Оценка максимального приращения к массе полезной нагрузки

ЗАДАЧА ВЫВОДА РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ НА
ОРБИТУ В УСЛОВИЯХ СЛУЧАЙНЫХ
ВОЗМУЩЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ1
Список авторов с электронными адресами, должностями/учебными
статусами и организациями, например:
Козьмин И.В., м.н.с. отдела прикладных проблем управления ИММ УрО
РАН, ikozmin@imm.uran.ru
Аннотация
Рассматривается задача максимизации массы полезной
нагрузки, выводимой ракетой-носителем на заданную орбиту.
Исследуется ситуация, когда параметры нелинейной
математической модели управляемого движения носителя
задаются с помощью нормально распределенных случайных
величин. В ходе решения задачи был проведен объёмный
численный эксперимент на многопроцессорном вычислителе
кластерного типа «Уран». На основе данных полученных в
результате проведения эксперимента была получена оценка
максимальной массы полезной нагрузки, которая может быть
выведена носителем на заданную орбиту с вероятностью не
меньшей заданного порога.
Введение
С 2003 года Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского
УрО РАН (ИММ) активно сотрудничает с НПО автоматики им. акад.
Н.А.Семихатова (г.Екатеринбург) (НПОА). В рамках этого сотрудничества
решается задача оптимального выведения ракеты-носителя (РН) на
заданную околоземную эллиптическую орбиту в условиях случайных
возмущений параметров. Такая задача исследуется на базе математической
модели управляемого движения РН, которая описывается нелинейной
динамической системой. В качестве управления используются угловые
скорости изменения углов тангажа и рысканья. Эти углы определяют
угловую ориентацию строительной оси РН.
1
Работа выполнена в рамках программ фундаментальных исследований
Президиума РАН «Динамические системы и теория управления» при поддержке
УрО РАН (проект 12-П-1-1022), «Информационные, управляющие и
интеллектуальные технологии и системы» (проект 12-П-1-1023) и
интеграционного проекта УрО и СО РАН (проект 12-С-1-1017).
В работе рассматривается ситуация, когда параметры РН и
термодинамические
характеристики
атмосферы
математически
описываются нормально-распределенными случайными величинами с
известными средними E и среднеквадратическими отклонениями  .
Задача заключается в построении оценки максимальной массы полезной
нагрузки, которая может быть выведена носителем на заданную орбиту с
вероятностью не меньшей заданного порога  * .
1. Математическая модель управляемого движения
ракеты-носителя
Уравнения движения центра масс РН в инерциальной стартовой
системе координат от момента старта
ts
до момента
t f выхода на
заданную орбиту [1] могут быть записаны в следующем компактном виде:





x  v, v  W t , x, v, m, , , m    t ,   u1 ,   u 2 ,
xt s   x s , vt s   v s , mt s   ms ,  t s   s ,  t s    s

t  ts ,t f

где x  R , v  R – координаты и скорости центра масс РН; m – масса
РН;  t   0 – расхода массы; W t , x, v, m,, – ускорение (задается
суммой составляющих, определяемых реактивными, аэродинамическими и
3
3

гравитационными силами);
начала движения РН;

 , – углы тангажа и рысканья; t s – момент
t f – момент выхода РН на заданную орбиту.
В качестве управляющих параметров выступают скорости u1 и u2
изменения углов
u1 t   u
 и
max
1
,
. Удовлетворяют ограничениям


u2 t   u2max , t  t s , t f .
Орбита, на которую выводится РН, определяется следующими
параметрами (параметры оскулирующей орбиты [1]): наклонение
плоскости орбиты
орбиты
i , долгота восходящего узла  , минимальная высота
hmin , максимальная высота орбиты hmax , аргумент перигея  .
В рассматриваемой задаче момент времени
заданную орбиту не фиксирован.
t f выхода РН на
Вывод максимальной массы полезной нагрузки на
заданную орбиту
Известно [2], что задача максимизации выводимой на заданную
орбиту массы M полезной нагрузки может быть сведена к задаче
минимизации момента
t f выхода РН на заданную орбиту с фазовыми
ограничениями, то есть задаче
терминальными ограничениями:
оптимального
быстродействия
с
min{ J u u U }
при ограничениях
(t f )      .
Здесь
J u   t f ; U  {u  R 2 u1  u1max , u 2  u 2max };
T
u  u1 , u 2   R 2 , u1  , u 2   ;
(t f )  (i(t f ), (t f ), hmax (t f ), hmin (t f ), (t f )) T  R 5 ;
  (i , , hmax , hmin ,  )T ;    ( ,   ,  hmax ,  hmin ,  ) T ;
где
i ,  , hmin ,
hmax ,

– заданные значения параметров орбиты,
i  i  i ,       , hmin  hmin   hmin ,
    
hm a 
x hm
  hm a , x
a x
- допустимые отклонения от этих параметров.
В исследуемой задаче могут быть рассмотрены две группы
параметров. Параметры атмосферы (термодинамические характеристики
атмосферы) – температура, плотность, давление воздуха; составляющие
скорости систематического ветра. И параметры РН: массы его основных
конструктивных блоков (сухие массы трёх ступеней); массы запасов
топлива на каждой ступени; расход топлива на каждой ступени. В данной
работе исследовались только случайные возмущения параметров РН.
Содержательно постановка задачи может быть сформулирована
следующим образом. На заданную орбиту в момент
t f выводится только
последняя ступень РН, на которой находится полезная нагрузка и остатки
топлива этой ступени. За счёт уменьшения запасов топлива на последней
ступени можно увеличить массу выводимой на орбиту полезной нагрузки.
*
Задача заключается в том, что для заданного порога вероятности P
выхода РН на орбиту требуется определить верхнюю оценку
дополнительной массы, на которую может быть увеличена масса
выводимой полезной нагрузки.
Оценка максимального приращения к массе полезной
нагрузки, выводимой на орбиту с заданной
вероятностью
Обозначим через M математическое ожидание массы полезной
нагрузки и через M - искомую добавку к M . Остальные параметры
РН, перечисленные выше, будем рассматривать как нормально
распределенные случайные величины с известными математическими
ожиданиями и СКО. Обозначим сухую массу третьей ступени через M 3 .
Тогда выводимая на орбиту за время
t f масса РН mРН  mРН (t f ) также
является случайной величиной, которая не может быть меньше суммы
сухой массы третьей ступени M 3 и массы полезной нагрузки M  M :
mРн  M 3  M  M .
Отсюда для приращения M к массе M имеем оценку сверху:
M  mРн  M 3  M .
P(m)  P{mРН  m} - функция распределения случайной
величины mРн . Поскольку, чем больше масса РН, тем меньше вероятность
Пусть
P вывода её на орбиту, то разумно положить P  1  P(m) . Случайная
величина M 3 распределена по известному нормальному закону, поэтому
задача определения максимальной полезной нагрузки при заданном уровне
P* вероятности вывода P её на орбиту сводится к вычислению * -
m*  min{ m : P(m)  *}
квантили
распределения
P (m )
для
  1  P . Искомая оценка максимальной добавки M * будет равна:
*
*
M *  m*  (M3 ) P*  M .
Здесь
(M 3 ) P* - P* -квантиль нормального распределения случайной
величины M 3 , вычисляемый известным образом [3].
Рассмотрим задачу об оценке
* -квантиля m* (*  1  P* )
неизвестного распределения P (m ) . В данной работе эта задача решается с
помощью статистической оценки
m* , полученной на основе объёмного
вычислительного эксперимента с использованием реальных данных.
Эксперимент проводился на многопроцессорном вычислителе кластерного
типа «Уран».
Оценка
m* для *  0,003 проводилась на выборке
объёмом около 440000 с использованием алгоритма стохастической
аппроксимации [3].
На основе проведенного эксперимента было получено приближенное
значение величины M * максимального приращения к массе M  5881
кг полезной нагрузки, выводимой на заданную орбиту с вероятностью не
ниже
P*  0,997 :
M *  318,54 кг.
Заключение
Рассмотренная в работе методика была реализована в рамках
крупномасштабного численного эксперимента с использованием реальных
данных. Результаты численного моделирования показали, что учёт
случайных возмущений параметров РН позволяет получить значимую
оценку для максимального приращения к массе полезной нагрузки,
выводимой на орбиту с вероятностью не ниже заданной. Планируется
продолжить исследование влияния параметров атмосферы на
максимальное приращение к массе полезной нагрузки, выводимой на
орбиту с вероятностью не ниже заданной.
Литература
1.
2.
Охоцимский Д.Е, Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического
полета. М.: Наука, 1990. 448 с.
Думшева Т.Д., Костоусов В.Б., Костоусова Е.К., Починский В.И.
Исследование задачи оптимального вывода полезной нагрузки на
заданную эллиптическую орбиту// Труды Института математики и
3.
механики. УрО РАН. 2010. Т.16. №5. C.57-65.
Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с
вероятностными критериями. М.: Физматлит, 2009.