Тема 10. С постоянными коэффициентами

Тема 10. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка
с постоянными коэффициентами
10.1 Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными
коэффициентами. Характеристические уравнения
Дифференциальное уравнение вида a 0 y ( n )  a1 y ( n 1)    a n 1 y   a n y  f ( x),
где
ai  const (i  0, n),
-
f ( x)
известная
функция,
называющаяся
(10.1)
линейным
дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.
Если f ( x)  0, то уравнение (10.1) называется однородным, в противном случае –
неоднородным.
Если f(x) – непрерывная на сегменте функция, то общее решение уравнения (10.1)
состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного
решения неоднородного уравнения (10.1).
Фундаментальную систему решений уравнения
a0 y ( n )  a1 y ( n 1)    a n 1 y   a n y  0
(10.2)
можно найти, используя алгебраические методы, следующим образом (Метод Эйлера). Исходя
из (10.2), составляем алгебраическое уравнение a0  n  a1 n 1 
 an 1  an  0 ,
(10.3).
называемое характеристическим. Оно имеет n корней, среди которых могут быть
действительные простые и краткие корни, а также пары комплексно-сопряженных корней
(простых и кратных).
Правило 1. (корни характеристического уравнения простые и действительные)
Если все корни характеристического уравнения (10.3) различные действительные числа
1 , 2 ,, n , то
фундаментальная
система
решений
уравнения
(10.2)
имеет
вид
e 1x , e 2 x , , e n x и соответствующая компонента общего решения уравнения (10.2) имеет
вид y ( x)  C1e 1x  C2 e 2 x    Cn e n x , где C1 , C 2 ,, C n - произвольные постоянные.
Пример 10.1. Найти общее решение уравнения y   16 y   15 y  0 .
Составим характеристическое уравнение согласно (10.3)  2  16  15  0 . Находим его
корни 1  1, n  15. Фундаментальной системой решений, согласно правилу 1 является
y1  e x , y2  e15 x . Общее решение исходного уравнения y  C1e x  C2 e15 x .
Правило
2.
(корни
характеристического
уравнения
пара
комплексно-
сопряженных корней)
Если среди различных корней характеристического уравнения (10.3) есть пара
комплексно-сопряженных корней   i, то этой паре корней соответствует два линейно
независимых
решения
вида
y1 ( x)  e x cos  x, y2 ( x)  e x sin  x, а
соответствующая
компонента общего решения уравнения имеет вид y ( x)  C1ex cos x  C2ex sin x.
Пример 10.2. Найти общее решение уравнения y   3 y   5 y  0.
Составим
1, 2 
характеристическое
2  4  5  0 .
уравнение
Находим
корни
4  2i
 2  i. Получаем следующую ФСР: e 2 x cos x, e 2 x sin x .Общее решение
2
исходного уравнения имеет вид y( x)  C1e 2 x cos x  C2e 2 x sin x.
Правило 3. (корни характеристического уравнения действительные, кратные)
Если среди корней характеристического уравнения (10.3) есть равные действительные
числа 1  2 
частных
 k , то корню 1 кратности k соответствует k-линейно независимых
решений
y1( x )  e1x , y2( x )  xe1x ,
общего решения уравнения имеет вид
yk( x )  x k 1  e1x , а
соответствующая
y ( x)  C1e1x  C2 xe1x 
компонента
Ck x k 1  e1x , где C1 ,
, Ck -
произвольные постоянные.
Пример 10.3. Найти общее решение уравнения
Составим характеристическое уравнение
(  2)3  0 ,
  2,
y  6 y  12 y  8 y  0 .
 3  6 2  12  8  0 . Находим
k  3 . Общее решение исходного
корни
уравнения имеет вид
y ( x)  C1e 2 x  C2 xe 2 x  C3 x 2  e 2 x .
Правило 4. (корни характеристического уравнения комплексные, кратные)
Если среди корней характеристического уравнения (10.3) есть комплексные корни
    i  кратности k, то этой паре корней соответствуют 2k – линейно независимых
решений y1 ( x)  e x cos  x,
yk 1 ( x)  e x sin  x,
y2 ( x)  e x x cos  x,
, yk ( x)  e x x k 1 cos  x,
yk  2 ( x)  e x x sin  x,
, y2 k ( x)  e x x k 1 sin  x.
и соответствующая компонента общего решения уравнения имеет вид
y ( x)  e x (C1  C2 x 
 Ck x k 1 ) cos  x  e x ( B1  B2 x 
Пример 10.4. Найти общее решение уравнения
 Bk x k 1 )sin  x.
y IV  8 y  16  0 .
Составим характеристическое уравнение  4  8 2  16  0 , ( 2  4) 2  0 ,
  2i, k  2 .
Получаем следующую ФСР : y1 ( x)  cos 2 x, y2 ( x)  x cos 2 x , y3 ( x)  sin 2 x, y4 ( x)  x sin 2 x .
Общее решение исходного уравнения имеет вид
y  C1 cos 2 x  C2 x cos 2 x  C3 sin 2 x  C4 x sin 2 x .
10.2. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Для
нахождения
an y ( n )  an 1 y ( n 1) 
общего
решения
линейного
неоднородного
уравнения
 a0 y  f ( x) кроме общего решения соответствующего ему однородного
уравнения , правила нахождения которого рассмотрены в предыдущей теме, нужно знать
какое-либо частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородного уравнения
соответствующего однородного уравнения
является суммой общего решения
и какого-либо частного решения неоднородного
уравнения.
В некоторых случаях повторяет структуру правой части, т.е. определяется видом
функции f(x). Это случай, когда f(x) можно представить в виде комбинации основных
функций: многочленов, показательной и тригонометрических функции.
Одним из методов нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения
является метод подбора или, иначе, метод неопределенных коэффициентов. Этот метод
основан на том, что структура частного решения линейного неоднородного уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами
Таблица видов частных решений для различных видов правых частей.
1) e x Pm ( x), e x  Pm ( x)  x s ,
s  k (   ) s  0 (   )
e x ( Pm ( x) cos  x  Qn ( x)sin  x)
2) e x ( Pl ( x) cos  x  Ql ( x)sin  x)  x s
s  k (     i )
s  0 (     i )
Пример 10.5. Решить уравнение y  y  y ' y  x 2  x .
Составим характеристическое уравнений для однородного уравнения y  y  y ' y  0 :
 3   2    1  0 ,  2 (  1)  (  1)  0 , (  1)( 2  1)  0 .
Корни характеристического уравнения 1  1,
  i,
 i.
ФСР: ex , cos x,sin x .
Тогда решением однородного уравнения является
Вид правой части
yодн  C1e x  C2 cos x  C3 sin x .
f ( x)  eox ( x 2  x) , следовательно, среди корней характеристического
уравнения нужно найти   0.
Будем искать частное решение в виде
yчаст  eox (ax 2  bx  c) x 0  ax 2  bx  c .
  2ax  b , yчаст
  2a , yчаст
  0 . Подставляем найденные выражения в исходное
Тогда yчаст
уравнение 0  2a  2ax  b  (ax 2  bx  c)  x 2  x , ax 2  (2a  b) x  (b  c)  x 2  x .
 a  1

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем 2a  b  1 ,
 bc  0

a  1

b  3 .
 c  1

Тогда yчаст   x 2  3x  3 .
Т.к.
yобщее  yодн  yчастное , то y  C1e x  C2 cos x  C3 sin x  x 2  3x  3 .
Пример 10.6. Решить уравнение y 2  10 y  25 y  4e5 x .
Характеристическое уравнение  2  10  25  0 . Его корни   5
кратность 2.
ФСР: e5 x , xe5 x . yодн  С1e 5 x  С2 xe 5 x .
Правая часть имеет вид f ( x)  4e5 x
(  5) .
Тогда частное решение будем искать в виде yчаст  ae5 x  x 2 .
y  5ae5 x  x 2  2 xae5 x ,
y  25ae5 x  x 2  10axe5 x  2ae5 x  10 xae5 x .
Подставляем в исходное уравнение
25ae5 x  x 2  20axe5 x  2ae5 x  20 xae5 x  50 xae5 x x 2  25axe5 x  4e5 x
25ae 5 x  4e 5 x
a2
yчаст  2 x 2 e 5 x
Тогда общее решение y  С1e5 x  С2 xe5 x  2 x 2e5 x .
Задания для работы на семинаре
Учебные материалы по курсу "Дифференциальные и разностные уравнения".
Составители: Андреев В.Б., Кюркчан А.Г., Чернявский В.М. – М.: ВШЭ, 1996.
1) Стр. 118, № 511-532,
2) Стр. 118, № 533-548,
3) Стр. 118, № 549-574,
4) Стр. 118, № 582-588.