Legan_Barnaul

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И
МОДИФИЦИРОВАННОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО КРИТЕРИЯ РАЗРУШЕНИЯ
ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
М.А. Леган
Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева
630090, Новосибирск, e-mail: legan@hydro.nsc.ru
Введение. При использовании того или иного классического локального критерия
прочности обычно предполагается, что разрушение начинается при достижении максимальным эквивалентным напряжением предельного значения хотя бы в одной точке. Однако локальные критерии прочности сформулированы на основании экспериментальных
исследований при различных видах однородного напряженного состояния. В условиях
концентрации напряжений и резкой неравномерности их распределения локальные критерии дают заниженные оценки предельных нагрузок по сравнению с экспериментальными данными. В этом случае целесообразно применять нелокальные условия прочности, среди которых наиболее широко известен интегральный критерий разрушения типа
Нейбера – Новожилова или критерий средних напряжений. По сравнению с локальными
этот критерий дает более высокие оценки предельных нагрузок. Однако и с его помощью
не всегда удается хорошо описать экспериментальные данные по разрушению образцов с
концентраторами напряжений [1]. Поэтому предлагается модификация критерия средних
напряжений с введением дополнительного параметра. Представляемый доклад посвящен
сравнению локальных и интегральных условий начала разрушения при неоднородном
напряженном состоянии, как между собой, так и с экспериментальными данными по разрушению плоских образцов с концентраторами напряжений [1–5]. Так как некоторые
экспериментальные результаты были получены на образцах, ширина которых сопоставима с размерами концентраторов, то для определения напряженно-деформированного
состояния (НДС) таких образцов необходимо применение того или иного численного
метода. Для определения НДС в плоских задачах о концентрации напряжений был выбран метод граничных элементов, так как он нуждается в построении только граничноэлементного контура и не требует дискретизации области с резким изменением НДС.
Двухпараметрический интегральный критерий разрушения. В известном интегральном критерии типа Нейбера–Новожилова с пределом прочности материала  в
сравнивается не максимальное значение первого главного напряжения 1 , а среднее
нормальное напряжение
 
1
L
a  L

 dx
(1)
a
на площадке размером L , включающей бесконечно малую площадку 1 в рассматриваемой точке тела x  a , где обе площадки имеют общую нормаль  . Напряжение вдоль
другой стороны площадки предполагается постоянным. В момент начала разрушения
  в .

Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проекта СО РАН, УрО РАН и ДВО РАН
№ 119 и проекта РФФИ № 11-01-00522.
 Леган М.А., 2011
(2)
Если размер площадки осреднения L находится из уравнения
L 
2 2
KI c 2в ,

(3)
где KI c – критический коэффициент интенсивности напряжений, то при использовании
асимптотических выражений для напряжений в окрестности вершин трещин интегральный критерий дает те же самые результаты, что и условие нормального отрыва в линейной механике разрушения.
Таким образом, интегральный критерий типа Нейбера–Новожилова содержит два
параметра материала: предел прочности  в и характерный размер L , который находится по стандартным характеристикам материала  в и KI c . Параметр L равен известному в механике разрушения критическому размеру дефекта в виде трещины Гриффитса,
то есть такому максимально допустимому размеру дефекта, при котором еще не происходит снижение прочности материала при одноосном растяжении. Следовательно, параметр L характеризует неоднородность материала, связанную с наличием дефектов.
Однако с помощью двухпараметрического интегрального критерия не всегда удается хорошо описать экспериментальные данные по разрушению образцов с концентраторами напряжений [1]. Кроме того, такой критерий не дает значения критических размеров дефектов типа отверстий и пор. Поэтому предлагается формулировка трёхпараметрического интегрального критерия разрушения. Наличие дополнительного третьего параметра позволит лучше описать имеющиеся экспериментальные данные по разрушению
образцов с концентраторами напряжений и, что особенно важно, получить оценки критических размеров дефектов не только в виде трещин, но и в виде отверстий и пор.
Формулировка трёхпараметрического интегрального критерия. Для определения разрушающей нагрузки сравнивать с пределом прочности материала  в нужно не
среднее нормальное напряжение  , а эффективное напряжения e , которое вычисляется так
e  max

1   
2  1  max



2
,
(4)
где  — безразмерный параметр  0    1 , который можно рассматривать как параметр аппроксимации.
Разрушение в окрестности рассматриваемой точки начинается при достижении эффективным напряжением предела прочности материала
e  в
(5)
и первоначально распространяется по площадке осреднения.
При   1 критерий (4)–(5) совпадает с известным двухпараметрическим критерием
(1)–(2). Однако при других значениях  с помощью (4)–(5) можно получить лучшее по
сравнению с (1)–(2) соответствие экспериментальным данным по разрушению образцов с
концентраторами напряжений. Например, при   0,15 критерий (4)–(5) хорошо описывает экспериментальные данные [1] по разрушению растягиваемых пластин из полиметилметакрилата (ПММА) с центральным круглым отверстием. Ширина пластин составляла 30 мм, а диаметр отверстия был 0,6; 1,2; 2; 3 и 6 мм. Для определения напряженного
состояния в растягиваемых пластинах использовались решение задачи Кирша и метод
граничных элементов в варианте метода фиктивных нагрузок. Показано, насколько отличаются численные результаты для конечных пластин с отверстиями различного диаметра
от теоретического коэффициента концентрации напряжений для бесконечной пластины.
Проведена оценка точности численного алгоритма, основанного на использовании интегральных критериев разрушения и метода фиктивных нагрузок.
Предлагаемый критерий (4)–(5) применен также для описания экспериментальных
результатов [5] по разрушению при растяжении пластин из пенополистирола марки ПСБ25 с центральными отверстиями различной формы. Параметр L  17,321мм вычислен
по формуле (3) по значениям в  105,21кПа и KIc  17,354 кПа  м1/2 для этого материала. Эксперименты были проведены на плоских образцах с круглыми и эллиптическими
отверстиями, а также криволинейными отверстиями типа квадрата с закругленными углами. Большая ось эллиптических отверстий имела размер 200 или 400 мм и была наклонена под различными углами к направлению растяжения. Ширина пластин составляла
1 м, то есть была сопоставима с размерами отверстий. Поэтому для описания указанных
экспериментальных результатов потребовалось применить численный алгоритм совместного использования метода фиктивных нагрузок и интегральных критериев разрушения.
При 0   1 с помощью критерия (4)–(5) можно получить оценки критических
размеров дефектов в виде отверстий и пор. Согласно экспериментальным данным [2],
полученным при растяжении пластин с центральным круглым отверстием, критический
диаметр отверстия d оказался в интервале от 0,7 мм до 0,95 мм. Образцы были изготовлены из серого чугуна, прошедшего термообработку. Заготовки для образцов были получены в результате двух плавок. Образцы из двух различных плавок имели одинаковый
предел прочности в  169 МПа. Однако, критический коэффициент интенсивности
напряжений K Ic в [2] не определен. Поэтому значение K Ic взято из [6], где K Ic определен для 4-х видов серого чугуна. Для чугуна, прошедшего аналогичную [2] термообработку, значение KIc  11,6 МПа  м1/2 . Тогда по формуле (3) вычислим параметр
L  3мм . При
  0,77 критерий (4)–(5) дает значение критического диаметра
d  0,8 мм и достаточно хорошо описывает экспериментальные данные при других
значениях диаметра.
Заключение. Для элементов конструкций с концентраторами напряжений предлагаемый трёхпараметрический интегральный критерий разрушения дает более высокие и
близкие к экспериментальным данным значения предельных нагрузок по сравнению с
известными локальными условиями прочности и двухпараметрическим критерием средних напряжений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Li. J and Zhang X.B. A criterion study for non-singular stress concentrations with size effect // Strength, Fracture
and Complexity. 2005. Vol. 3. Numbers 2–4. P. 205–215.
2. Ярёма С.Я., Ратыч Л.В. // Вопросы механики реального твердого тела. — Киев: Наук. думка, 1964. Вып. 3.
С. 33–37.
3. Wu H.C., Yao R.F., Yip M.C. Experimental Investigation of the Angled Elliptic Notch Problem in Tension // J. of
Applied Mechanics, Trans. ASME. Ser. E. 1977. Vol. 44. No. 3. P. 455-461.
4. Williams J.G., Ewing P.D. Fracture under Complex Stress – The Angled Crack Problem // International Journal of
Fracture. 1982. Vol. 8. P. 441—446.
5. Legan M.A., Kolodezev V.E. and Sheremet A.S. Quasi-brittle fracture of foam-polystyrene plates with hole //
Strength, Fracture and Complexity. 2005. Vol. 3. Numbers 2-4. – P. 217-225.
6. Глоувер А., Поллард Г. // Вязкость разрушения высокопрочных материалов. Пер. с англ. Под ред.
М.Л. Бернштейна. — М.: Металлургия, 1973. С. 152–161.