О классификации кривых второго порядка

О классификации кривых второго порядка
Пусть в декартовой системе координат Oxy кривая второго порядка Ф задаётся уравнением
(1)
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0
Чтобы выяснить, что это за кривая, мы подберём новую декартову систему координат,
в которой Ф задаётся таким простым уравнением, что её сразу можно опознать.
Выбор нужной декартовой системы координат осуществляется в два шага. На первом
шаге система координат Oxy поворачивается на подходящий угол  вокруг точки O . Получается новая декартова система координат Ox / y / , в которых уравнение (1) упрощается. На
втором шаге эта новая система координат с помощью подходящего параллельного переноса
переходит в декартову систему координат O // x // y // , в которой кривая Ф задаётся простейшим уравнением, по которому её можно опознать.
Первый шаг. Этот шаг необходим в том случае, когда в (1) B  0 . Повернём декар
товую систему координат Oxy на угол  , 0    , вокруг точки O . Получится новая си2
/ /
стема координат Ox y , в которой Ф задаётся уравнением
(2)
A/ x / 2  B / x / y /  C / y / 2  D / x /  E / y /  F /  0 .
/
Угол  надо подобрать так, чтобы B  0 . В этом цель первого шага.
Старые и новые координаты точек плоскости связаны между собой формулами:
 x  cos   x /  sin   y /
(3)

 y  sin   x /  cos   y /
Уравнение (2) получается из уравнения (1), если в (1) вместо x и y подставить выражения по формулам (3). Мы проследим только за коэффициентом B / . Остальные коэффициенты уравнения (2) нас на I шаге не интересуют.
Произведение x / y / встретится нам три раза – при рассмотрении Ax 2 , Bxy и Cy 2 .
Посмотрим, с какими коэффициентами.
Ax 2 : A(2 cos  sin  ) x / y /   A sin 2  x / y /
Bxy : B (cos 2   sin 2  ) x / y /  B cos 2  x / y /
Cy 2 : C (2 cos  sin  ) x / y /  C sin 2  x / y /
Напомним, что
(2 sin  cos   sin 2 , cos 2   sin 2   cos 2 ) .
Собирая эти слагаемые и вынося x / y / за скобку, получим, что
B /  (C  A) sin 2  B cos 2 .
Посмотрим, при каком  коэффициент B /  0 .
(C  A) sin 2  B cos 2  0 ,
AC
ctg 2 
(4)
B
Итак, угол  должен удовлетворять условию (4). Так как 0  2   , то такой угол
всегда найдётся.
Заметим, что, согласно формулам (3), нас интересует не сам угол  , а соответствую
щие ему значения cos и sin  . Так как 0    , то cos  0 и sin   0 .
2
По формулам школьной тригонометрии:
1
cos 
1  cos 2
1  cos 2
, sin  
,
2
2
ctg 2 2
.
1  ctg 2 2
В последней формуле знак берётся такой же, как у ctg 2 (почему?).
Итак, с помощью (4) формулы (3) можно выписать явно, после чего с их помощью из
уравнения (1) получается уравнение (2), в котором B /  0 , т. е. отсутствует второе слагаемое. Это и есть цель первого шага.
Второй шаг. После поворота системы координат Oxy на нужный угол  вокруг точки O мы получили новую декартову систему координат Ox / y / , в которой кривая Ф задаётся
уравнением
(5)
A/ x / 2  C / y / 2  D / x /  E / y /  F /  0 .
Покажем, что уравнение кривой Ф можно ещё больше упростить, если перейти к новой декартовой системе координат O // x // y // с помощью подходящего параллельного переноса системы координат Ox / y / . Упрощение будет столь значительным, что кривую Ф можно
будет без труда опознать. В этом – цель второго шага.
Оба коэффициента A / и C / в уравнении (5) не могут одновременно быть нулевыми.
Но один из них может равняться нулю.
Рассмотрим сначала случай, когда A /  0 и C /  0 .
Перепишем уравнение (5) следующим образом:
( A / x / 2  D / x / )  (C / y / 2  E / y / )  F /  0,
cos 2  


D/ 
E/ 
A /  x / 2  / x /   C /  y / 2  / y /   F /  0.
A
C




Выделим полные квадраты:

D/
D/2  D/2
E/ / E/2  E/2
/  /2



A /  x / 2  2 / x / 


C
y

2
y 
 F /  0,
/2 
/
/
/2 
/

2A
4A  4A
2C
4C  4C


 / D/
A  x 
2 A/

/
2


E/
  C /  y / 
2C /


2
  / D/2 E /2
   F 

4 A / 4C /
 

  0.

Положим
 //
D/
/
x

x

,

2 A/
(6)

/
 y //  y /  E .

2C /
Формулы (6) можно рассматривать, как формулы преобразования координат точек
плоскости при параллельном переносе системы координат Ox / y / на вектор
  D/
E/ 
 (почему?). В новой декартовой системе координат O // x // y // кривая Ф
a    / , 
/ 
2C 
 2A
задаётся простым уравнением
(7)
A / x // 2  C / y // 2  F //  0 ,
D/2 E /2
.

4 A / 4C /
Будем считать, что A /  0 . В противоположном случае обе части уравнения (7)
можно умножить на -1.
где F //  F / 
2
Пусть сначала F //  0 . Тип кривой Ф будет зависеть от знаков коэффициентов C / и
F // в уравнении (7). Результаты представим в виде таблицы.
Знак
Знак
Знак
Тип кривой Ф
/
/
//
C
F
A
+
+
+
Пустое множество
+
+
–
Эллипс
+
–
–
Гипербола
+
–
+
Гипербола
//
Пусть теперь F  0 . Тогда уравнение (7) принимает вид
(8)
A / x // 2  C / y // 2  0 .
/
Тип кривой Ф зависит от знака коэффициента C в уравнении (8).
Знак
Знак
Тип кривой Ф
/
/
C
A
+
+
Точка
+
–
Пара не параллельных кривых
Рассмотрим случай, когда один из коэффициентов A / , C / равен нулю. Для определённости, пусть A /  0 , C /  0 .
Уравнение (5) принимает вид
(9)
A/ x / 2  D / x /  E / y /  F /  0.
/
Выделяя полный квадрат из слагаемых, содержащих x , получим:

D/
D/2  D/2

A /  x / 2  2 / x / 
 E / y /  F /  0,
/2 
/
2A
4A  4A


D/
A  x / 
2 A/

/
2

  E / y /  F //  0,

(10)
D/2
где F  F 
.
4A /
Пусть сначала E /  0 .
Положим
//
/
 //
D/
/
x

x

,

(11)
2 A/

 y //  y / .

Формулы (11) можно рассматривать как формулы преобразования координат точек

  D/
 .
плоскости при параллельном переносе системы координат Ox / y / на вектор a   
,
0
/
2
A


В новой декартовой системе координат O // x // y // кривая Ф задаётся простым уравнением
(12)
A / x // 2  F //  0 .
/
Будем считать, что A  0 .
Если F //  0 , то Ф задаётся уравнением
x //  0,
т.е. Ф – прямая.
Если F //  0 , то Ф задаётся уравнением
3
x //   
F //
,
A/
т.е. Ф – пара параллельных прямых.
Если F //  0 , то уравнение (12) не имеет решений, т.е. Ф – пустое множество.
Пусть теперь в уравнении (10) E /  0 . Перепишем (10) в таком виде:

D/
A  x / 
2 A/

/
2


F // 
  E /  y /  /   0.
E 


(13)
Положим
 //
D/
/
x

x

,

2 A/
(14)

//
 y //  y /  F .

E/
Формулы (14) можно рассматривать как формулы преобразования координат точек
плоскости при параллельном переносе системы координат Ox / y / на вектор
  D/
F // 
 . В новой декартовой системе координат O // x // y // кривая Ф задаётся проa   
,

/
/ 
2
A
E


стым уравнением
(15)
A / x // 2  E / y //  0 .
Переписав его в виде
E / //
// 2
x  / y ,
A
приходим к выводу, что Ф – парабола.
Таким образом, в результате второго шага кривую Ф во всех случаях удалось опознать. При этом оказалось, что любая кривая второго порядка есть либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо пара не параллельных прямых, либо пара параллельных прямых,
либо прямая, либо точка, либо пустое множество.
Доцент М.В. Милованов
4