Решения заданий по математике

Решения заданий по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 9 классов 2011-12 уч. год
I тур.
Задача 1. Парень заменил каждую букву в своём имени её номером в
русском алфавите. Получилось число 103115. Как его зовут?
Решение. Первая буква зашифрована числом 10, так как вторая не может
иметь номер, начинающийся 0. Числу 10 соответствует буква И, числу 3 –
буква В, числу 1 – буква А, числу 15 – буква Н. Парня зовут Иван.
Задача 2. Найти координаты вершины графика квадратичной функции,
если сумма корней соответствующего ей квадратного трёхчлена равна 5,
сумма квадратов корней равна 13, а сумма коэффициентов трёхчлена равна
– 2.
Решение. Уравнение квадратичной функции имеет вид: y  ax  bx  c .
b
По условию задачи x1  x 2  5  x1  x 2    5 .
a
2
c
b
x12  x 22  13  x12  x 22     2  13, a  b  c  2 .
a
a
Решая полученную систему уравнений, находим, что а=–1, b=5, с=–6.
2
Значит, уравнение квадратичной функции имеет вид: y   x  5x  6 .
Вершина графика находится в точке (2,5; 0,25).
2
Задача 3. Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство
x  y  10 ?
Решение.
y
10
-10
10
x
-10
Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству, и подсчитаем количество точек с целыми координатами.
Таких точек 117.
Задача 4. Катер прошёл по течению реки 90 км за некоторое время. За то
же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время
проплывёт плот?
Решение.
Пусть скорость катера в стоячей воде х км/ч, а скорость течения реки у
90
70
. Отсюда находим 9x  y   7x  y   x  8 y .

x y x y
90 10
Значит, время движения плота равно
 . За это время плот проплывёт
9y
y
км/ч, тогда
10км.
Задача 5. Прямая, пересекающая две стороны параллелограмма, делит его
на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Стороны
параллелограмма равны a и b, a < b. Чему равна длина отрезка прямой внутри
параллелограмма?
Решение.
B
K
C
A
L
D
Обозначим длины отрезков КL=d, KC=x, LD=y, тогда BK=b-x, AL=b-y.
Так как если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин
противоположных сторон равны, имеем:
a+d=b-x+b-y,
a+d=x+y.
Сложив равенства, находим, d= b- a.
Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 10 классов 2011-12 уч. год
I тур.
Задача 1. Найдите все такие двузначные натуральные числа, при
перестановке цифр в которых это число увеличивается на 75%.
Решение.
Пусть первая цифра числа х, а вторая ─ у, тогда двузначное число
можно записать в виде 10 х+ у, а число, которое получается при
перестановке цифр можно записать в виде 10 у + х. При этом х и у могут
принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
По условию задачи 10 у + х=1,75(10 х+ у).
Отсюда получаем, у=2 х.
Перебирая возможные значения переменных, получаем искомые
натуральные числа: 12, 24, 36, 48.
Задача 2. Найти наименьшее значение выражения 4sin α – 5cos2 α.
Решение.
Введем переменную t=sinα, t, где t   1; 1 , и рассмотрим функцию
f t   5t 2  4t  5 , определённую для значений t  1; 1 . Наименьшее значение
этой функции совпадает с наименьшим значением данного
тригонометрического выражения.
4
 4
t в   , f     5,8; f  1  4; f 1  4.
10
 10 
Таким образом, наименьшее значение выражения равно -5,8.
Задача 3. Решить неравенство x  2  x  1  2  x .
Решение.
x  2

Найдём множество допустимых значений переменной:  x  1 .
x  2

Оно состоит из одного решения х=2. Подстановкой проверяем, что это
значение является решением неравенства. Ответ: х=2.
Задача 4. Катер прошёл по течению реки 90 км за некоторое время. За то
же время он прошёл бы против течения 70 км. Какое расстояние за это время
проплывёт плот?
Решение.
Пусть скорость катера в стоячей воде х км/ч, а скорость течения реки у
90
70
. Отсюда находим 9x  y   7x  y   x  8 y .

x y x y
90 10
Значит, время движения плота равно
 . За это время плот проплывёт
9y
y
км/ч, тогда
10км.
Задача 5. Найти в квадратных единицах площадь земельного участка
ABCDEF с вершинами в точках A(1;2), B(-2;7), C(9;6), D(11;1), E(9;-8),
F(-2;-3).
y
В
С
A
D
X
F
E
Решение.
Искомую площадь можно найти как сумму площадей треугольника CDE и
трапеции BCEF из которой вычитается площадь треугольника BAF:
S=14+132-15=131.
Задания по математике
для проведения олимпиады вузов Росрыболовства
среди учащихся 11 классов 2011-12 уч. год
I тур.
Задача 1. В период распродажи магазин продал товар со скидкой 10% по
сравнению с первоначально назначенной ценой и получил 8% прибыли.
Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин?
Решение.
Пусть первоначально назначенная цена товара х=у+z, где у – закупочная
стоимость товара, а z – прибыль, которую предполагал получить магазин.
По условию задачи 0,9(у+z)= у+0,08 у.
Откуда получаем, что z=0,2 у.
Следовательно, магазин планировал получить 20% прибыли.
1
Задача 2. Вычислить  
 81 
1 1 1
 1n
    n 
3 9 27
3
.
Решение.
Показатель степени представляет собой сумму бесконечно убывающей
1
3
1
3
геометрической прогрессии с первым членом b1   и знаменателем q   .
1
1

1
1 4
3
  , поэтому    3 .
Сумма такой прогрессии равна
1
4
 81 
1
3

Задача 3. При каких значениях параметра a функция у=2х3-ах2-ах+4
не имеет точек экстремумов?
Решение.
Область определения функции вся числовая ось  ;   .
2
Производная функции y   6 x  2ax  a ,её графиком является парабола
ветви которой направлены вверх. Функция не имеет точек экстремума,
если y   0 , то есть D  0 . Откуда a 2  6a  0 , или a   6; 0.
Задача 4. Найти в квадратных единицах площадь земельного участка
ABCDEF с вершинами в точках A(1;2), B(-2;7), C(9;6), D(11;1), E(9;-8),
F(-2;-3).
y
В
С
A
D
X
F
E
Искомую площадь можно найти как сумму площадей треугольника CDE и
трапеции BCEF из которой вычитается площадь треугольника BAF:
S=14+132-15=131.
Задача 5. Куб с ребром, длина которого равна 4 3 , пересечён плоскостью,
проходящей через середины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины.
Найти площадь сечения.
А
В
С
Решение. Сечением является правильный треугольник, длина стороны
которого равна 2 3 , а площадь равна 3 3 .