15. Решение. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

15. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
Область определения данного уравнения задается условием
При этом условии имеем:
откуда
или
Корни уравнения
не удовлетворяют условию
Из найденных решений промежутку
Ответ: а)
а из уравнения
получаем
принадлежат числа
б)
16. Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен
Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.
Решение.
редина ,
нованием.
Пусть
Пусть
— высота треугольника
тогда
— данная пирамида с вершиной
— ее высота, — сеУгол
— угол между боковой гранью пирамиды и ос-
Найдем площадь треугольника
двумя способами:
Значит,
Ребро
перпендикулярно плоскости
поэтому и
перпендикулярны, следовательно, плоскость
перпендикулярна ребру
Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника
Ответ:
17. Решите систему неравенств:
Решение.
Решим первое неравенство.
Решение первого неравенства:
Решим второе неравенство:
Получаем:
или
Решением системы является общая часть решений обоих неравенств:
или
Ответ:
18. Дан треугольник АВС, площадь которого равна 55. Точка Е на прямой АС выбрана так, что треугольник АВЕ ― равнобедренный с основанием АЕ и высотой BD. Найдите площадь треугольника
АВE, если известно, что
Решение.
и
Введем следующие обозначения:
.
,
,
.
1 случай (точка E лежит между точками A и С, см. рис. 1).
Треугольник АВЕ равнобедренный, поэтому
, а значит,
Углы ABE и CBD треугольников ABE и CBD равны, значит,
,
.
откуда
.
Поскольку
, получаем
,
откуда
,
значит,
.
2 случай (точка A лежит между точками E и С, см. рис. 2).
Аналогично случаю 1 находим
.
О т в е т : 30 или 66.
19. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую
сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил
долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение.
Пусть сумма кредита равна a, ежегодный платеж равен x рублей, а годовые составляют k %. Тогда 31
декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m = 1 + 0,01k. После первой выплаты сумма долга составит: a1 = am − x. После второй выплаты сумма долга составит:
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При a = 9 930 000 и k = 10, получаем: m = 1,1 и
О т в е т : 3 993 000 рублей.
Приведём другое решение.
Пусть — один из трёх разовых платежей. Тогда сумма долга после оплаты в первом году составит:
После внесения второго платежа сумма долга станет равной
Сумма долга после третьего платежа:
Третьим платежом Сергей должен погасить долг, то есть долг
станет равным нулю:
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Рассмотрим две функции:
и
Графиком функции
является полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0). лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении графиком
функции
является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная
проведённая из точки к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный
нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не имеет
общих точек с полуокружностью.
Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следова-
тельно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
чем у прямой
прямая, заданная уравнением
имеет угловой коэффициент больше,
и не больше, чем у прямой
и пересекает полуокружность в единственной точке.
Получаем, что при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
имеет общих точек с полуокружностью.
прямая не
Ответ:
21. Все члены конечной последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой
последовательности, начиная со второго, либо в 10 раз больше, либо в 10 раз меньше предыдущего.
Сумма всех членов последовательности равна 3024.
а) Может ли последовательность состоять из двух членов?
б) Может ли последовательность состоять из трёх членов?
в) Какое наибольшее количество членов может быть в последовательности?
Решение.
а) Если последовательность состоит из двух членов, и
(в произвольном порядке), то
Уравнение
не имеет решений в натуральных числах. Поэтому последовательность не может состоять из двух членов.
б) Последовательность может состоять из трёх членов: 252, 2520, 252.
в) Приведём пример последовательности из 549 членов:
равна
Сумма её членов
Допустим, что в последовательности более чем 549 членов. Разобьём первые 550 членов последовательности на 275 пар соседних членов: первый и второй, третий и четвёртый, пятый и шестой и т. д.
Сумма двух членов в каждой паре делится на 11 и поэтому не меньше 11. Значит, сумма всех членов
последовательности не меньше, чем
Получили противоречие.
О т в е т : а) нет, б) да, в) 549.