konkursnay_rabota_melnikovax

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ИНСТИТУТ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА ПО ТЕМЕ «КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ФУНКЦИИ. МАКСИМУМЫ И
МИНИМУМЫ» ДИСЦИПЛИНЫ «МАТЕМАТИКА»
АВТОР: МЕЛЬНИКОВ ВИТАЛИЙ ВАСИЛЬЕВИЧ, ПРЕПОДАВАТЕЛЬ ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ
Тема:
Критические точки функции. Максимумы и минимумы.
Цели: дать понятие «критические точки, максимумы и минимумы», уметь
находить критические точки и экстремумах.
Задачи:
Обучающие:
 Продолжение изучения влияния производной на свойства функции.
 Выведение алгоритма нахождения максимумов и минимумов функции,
обучение применения алгоритма.
Развивающие:
 Развитие мыслительной активности, познавательного интереса, речи,
слухового и зрительного внимания.
Воспитательные:
 Формирование умения сотрудничества в коллективной деятельности.
Тип урока: комбинированный
Форма организации учебной деятельности: индивидуально-групповая
Материально-техническое обеспечение: мультимедийное оборудование,
презентация, кубик.
1. Организационный этап:
а) Сообщить тему и цели урока.
б) Назначить ассистентов на каждый ряд.
Сообщить курс оценки:10 баллов – «5»; 8 – 9 баллов –«4»; 6 баллов – «3».
2. Проверка домашнего задания и опорных знаний:
а) Задание: №283(а)- на доске (один студент) и наличие домашнего задания в
тетради;
б) Задание: Собрать формулы на столе (один студент);
в) Задание: Продолжить предложения (по 1-баллу):
1) Если производная функции на промежутке имеет положительный знак, то
функция на этом промежутке …………………..
2) Если производная функции на промежутке имеет отрицательный знак, то
функция на этом промежутке …………………..
3) Промежутки возрастания и убывания функции называются
промежутками …………………………
4) Если 𝛼 − угол, который образует касательная к графику функции в точке
х0 с положительным направлением оси ох, то tg𝛼 = ……………………
5) Проверить.
Задание: Собрать формулы(игра с кубиком) 1 – балл.
1) с′ = 0
1) х′ = 1;
2) (сх)′ = с ;
2) (
)′ = n
3) (
)′ = u
4) (u
5) ( )′ =
)′ =
3) (u ± )′ = u′ ±
′
+u
′
4) (cu)′ = cu′;
;
5) sin′ x = cosx ;
;
6) cos′ x = - sinx ;
6) (
)′ =
6) Проверить
а) Найти промежутки возрастания и убывания функции:
f (х) = х3 – 3х2 - 9х + 1
1. Д(f ) = R
2. f ′ (х) = (х3 − 3х2 − 9х + 1)′ = 3х2 – 6х - 9
3. Методом интервалов найдём промежутки, на которых
f ′ (х) > 0 и f ′ (х) < 0 , Д(f ′ ) = R
3х2 – 6х -9 = 0
Д = 16
х1 = -3 или х2 = 1
f′′
+
;
-
+
.
′
х
f
-3
1
Ответ: Возрастает на ( - ∞; −3] и [1; + ∞)
убывает на [ - 3; 1].
7) Проверить
№283 (г) устно с места
f (х) = 4х3 – 1,5х4
1. Д(f ) = R
2. f ′ (х) = (4х3 − 1,5х4 )′ = 12х2 – 6х3
3. Методом интервалов найдём промежутки, на которых
f ′ (х) > 0 и f ′ (х) < 0 , Д(f ′ ) = R
12х2 – 6х3 = 0
х2 (2 –х) = 0
х1 = 0
f′′
х2 = 2
+
+
х
f
0
2
Ответ: убывает на ( - ∞; 0] и [2; + ∞)
возрастает на [ 0; 2].
8) Задание: Дописать формулы (игра с кубиком):
х′ = …; (сх)′ = …. ;(
(u
)′ =….. ;(
)′ = …..
(u +
+
)′ = ……….
)′ = ……. ; (cu)′ = ….. ; ( )′ = ….. ; sin′ x = ….. ;
cos′ x = ….. ; tg′ x =…… ; ctg′ x = …….(
9) Программированный контроль:
)′ =……. ;
1 сторона: 4′ ; ((х)4 )′ ; (4х)′ ; ((2х)2 )′
1
4х3
2
0
3
4х
4
4
Ответы: 2 ; 4 ; 1 ; 3
2 сторона: (3х +1)′ ; (х3 )′ ; (3х3 )′ ; 3′
1
4х3
3
4х
2
0
4
4
Ответы: 1; 3 ; 2 ; 4
10) Устный счёт:
а) (х5 )′ ; (2sin х)′ ; ( - 3cos х)′ ; (7ех )′ ; (8х)′
б) Найти f ′ (1), если f (х) = 5х3 – 2
f ′ (х) = 15х2
; f ′ (1) = 15∙ 12 = 15
3. Рассказы о максимумах и минимумах (сообщение студента).
4. Изучение нового материала.
Критические точки функции.
Мы рассмотрели поведение функции на промежутках,
где f ′ (х) > 0 и f ′ (х) < 0.
Важную роль при построении графика функции играют точки, в которых
производная равна 0 или не существует. Они называются критическими
точками.
О1: Внутренние точки области определения функции, в которых её
производная равна нулю или не существует называются критическими
точками.
Выведем алгоритм нахождения критических точек функции:
1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции.
3. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Примеры: Найти критические точки функций.
1) f (х) = 2х2 – 4х + 5
1. Д(f ) = R
2. f ′ (х) = (2х2 − 4х + 5)′ = 4х – 4
Д(f ′ ) = R
3. 4х – 4 = 0
4х = 4
х=1
Ответ: 1
2) у = 2х3 – 15х2 + 36х – 18
1. Д(у) = R
2. у′ = (2х3 − 15х2 + 36х − 18)′ = 6х2 – 30х + 36
3. 6х2 – 30х + 36 = 0
Д(f ′ ) = R
х2 – 5х + 6 = 0
Д = 25 – 4·1·6 = 25 – 24 = 1
х1 =
5+1
х2 =
2
х1 = 3
5−1
2
х2 = 2
Ответ: 2;3
3) у = √х
1. Д(у ) = [0; +∞)
′
2. у′ = (√х) =
3.
1
2√х
1
2√х
≠0
В точке х = 0 производная не существует, но х = 0 не внутренняя точка
области определения функции.
Ответ: критических точек нет.
Максимумы и минимумы функции.
О1 : Точка х0 называется точкой минимума функции f , если для всех х из
некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f (х) ≥ f (х0)
О2 : Точка х0 называется точкой максимума функции f , если для всех х из
некоторой окрестности х0 выполнено неравенство f (х) ≤ f (х0)
у
х1
х2
х3
х4
х5
х6
х
рис. 1
х1 ; х2 ; х3 - точки максимума
х2 ; х4 ; х6 – точки минимума
О3: Точки максимума и минимума называют точками экстремума.
О4: Значения функции в этих точках называют соответственно максимумами
и минимумами или экстремумами функции.
Точки максимума обозначаются Хmax , точки минимума Хmin .
Значения функции в этих точках обозначаются соответственно Уmax и Уmin .
Выясним связь между производной функции и точками максимума и
минимума.
Построим эскиз графика функции, у которой Хmax = 2 ; Хmin = 4
у
2
4
х
Рис. 2
Проведём касательные к графику функции в точках максимума и
минимума.
Они параллельны оси абсцисс. То есть угол, который образует с осью Ох
равен 0 и tg 0 = 0 .
А это значит, что производная в этих точках равна 0.
В 17 веке французский математик Пьер Ферма сформулировал и доказал
утверждение, которое выражает собой необходимый признак экстремума:
Если точка Х0 является точкой экстремума и в ней существует
производная, то она равна нулю.
Этот признак необходимый, но не достаточный.
Например, для функции у = х3 производная у′ = 3х2 в точке Х0 = 0 равна
нулю, но экстремума в этой точке нет.
у
у = х3
1
-1
х
1
-1
Рис. 3
Выясним, какие условия являются достаточными для того, чтобы в точке
Х0 был максимум или минимум.
Рассмотрим график на рис. 1.
В.Что можно сказать о поведении функции слева от точки максимума?
О. Она возрастает, а значит её производная f ′ (х) > 0 .
В. Что можно сказать о поведении функции справа от точки максимума?
О. Она убывает, а значит её производная f ′ (х) < 0 .
То есть можно сделать вывод, что при переходе через точку максимума
производная меняет знак с „+” на „-” .
В этом заключается признак максимума:
Если в точке Х0 производная меняет знак с плюса на минус, то Х0 есть
точка максимума.
Аналогично, слева от точки минимума функция убывает, справа – возрастает.
А это значит, что производная меняет знак с „-” на „+” .
В этом состоит признак минимума:
Если в точке Х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то Х0 есть
точка минимума.
Выведем алгоритм исследования функции на экстремум:
1) Найти область определения функции.
2) Найти производную функции.
3) Найти критические точки функции.
4) Отметить на координатной прямой критические точки и область
определения функции и определить знаки производной на каждом из
промежутков.
5) Сделать вывод в соответствии с признаками максимума и минимума.
Примеры:
Найти экстремумы функции:
2
1) f (х) = х3 – х2 – 4х + 1
3
1. Д(f ) = R
2
2. f ′ (х) = ( х3 – х2 – 4х + 1)′ =2х2 – 2х – 4;
3
3. 2х2 – 2х – 4 = 0
х2 – х – 2 = 0
Д(f ′ ) = R
Д = 1 – 4∙1∙(-2) = 9
х1 =
1+3
х2 =
2
х1 = 2
1−3
2
х2 = - 1
4.
f′′
+
max
-
min
+
х
f
-1
5.
2
Хmax = - 1 ,
Хmin = 2
2
2
1
3
3
3
Уmax = у(-1) = ∙ (- 1)3 – ( - 1)2 - 4∙ (−1) + 1 = - + 4 = 3
2
1
2
3
3
3
Уmin = у(2) = ∙ (2)3 – ( 2)2 - 4∙ (2) + 1 = - 11 + 5 = - 5
Ответ: Хmax = - 1 , Уmax = 3
Хmin = 2 , Уmin = - 5
1
3
2
3
1
2) у = х4 + х3 + х2 + 4
4
1. Д(у) = R
1
2. у′ = ( х4 + х3 + х2 + 4)′ = х3 – 3х2 + 2х
4
3. х3 – 3х2 + 2х = 0
Д(f ′ ) = R
х(х2 + 3х + 2) = 0
х = 0 или х2 + 3х + 2 = 0
х1 =
−3+1
2
х1 = - 1
х2 =
−3−1
2
х2 = - 2
4.
f′′
-
min
+
max -
min
+
х
f
-2
-1
0
5. Хmax = - 1
1
2
1
1
4
3
4
4
1
2
1
4
3
4
Уmax = у(-1) = ∙ (- 1)4 + ( - 1)3 + (−1)2 + 4 = - + 4 = - 1 + 1 + 4 = 4
Хmin = - 2
Уmin = у(- 2) = ∙ (- 2)4 + ( - 2)3 + (−2)2 + 4 = - + 4 = ∙ 16 − 8 + 4 + 4 = 4
Хmin = 0
Уmin = у(0) = 4
Ответ: Хmax = - 1 ; Уmax = у(-1) = 4
1
4
Хmin = - 2 ; Уmin = у(- 2) = 4
Хmin = 0 ;
Уmin = у(0) = 4
5. Закрепление:
№ 290 (а).
f (х) = 5 + 12х - х3
1. Д(f ) = R
2. f ′ (х) = (5 + 12х − х3 )′ =12 - 3х2
Д(f ′ ) = R
;
3. 12 - 3х2 = 0
- 3х2 = - 12
х2 = 4
х 1 = 2 ; х2 = - 2
4.
f′′
-
min
-2
f
5.
+
max
2
-
х
Хmax = 2
Уmax = у(2) = 5 + 12∙2 - 23 = 21
Хmin = - 2
Уmin = у(- 2) = 5 + 12∙ (−2) –(- 2)3 = - 11
Ответ :Хmax = 2 ; Уmax = у(2) = 21
Хmin = - 2 ; Уmin = у(- 2) = - 11
6. Домашнее задание: О.К.; п 23; № 290(б – г)
7. Лабиринт № 1. Найти точки минимума.
№
1
2
3
4
5
6
Пример
f ( х) = 2х + 4х + 3
f ( х) = 2х2 - 20х + 1
f ( х) = 3х3 - 9х2 + 2
f ( х) = х3 - 3х
f ( х) = - х3 + 3х2 + 2
f ( х) = 3х2 + 36х - 1
2
Код
0
-6
-1
5
2
1
Лабиринт № 2. Найти точки максимума.
№
1
2
3
4
Пример
f ( х) = х - 2х2 + 3
f ( х) = - х4 - 8х2 - 5
f ( х) = 7х2 – 56х + 8
5
f ( х) = х3 + х2 - 2х
4
2
8. Дополнительное задание:
стр.45 № 22 – 26
стр.47 № 54; № 50
стр. 46 № 41; № 43; № 44; № 46.
9. Итог.
Код
нет
-2
0
-2и2
1) Итог урока подводит один из студентов, другие дополняют.
2) Задача.
Определяя точки максимума студент нашёл те значения аргумента,
при которых производная равна нулю. Эти точки он назвал точками
максимума.
В. Правильно ли сделал студент?
О. Нет, надо ещё проверить знаки.
3. Оценки.
Литература:
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа 10-11 класс.-М., 2009.