L12-3

Формулы Циолковского.
Решим уравнение Мещерского в простейшем случае отсутствия действия силы
тяжести и сопротивления воздуха на ракету.
Пусть в момент старта
t 0
в корпусе ракеты массой
mк
содержится топливо массой
mТ . Предполагая, что скорость газовой струи во время движения неизменна (u = const),
определим скорость корпуса ракеты после полного сгорания топлива.
Спроектируем уравнение (12.34) на направление движения ракеты:
mdv  udm ,
откуда, интегрируя, получим
dm
1
v


dv
;
ln
m


 c1 ,
m

u
u
где
c1
– постоянная интегрирования. Пользуясь начальными условиями движения
t  0, v  0, m  mк  mт ,
для
c1
(12.39)
получим значение
c1  ln(mк  mт )  ln m0 .
Значит,
v  u  ln m0 / m,
(12.40)
m  m0 e v / u .
(12.41)
Или
Последние выражения представляют формулы Циолковского. Она получена для
медленных движений, когда v и u намного малы по сравнению со скоростью света.
Подставляя
m  mк
в формулу (12.40), определим скорость, которую приобретет корпус
ракеты после полного сгорания топлива
vк  u  ln(1  mт / mк ).
(14.40')
Заметим, что скорость корпуса пропорциональна скорости газовой струи и
логарифмически зависит от отношения масс топлива и корпуса.
В современных ракетах, работающих на химическом топливе, скорость газовой струи
не превышает 4,5 км/с. Это маленькая скорость для космических полетов. В этом можно
убедиться с помощью простейших расчетов. Наименьшая скорость, которую нужно
сообщить корпусу для удаления от поля тяготения Земли, равна 11,2 км/с, а для
удаления от Солнечной системы – 16,7 км/с (вторая и третья космические скорости).
Нетрудно подсчитать, что если принять u = 4 км/с, только для получения этих скоростей
необходимо сжечь топливо массой, соответственно, в 16 и 63 раза большей, чем масса
корпуса ракеты. Однако вспомним, что в этих расчетах не учтена работа, совершаемая
против сил сопротивления воздуха, что потребует дополнительных расходов топлива.
Релятивистские ракеты.
Если ракета движется со скоростью, близкой к скорости света, то вместо (12.40)(12.41) необходимо получить соответствующие релятивистские формулы.
Пусть в системе отсчета Λ, двигающаяся со скоростью v, частица самопроизвольно
распадается по направлению ее движения на частицу массы m, движущейся со
скоростью v  dv и на частицу с массой dm , движущейся в обратном направлении со
скоростью
 v1 . После распада частицы будут иметь импульсы и энергии
p' 
E'
m(v  dv)
1  (v  dv) 2 / c 2
;
mc 2
1  (v  dv) / c
2
2
v1dm
p1' 
1  v12 / c 2
c 2 dm
; E1' 
1  v12 / c 2
;
(12.41)
.
В системе отсчета С, которая движется со скоростью vc = v, они будут иметь импульсы
p 
p1 
p ' vE '/ c 2

1  v2 / c2
p1 ' vE1 '/ c 2
1 v /c
2
2
mdv
;
1  v2 / c2

(12.42)
(v  v1 )dm
(1  v / c )(1  v / c )
2
2
2
1
2
.
где были учтены формулы (12.41) и отброшены бесконечно малые второго порядка.
Пользуясь релятивистским правилом преобразования скоростей, определим
относительную скорость присоединяемой массы
u
v  v1
,
1  v1v / c 2
(12.43)
откуда
v1 
Согласно основному свойству С системы:
v  u
.
1  uv / c 2
(12.44)
p1   p2 . Учитывая в последнем формулы
(12.42) и (12.44) в линейном приближении по u получим:
dv
u dm
 2
.
2
c v
c m
(12.45)
2
Принимая u  const , интегрируя последнее уравнение и пользуясь начальными
условиями (12.39), получим релятивистское обобщение формулы Циолковского:
1 v / c 
m(v)  m0 

1  v / c 
 c / 2u
.
(12.46)
При сгорании одной и той же массы топлива из формулы (12.46) для скорости
корпуса ракеты получается меньшее значение, чем по формуле Циолковского. Это
объясняется тем, что параллельно со скоростью возрастает и инертность релятивистской
ракеты.
В случае медленных движений из формулы (12.46) получается результат формулы
Циолковского. Действительно, в этом случае
1 v/c
v
1 2 ,
1 v/c
c
так что
c
m
v  2v

m0 1  2 
c

v
( )
u
m0 e  v / u ,
где мы воспользовались следующим известным пределом:
lim(1
 x)1/ x  e.
x 0