного переменного [Текст]: учеб.пособие для вузов / Ю.В. Сидоров, М.В. Федорюк, М.И. Шабунин. – М.: Наука, 1976. – 405 с. – 17 экз. 5. Соломенцев, Е.Д. Функции комплексного переменного и их приложения [Текст] / Е.Д. Соломенцев. – М.: Высшая школа, 1988. – 20 экз. 12.3 Интернет-ресурсы: № Наименование электроннобиблиотечной системы (ЭБС) Принадлежность Адрес сайта 1. Электроннобиблиотечная система «Университетская библиотека онлайн» 2. Электроннобиблиотечная система Elibrary сторонняя http://biblioclub.ru сторонняя http://elibrary.ru 3. Универсальная справочноинформационная полнотекстовая база данных “East View” ООО сторонняя Наименование организациивладельца, реквизиты договора на использование подписка ТюмГУ ООО "РУНЭБ". Договор № SV-2503/2014-1 на период с 05 марта 2014 года до 05 марта 2015 года. http://dlib.eastview.com/ ООО "ИВИС". Договор № 64 - П от 03 апреля 2014 г. на период с 04 апреля 2014 года до «ИВИС» 4. Электронный справочник «Информио» 03 апреля 2015 года. сторонняя http://www.informio.ru/ 13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости). Нет. 14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля). Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: учебные и методические пособия; учебники, программы; пособия для самостоятельной работы; сборники упражнений; методические журналы и газеты; таблицы, учебники по математическому анализу. Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: учебные пособия, лабораторные ЭВТ, средства мультимедиа и интерактивные доски, программное обеспечение. 15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля). Методические рекомендации для преподавателя Дисциплина «Теория функций комплексного переменного» является одной из базовых дисциплин в образовательной программе подготовки учителя математики. Помимо ее самостоятельного значения, она является основой для изучения таких дисциплин, как «Элементы теории функций», «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными». На практических занятиях по курсу должны быть выработаны соответствующие навыки и умения, связанные с решением примеров и задач. По курсу проводится контрольные работы. Учебная практика по дисциплине не предусмотрена. Методические рекомендации для студентов Студенту следует помнить, что дисциплина «Теория функций комплексного переменного» предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему аудиторных и домашних работ, входных, текущих и итоговых контрольных работ. Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям (см. планы практических занятий), выполнение вариантов контрольных работ. Контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде контрольных работ, зачета. Дополнения и изменения к рабочей программе на 2015 / 2016 учебный год В рабочую программу вносятся следующие изменения: Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры «» 2015г. Заведующий кафедрой/Т.С. Мамонтова/ Подпись Ф.И.О.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Похожие документы

Разделы

Поддержка

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib