МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РФ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТР "АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ" Орел – 2012 2 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................... 4 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ...................................... 5 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................... 6 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ........................ 12 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ................................................. 20 3 ВВЕДЕНИЕ Настоящие методические указания предназначены для студентов первого курса, изучающих тему «Аналитическая геометрия» и выполняющих по данной теме типовой расчет. Указания состоят из трех разделов. В первом разделе приводятся общие методические рекомендации по оформлению, выполнению и порядку защиты типового расчета. Во втором разделе приводятся основные теоретические положения, правила и алгоритмы решения аналогичных задач по указанной теме. Третий раздел содержит список задач для самостоятельного выполнения. 4 1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К выполнению типового расчета следует приступать после изучения темы "Прямая и плоскость в пространстве". Следует внимательно разобрать решение тех задач, которые приводятся в данном пособии. При этом следует руководствоваться следующими указаниями. 1. Типовой расчет выполняется студентом самостоятельно и сдается на проверку в установленный преподавателем срок. 2. Студент выполняет тот вариант, который соответствует его списочному номеру в журнале. В задаче дана двойная нумерация. Первая цифра соответствует номеру задачи, а вторая – номеру варианта. 3. Работу следует выполнять в отдельной тетради, на внешней обложке которой должны быть указаны специальность, номер группы, фамилия и инициалы студента, и вариант. 4. Решения всех задач должны быть подробными, т.е. все вычисления необходимо делать полностью. Для замечаний преподавателя на каждой странице необходимо оставлять поля шириной 3 – 4 см. 5. После проверки работы преподавателем, студент должен сделать работу над ошибками и предоставить работу на повторную проверку. 6. Работа над ошибками выполняется в той же тетради, после решенных задач. Не допускается вносить исправления в уже проверенные задачи. 7. Студент должен защитить работу по указанной теме, т.е. дать устные пояснения ко всем или некоторым задачам с указанием формул, теорем, выводов, которые используются при решении задач. Студент допускается к защите типового расчета, если после очередной проверки, у преподавателя нет замечаний по его выполнению. 8. Типовой расчет считается выполненным только после правильного его решения и защиты. 9. Если в процессе изучения материала или при решении той или иной задачи у студента возникают вопросы, на которые он не может ответить самостоятельно, то он может обратиться к преподавателю для получения консультации. 5 2. УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ТИПОВОГО РАСЧЕТА И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Для решения задачи №1 нужно: 1) записать уравнение плоскости проходящей через три точки М1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3); 2) найти расстояние от точки М0 (x0, y0, z0) до плоскости . 1) Уравнение искомой плоскости имеет вид: x x1 y y1 z z1 (1.1.) x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 0 . x3 x1 y 3 y1 z 3 z1 После вычисления определителя получим общее уравнение плоскости вида: Аx + By + Cz + D = 0 (1.2.) 2) Расстояние от точки М0 до плоскости найдем по формуле: |Ax0 By 0 Cz 0 D| (1.3.) d (M 0 , ) 2 2 2 A B C Пример 1: Найти расстояние от точки М0 (2, 1, 3) до плоскости , проходящей через точки М1 (2, 3, 0), М2 (2, 0, -5) и М3 (0, 3, -5) Решение: 1) Запишем уравнение плоскости , проходящей через 3 данные точки: x 2 y 3 z x 2 y 3 z 22 3 5 0 0 3 5 0 2 33 5 2 0 5 Затем вычислим определитель известными способами (по правилу треугольника или разложением определителя по элементам ряда) и получим искомое уравнение плоскости в общем виде : 15x + 10y – 6z – 60 = 0. 2) Найдем расстояние d (M0, ): | 15 2 10 1 6 3 60 | | 38 | 38 d (M 0 , ) 2 361 19 15 2 10 2 (6) 2 Ответ: d(M0, ) = 2 ед. 6 Для решения задачи №2 нужно: 1) найти вектор нормали n ; 2) составить уравнение плоскости , проходящей через данную точку М0 (x0, y0, z0) c вектором нормали n (А, В, С). Определение: Ненулевой вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется вектором нормали и обозначается n (А, В, С), где А, В и С – координаты этого вектора. Искомое уравнение плоскости имеет вид: А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) = 0. (2.1.) Пример 2: Написать уравнение плоскости , проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору M 1 M 2 , где М0 (2, -1, 0), М1 (1, 2, 3), М2 (-3, 5, 4). Решение: Так как вектор M 1 M 2 (х2 – х1, у2 - у1, z2 – z1) ненулевой и перпендикулярен плоскости по условию, то n M 1 M 2 , т.е. n (-4, 3, 1). Тогда уравнение плоскости имеет вид: -4(х – 2) + 3(y + 1) + z = 0 Раскроем скобки и приведем это уравнение к общему уравнению плоскости: 4x – 3y – z – 11 = 0. Ответ: : 4x – 3y – z – 11 = 0. Для решения задачи №3 используем формулу вычисления угла между плоскостями. Пусть даны уравнения двух плоскостей 1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0, 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Тогда (n , n ) A1 A2 B1 B2 C1C 2 cos (1 , 2 ) cos 1 2 , (3.1.) 2 | n1 || n 2 | A1 B12 C12 A22 B22 C 22 где - угол между плоскостями 1 и 2, n1 (А1, В1, С1) и n 2 (А2, В2, С2) – векторы нормалей соответствующих плоскостей 1 и 2. Пример 3. Найти угол между плоскостями 1: x + 2y – 2z + 1 = 0 и 2: 2х + 6y +3z – 2 = 0. Решение: Запишем n1 (1, 2, -2), n 2 (2, 6, 3). Тогда cos 1 2 2 6 (2) 3 1 2 (2) 2 2 2 Отсюда 6736'. Ответ: 6736'. 2 6 3 2 2 2 8 8 0,3810 . 3 7 21 7 Для решения задачи №4 используем формулу вычисления расстояния между двумя точками. Пусть даны две точки А1 (x1, y1, z1) и A2 (x2, y2, z2). Тогда расстояние от точки А1 до точки А2 найдем по следующей формуле: (4.1.) d (A1, A2) = ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 . Пример 4. Найти координаты точки А (0, 0, z), равноудаленной от точек В (1, 5, 0) и С (0, 2, 3). Решение: т.к. точка А равноудалена от точек В и С, то расстояния от точки А до точки В и от точки А до точки С равны, т.е. d (А, В) = d (А, С). Найдем d (А, В) и d (А, С): d (A, B) = 12 5 2 ( z ) 2 26 z 2 , d(A, C) = 0 2 2 (3 z ) 2 13 6 z z 2 . Приравняем правые 26 z 2 13 6 z z 2 . части этих выражений и получим: Возведем в квадрат обе части равенства: 26 + z2 = 13 – 6z + z2 6z = 13 13 = -13 z = - . Таким образом, точка А (0, 0, - ). 6 6 13 Ответ: А (0, 0, - ). 6 При решении задачи №5 нужно общие уравнения прямой в пространстве привести к каноническому виду. Для этого нужно найти вектор S и точку М0, принадлежащую этой прямой. Определение. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой и обозначается S (ℓ, m, p), где ℓ, m, p – координаты вектора S . Пусть прямая задана в общем виде: A1 x B1 y C1 z D1 0, (5.1.) A2 x B2 y C 2 z D2 0. Каждое из уравнений системы есть общее уравнение соответствующей плоскости 1 или 2. Cоставим канонические уравнения прямой. Сначала найдем вектор S . В качестве направляющего вектора возьмем вектор S [n1 , n2 ] , где n1 (А1, В1, С1) и n 2 (А2, В2, С2) – векторы нормалей 8 соответствующих плоскостей 1 и 2. Затем найдем точку М0 (x0, y0, z0), координаты которой должны удовлетворять общим уравнениям прямой, и запишем канонические уравнения прямой в пространстве: x x0 y y 0 z z 0 = = . (5.2.) m p Пример 5. Составить канонические уравнения прямой, заданной в общем виде: x 2 y 3z 1 0 2 x y 4 z 8 0 Решение: Сначала запишем n1 (1, -2, 3) и n 2 (2, 1, -4). Затем найдем вектор S . i j k S [n1 , n2 ] = 1 2 3 S = 5 i + 10 j + 5 k , т.е. S (5, 10, 5). 2 1 4 Найдем точку М0, так, чтобы ее координаты удовлетворяли каждому из общих уравнений прямой. Для этого можно, например, второе уравнение системы умножить на 2 и сложить с первым уравнением. Получим: 5x – 5z – 15 = 0 или x – z – 3 = 0. Положим в последнем уравнении, например, z = z0 = 0 (или х = x0 = 0), тогда х = x0 = 3. Подставим найденные значения в любое из уравнений системы и найдем что y = y0 = 2. Таким образом, М0 (3, 2, 0). Теперь запишем канонические уравнения прямой: y2 y2 x 3 x3 z z = = или = = . 5 10 1 2 5 1 y2 x 3 z Ответ: L: = = . 1 2 1 Для решения задачи №6 нужно записать систему уравнений пересекающихся прямой и плоскости. Для этого от данных канонических уравнений прямой L перейдем к параметрическим уравнениям. Затем переменные x, y, z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение плоскости . Потом найдем параметр t и подставим его в параметрические уравнения прямой L. После этого найдем искомые x, y, z. Это и будут координаты точки пересечения прямой L и плоскости . 9 Для того чтобы записать параметрические уравнения прямой L, нужно каждую пропорцию канонического вида прямой обозначить через параметр t, а затем выразить переменные x, y, z, т.е. x x0 x x 0 t , t, y y 0 (6.1.) t , y y 0 mt , m z z0 t, z z 0 pt. p Пример 6. Найти точку Q пересечения прямой L и плоскости , y 1 z x2 если L: : = = , : 2x + 3y + z – 6 = 0. 2 2 1 Решение: Уравнения прямой L в параметрической форме имеют вид: x 2 t L: y 1 2t z 2t Подставив выраженные через параметр t переменные x, y, z в уравнение плоскости , получим: 2 (2 + t) + 3 (-1 – 2t) + 2t – 6 = 0 -2t – 5 = 0 t = -2,5. Подставив t в систему параметрических уравнений прямой L, получим: x 0,5; y 4; Q(-0,5; 4; - 5). z 5. Ответ: Q (-0,5; 4; -5). Задача №7. Найти координаты точки симметричной данной точке, относительно прямой или плоскости. Случай 1. Дана точка М и прямая L. Проведем через точку М плоскость , перпендикулярную прямой L, и найдем точку Q пересечения прямой L с плоскостью . Так как плоскость A B C перпендикулярна прямой L, то n || S , т.е. = = = , где m p - коэффициент пропорциональности. Пусть = 1, тогда А = ℓ, 10 B = m, C = p (направляющий вектор прямой является вектором нормали для плоскости), т.е. вектор n (ℓ, m, p). Запишем уравнение плоскости (см. 2.1.): А (x – x0) + B (y - y0) + C (z – z0) = 0, т.к. уже известны вектор n и точка М (х0, y0, z0). После этого найдем точку Q пересечения прямой L с плоскостью (см. задачу №6). Точка Q является серединой отрезка MM' (где точка М' симметрична точке М относительно прямой L), а координаты середины отрезка находятся по следующим формулам: x xM ' y yM ' z zM ' xQ = M , yQ = M , zQ = M . 2 2 2 Отсюда находим координаты точки M': xM ' = 2xQ – xM, yM ' = 2yQ – yM, zM ' = 2zQ – zM, (7.1.) т.е. M' (xM ', yM ', zM '). Случай 2. Дана точка М и плоскость . Проведем через точку М прямую L перпендикулярно данной плоскости . Так как A B C плоскость перпендикулярна прямой L, то n || S , т.е. = = =, m p где - коэффициент пропорциональности. Пусть = 1, тогда ℓ = А, m = B, p = C (вектор нормали для плоскости является направляющим вектором прямой), т.е. вектор S (A, B, C). Зная координаты направляющего вектора и данной точки М (x0, y0, z0), запишем x x0 z z0 y y0 канонические уравнения прямой L: = = . m p После этого перейдем к параметрическим уравнениям прямой (см. формулу 6.1.). Затем найдем точки Q и M' (см. случай 1.). Пример 7: Найти точку M' , симметричную данной точке y 18 x 11 z4 М (1, 1, 1) относительно прямой L: = = . 5 2 2 Решение: Проведем через точку М плоскость перпендикулярно данной прямой L. Так как плоскость C A B перпендикулярна прямой L, то = = = 1. Тогда А = 2, В = 5, 5 2 2 С = -2, т.е. n (2, 5, -2). Запишем уравнение плоскости , проходящей через данную точку М с вектором нормали n : 2 (х – 1) + 5 (y – 1) – 2 (z – 1) = 0 или 2x + 5y – 2z – 5 = 0. Найдем точку Q пересечения прямой L и плоскости . Для этого запишем систему уравнений: 11 x 11 y 18 z 4 , 5 2 2 2 x 5 y 2 z 5 0. Чтобы решить систему, перейдем от канонических уравнений прямой L к параметрическим: x 11 2t , y 18 5t , z 4 2t. Затем переменные x, y и z, выраженные через параметр t, подставим в уравнение плоскости и получим: 2 (11 + 2t) + 5 (18 + 5t) –2 (4 - 2t) – 5 = 0 33t = -99 t = -3. Подставим t = -3 в параметрические уравнения прямой L и найдем x = 5, y = 3, z = 10. Это и есть координаты точки Q пересечения прямой L и плоскости , т.е. Q (5, 3, 10). Найдем координаты точки M', учитывая что точка Q - середина отрезка MM' (см. формулы 7.1.). Таким образом, M' (9, 5, 19). Ответ: M' (9, 5, 19). 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ Задача №1. Найти расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3. 1.1. М1 (-3, 4, -7), М2 (1, 5, - 4), М3 (-5, -2, 0), М0 (-12, 7, -1). 1.2. М1 (-1, 2, -3), М2 (4, -1, 0), М3 (2, 1, -2), М0 (1, -6, -5). 1.3. М1 (-3, -1, 1), М2 (-9, 1, -2), М3 (3, - 5, 4), М0 (-7, 0, -1). 1.4. М1 (1, -1, 1), М2 (-2, 0, 3), М3 (2, 1, -1), М0 (-2, 4, 2). 1.5. М1 (1, 2, 0), М2 (1, -1, 2), М3 (0, 1, -1), М0 (2, -1, 4). 1.6. М1 (1, 0, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (2, -2, 1), М0 (-5, -9, 1). 1.7. М1 (1, 2, -3), М2 (1, 0, 1), М3 (-2, -1, 6), М0 (3, -2, -9). 1.8. М1 (3, 10, -1), М2 (-2, 3, -5), М3 (-6, 0, -3), М0 (-6, 7, -10). 1.9. М1 (-1, 2, 4), М2 (-1, -2, -4), М3 (3, 0, -1), М0 (-2, 3, 5). 1.10. М1 (0, -3, 1), М2 (- 4, 1, 2), М3 (2, -1, 5), М0 (-3, 4, -5). 1.11. М1 (1, 3, 0), М2 (4, -1, 2), М3 (3, 0, 1), М0 (4, 3, 0). 1.12. М1 (-2, -1, -1), М2 (0, 3, 2), М3 (3, 1, -4), М0 (-21, 20, -16). 1.13. М1 (-3, -5, 6), М2 (2, 1, - 4), М3 (0, -3, -1), М0 (3, 6, 68). 1.14. М1 (2, - 4, -3), М2 (5, -6, 0), М3 (-1, 3, -3), М0 (2, -10, 8). 1.15. М1 (1, -1, 2), М2 (2, 1, 2), М3 (1, 1, 4), М0 (-3, 2, 7). 1.16. М1 (1, 3, 6), М2 (2, 2, 1), М3 (-1, 0, 1), М0 (5, -4, 5). 12 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. 1.25. 1.26. 1.27. 1.28. 1.29. 1.30. 1.31. М1 (-4, 2, 6), М2 (2, -3, 0), М3 (-10, 5, 8), М0 (-12, 1, 8). М1 (7, 2, 4), М2 (7, -1, -2), М3 (-5, -2, -1), М0 (10, 1, 8). М1 (2, 1, 4), М2 (3, 5, -2), М3 (-7, -3, 2), М0 (-3, 1, 8). М1 (-1, -5, 2), М2 (-6, 0, -3), М3 (3, 6, -3), М0 (10, -8, -7). М1 (0, -1, -1), М2 (-2, 3, 5), М3 (1, -5, -9), М0 (-4, -13, 6). М1 (5, 2, 0), М2 (2, 5, 0), М3 (1, 2, 4), М0 (-3, -6, -8). М1 (2, -1, -2), М2 (1, 2, 1), М3 (5, 0, -6), М0 (14, -3, 7). М1 (-2, 0, -4), М2 (-1, 7, 1), М3 (4, -8, -4), М0 (-6, 5, 5). М1 (14, 4, 5), М2 (-5, -3, 2), М3 (-2, -6, -3), М0 (-1, -8, 7). М1 (1, 2, 0), М2 (3, 0, -3), М3 (5, 2, 6), М0 (-13, -8, 16). М1 (2, -1, 2), М2 (1, 2, -1), М3 (3, 2, 1), М0 (-5, 3, 7). М1 (1, 1, 2), М2 (-1, 1, 3), М3 (2, -2, 4), М0 (2, 3, 8). М1 (2, 3, 1), М2 (4, 1, -2), М3 (6, 3, 7), М0 (-5, -4, 8). М1 (1, 1, -1), М2 (2, 3, 1), М3 (3, 2, 1), М0 (-3, -7, 6). М1 (1, 5, -7), М2 (-3, 6, 3), М3 (-2, 7, 3), М0 (1, -1, 2). Задача №2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно вектору BC . 2.1. А (1, 0, -2), В (2, -1, 3), С (0, -3, 2). 2.2. А (-1, 3, 4), В (-1, 5, 0), С (2, 6, 1). 2.3. А (4, -2, 0), В (1, -1, -5), С (-2, 1, -3). 2.4. А (-8, 0, 7), В (-3, 2, 4), С (-1, 4, 5). 2.5. А (7, -5, 1), В (5, -1, -3), С (3, 0, -4). 2.6. А (-3, 5, -2), В (-4, 0, 3), С (-3, 2, 5). 2.7. А (1, -1, 8), В (-4, -3, 10), С (-1, -1, 7). 2.8. А (-2, 0, -5), В (2, 7, -3), С (1, 10, -1). 2.9. А (1, 9, -4), В (5, 7, 1), С (3, 5, 0). 2.10. А (-7, 0, 3), В (1, -5, -4), С (2, -3, 0). 2.11. А (0, -3, 5), В (-7, 2, 6), С (-3, 2, 4). 2.12. А (5, -1, 2), В (2, -4, 3), С (4, -1, 3). 2.13. А (-3, 7, 2), В (3, 5, 1), С (4, 5, 3). 2.14. А (0, -2, 8), В (4, 3, 2), С (1, 4, 3). 2.15. А (1, -1, 5), В (0, 7, 8), С (-1, 3, 8). 2.16. А (-10, 0, 9), В (12, 4, 11), С (8, 5, 15). 2.17. А (3, -3, -6), В (1, 9, -5), С (6, 6, -4). 2.18. А (2, 1, 7), В (9, 0, 2), С (9, 2, 3). 2.19. А (-7, 1, - 4), В (8, 11, -3), С (9, 9, -1). 2.20. А (1, 0, -6), В (-7, 2, 1), С (-9, 6, 1). 2.21. А (-3, 1, 0), В (6, 3, 3), С (9, 4, -2). 2.22. А (-4, -2, 5), В (3, -3, -7), С (9, 3, -7). 13 2.23. 2.24. 2.25. 2.26. 2.27. 2.28. 2.29. 2.30. 2.31. А (0, -8, 10), В (-5, 5, 7), С (-8, 0, 4). А (1, -5, -2), В (6, -2, 1), С (2, -2, -2). А (0, 7, -9), В (-1, 8, -11), С (-4, 3, -12). А (-3, -1, 7), В (0, 2, -6), С (2, 3, -5). А (5, 3, -1), В (0, 0, -3), С (5, -1, 0). А (-1, 2, -2), В (13, 14, 1), С (14, 15, 2). А (7, -5, 0), В (8, 3, -1), С (8, 5, 1). А (-3, 6, 4), В (8, -3, 5), С (10, -3, 7). А (2, 5, -3), В (7, 8, -1), С (9, 7, 4). 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. Задача №3. Найти угол между плоскостями. x – 3y + 5 = 0, 2x – y + 5z – 16 = 0. x – 3y + z –1 = 0, x + z – 1 = 0. 4x – 5y + 3z – 1 = 0, x – 4y – z + 9 = 0. 3x – y + 2z + 15 = 0, 5x + 9y – 3z – 1 = 0. 6x + 2y – 4z + 17 = 0, 9x + 3y – 6z – 4 = 0. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 3.28. 3.29. x – y 2 + z – 1 = 0, x + y 2 – z + 3 = 0. 3y – z = 0, 2y + z = 0. 6x + 3y – 2z = 0, x + 2y + 6z – 12 = 0. x + 2y + 2z – 3 = 0, 16x + 12y – 15z – 1 = 0. 2x – y + 5z + 16 = 0, x + 2y + 3z + 8 = 0. 2x + 2y + z – 1 = 0, x + z – 1 = 0. 3x + y + z – 4 = 0, y + z + 5 = 0. 3x – 2y – 2z – 16 = 0, x + y – 3z – 7 = 0. 2x + 2y + z + 9 = 0, x – y + 3z – 1 = 0. x + 2y + 2z – 3 = 0, 2x – y + 2z + 5 = 0. 3x + 2y – 3z – 1 = 0, x + y + z – 7 = 0. x – 3y – 2z – 8 = 0, x + y – z + 3 = 0. 3x – 2y + 3z + 23 = 0, y + z + 5 = 0. x + y + 3z – 7 = 0, y + z – 1 = 0. x – 2y + 2z + 17 = 0, x – 2y – 1 = 0. x + 2y – 1 = 0, x + y + 6 = 0. 2x – z + 5 = 0, 2x + 3y – 7 = 0. 5x + 3y + z – 18 = 0, 2y + z – 9 = 0. 4x + 3z – 2 = 0, x + 2y + 2z + 5 = 0. x + 4y – z + 1 = 0, 2x + y + 4z – 3 = 0. 2y + z – 9 = 0, x – y + 2z – 1 = 0. 2x – 6y + 14z – 1 = 0, 5x – 15y + 35z – 3 = 0. x – y + 7z – 1 = 0, 2x – 2y – 5 = 0. 3x – y – 5 = 0, 2x + y – 3 = 0. 14 3.30. x + y + z 2 – 3 = 0, x – y + z 2 – 1 = 0. 3.31. x + 2y – 2z – 7 = 0, x + y – 35 = 0. Задача №4. Найти координаты точки А, равноудаленной от точек В и С. 4.1. А (0, 0, z), B (5, 1, 0), C (0, 2, 3). 4.2. А (0, 0, z), B (3, 3, 1), C (4, 1, 2). 4.3. А (0, 0, z), B (3, 1, 3), C (1, 4, 2). 4.4. А (0, 0, z), B (-1, -1, -6), C (2, 3, 5). 4.5. А (0, 0, z), B (-13, 4, 6), C (10, -9, 5). 4.6. А (0, 0, z), B (-5, -5, 6), C (-7, 6, 2). 4.7. А (0, 0, z), B (-18, 1, 0), C (15, -10, 2). 4.8. А (0, 0, z), B (10, 0, -2), C (9, -2, 1). 4.9. А (0, 0, z), B (-6, 7, 5), C (8, -4, 3). 4.10. А (0, 0, z), B (6, -7, 1), C (-1, 2, 5). 4.11. А (0, 0, z), B (7, 0, -15), C (2, 10, -12). 4.12. А (0, y, 0), B (3, 0, 3), C (0, 2, 4). 4.13. А (0, y, 0), B (1, 6, 4), C (5, 7, 1). 4.14. А (0, y, 0), B (-2, 8, 10), C (6, 11, -2). 4.15. А (0, y, 0), B (-2, -4, 6), C (7, 2, 5). 4.16. А (0, y, 0), B (2, 2, 4), C (0, 4, 2). 4.17. А (0, y, 0), B (0, - 4, 1), C (1, -3, 5). 4.18. А (0, y, 0), B (0, 5, -9), C (-1, 0, 5). 4.19. А (0, y, 0), B (-2, 4, -6), C (8, 5, 1). 4.20. А (0, y, 0), B (7, 3, -4), C (1, 5, 7). 4.21. А (0, y, 0), B (0, -2, 4), C (-4, 0, 4). 4.22. А (x, 0, 0), B (0, 1, 3), C (2, 0, 4). 4.23. А (x, 0, 0), B (4, 0, 5), C (5, 4, 2). 4.24. А (x, 0, 0), B (8, 1, -7), C (10, -2, 1). 4.25. А (x, 0, 0), B (3, 5, 6), C (1, 2, 3). 4.26. А (x, 0, 0), B (4, 5, -2), C (2, 3, 4). 4.27. А (x, 0, 0), B (-2, 0, 6), C (0, -2, -4). 4.28. А (x, 0, 0), B (1, 5, 9), C (3, 7, 11). 4.29. А (x, 0, 0), B (4, 6, 8), C (2, 4, 6). 4.30. А (x, 0, 0), B (1, 2, 3), C (2, 6, 10). 4.31. А (x, 0, 0), B (-2, -4, -6), C (-1, -2, -3). 5.1. 5.2. Задача №5. Написать канонические уравнения прямой. 2x + y + z – 2 = 0, 2x – y – 3z + 6 = 0. x – 3y + 2z + 2 = 0, x + 3y + z + 14 = 0. 15 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. 5.11. 5.12. 5.13. 5.14. 5.15. 5.16. 5.17. 5.18. 5.19. 5.20. 5.21. 5.22. 5.23. 5.24. 5.25. 5.26. 5.27. 5.28. 5.29. 5.30. 5.31. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. x – 2y + z – 4 = 0, 2x + 2y – z – 8 = 0. x + y + z – 2 = 0, x – y – 2z + 2 = 0. 2x + 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0. 3x + y – z – 6 = 0, 3x – y + 2z = 0. x + 5y + 2z + 11 = 0, x – y – z – 1 = 0. 3x + 4y – 2z + 1 = 0, 2x – 4y + 3z + 4 = 0. 5x + y – 3z + 4 = 0, x – y + 2z + 2 = 0. x – y – z – 2 = 0, x – 2y + z + 4 = 0. 4x + y – 3z + 2 = 0, 2x – y + z – 8 = 0. 3x + 3y – 2z – 1 = 0, 2x – 3y + z + 6 = 0. 6x – 7y – 4z – 2 = 0, x + 7y – z – 5 = 0. 8x – y – 3z – 1 = 0, x + y + z + 10 = 0. 6x – 5y – 4z + 8 = 0, 6x + 5y + 3z + 4 = 0. x + 5y – z – 5 = 0, 2x – 5y + 2z + 5 = 0. 2x – 3y + z + 6 = 0, x – 3y – 2z + 3 = 0. 5x + y + 2z + 4 = 0, x – y – 3z + 2 = 0. 4x + y + z + 2 = 0, 2x – y – 3z – 8 = 0. 2x + y – 3z – 2 = 0, 2x – y + z + 6 = 0. x + y – 2z – 2 = 0, x – y + z + 2 = 0. x + 5y – z + 11 = 0, x – y + 2z – 1 = 0. x – y + z – 2 = 0, x – 2y – z + 4 = 0. 6x – 7y – z – 2 = 0, x + 7y – 4z – 5 = 0. x + 5y + 2z – 5 = 0, 2x – 5y – z + 5 = 0. x – 3y + z + 2 = 0, x + 3y + 2z + 14 = 0. 2x + 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0. 3x + 4y + 3z + 1 = 0, 2x – 4y – 2z + 4 = 0. 3x + 3y + z – 1 = 0, 2x – 3y – 2z + 6 = 0. 6x – 5y + 3z + 8 = 0, 6x + 5y – 4z + 4 = 0. 2x – 3y – 2z + 6 = 0, x – 3y + z + 3 = 0. Задача №6. Найти точку пересечения прямой и плоскости. x 2 y 3 z 1 , x + 2y + 3z – 14 = 0. 1 1 4 x 1 y 3 z 1 , x + 2y – 5z + 20 = 0. 3 4 5 x 1 y 5 z 1 , x – 3y + 7z – 24 = 0. 1 4 2 x 1 y z 3 , 2x – y + 4z = 0. 1 0 2 16 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. x 5 y 3 z 2 , 3x + y – 5z – 12 = 0. 1 1 0 x 1 y 2 z 3 , x + 3y – 5z + 9 = 0. 3 2 2 x 1 y 2 z 1 , x – 2y + 5z + 17 = 0. 2 1 1 x 1 y 2 z 4 , x – 2y + 4z – 19 = 0. 2 0 1 x 2 y 1 z 4 , 2x – y + 3z + 23 = 0. 1 1 1 x2 y2 z 3 , 2x – 3y – 5z – 7 = 0. 1 0 0 x 1 y 1 z 2 , 4x + 2y – z – 11 = 0. 2 1 3 x 1 y 1 z 1 , 3x – 2y – 4z – 8 = 0. 1 0 1 x 2 y 1 z 3 , x + 2y – z – 2 = 0. 1 1 2 x3 y2 z 2 , 5x – y + 4z + 3 = 0. 1 5 3 x2 y2 z4 , x + 3y + 5z – 42 = 0. 2 1 3 x 3 y 4 z 4 , 7x + y + 4z – 47 = 0. 1 5 2 x 3 y 1 z 1 , 2x + 3y + 7z – 52 = 0. 2 3 5 x 3 y 1 z 3 , 3x + 4y + 7z – 16 = 0. 2 3 2 x 5 y 2 z 4 , 2x – 5y + 4z + 24 = 0. 2 0 1 x 1 y 8 z 5 , x – 2y – 3z + 18 = 0. 8 5 12 17 6.21. 6.22. 6.23. 6.24. 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. x 3 y 1 z 5 , x + 7y + 3z + 11 = 0. 1 1 0 x 5 y 3 z 1 , 3x + 7y – 5z – 11 = 0. 1 5 2 x 1 y 2 z 6 , 4x + y – 6z – 5 = 0. 7 1 1 x 3 y 2 z 8 , 5x + 9y + 4z – 25 = 0. 1 1 0 x 1 y z 1 , x + 4y + 13z – 23 = 0. 2 0 3 x 1 y 3 z 5 , 3x – 2y + 5z – 3 = 0. 6 1 3 x 2 y 1 z 3 , 3x – y + 4z = 0. 4 3 2 x 1 y 2 z 3 , x + 2y – 5z + 16 = 0. 2 5 2 x 1 y 3 z 2 , 3x – 7y – 2z + 7 = 0. 1 0 2 x3 y2 z 5 , 5x + 7y + 9z – 32 = 0. 0 3 11 x 7 y 3 z 1 , 2x + y + 7z – 3 = 0. 3 1 2 Задача №7. Найти точку М', симметричную точке М относительно прямой (для вариантов 1-15) или плоскости (для вариантов 16-31). x 1 y 1,5 z 7.1. М (0, -3, -2), . 1 1 1 x 4,5 y 3 z 2 7.2. М (2, -1, 1), . 1 0,5 1 x 2 y 1,5 z 1 7.3. М (1, 1, 1), . 1 2 1 x 0,5 y 1,5 z 1,5 7.4. М (1, 2, 3), . 0 1 1 18 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.10. 7.11. 7.12. 7.13. 7.14. 7.15. 7.16. 7.17. 7.18. 7.19. 7.20. 7.21. 7.22. 7.23. 7.24. 7.25. 7.26. 7.27. 7.28. x 3,5 y 1,5 z . 2 2 0 x 2 y 1,5 z 0,5 М (2, 1, 0), . 0 1 1 x 0,5 y 1,5 z 0,5 М (-2, -3, 0), . 1 0 1 y 1,5 z 2 x М (-1, 0, -1), . 1 0 1 y x 1,5 z2 М (0, 2, 1), . 2 1 1 x 6 y 3,5 z 0,5 М (3, -3, -1), . 5 4 0 x 1 y 1,5 z 3 М (3, 3, 3), . 1 0 1 x 0,5 y 0,7 z 2 М (-1, 2, 0), . 1 0,2 2 x 1 y 0,5 z 1,5 М (2, -2, -3), . 1 0 0 x 0,5 y 1 z 4 М (-1, 0, 1), . 0 0 2 x 0,5 y 1,5 z 1,5 М (0, -3, -2), . 0 1 1 М (1, 0, 1), 4x + 6y + 4z – 25 = 0. М (-1, 0, -1), 2x + 6y – 2z + 11 = 0 . М (0, 2, 1), 2x + 4y – 3 = 0 . М (2, 1, 0), y + z + 2 = 0 . М (-1, 2, 0), 4x – 5y – z – 7 = 0 . М (2, -1, 1), x – y + 2z – 2 = 0 . М (1, 1, 1), x + 4y + 3z + 5 = 0 . М (1, 2, 3), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 . М (0, -3, -2), 2x + 10y + 10z – 1 = 0 . М (1, 0, -1), 2y + 4z – 1 = 0 . М (3, -3, -1), 2x – 4y – 4z – 13 = 0 . М (-2, -3, 0), x + 5y + 4 = 0 . М (2, -2, -3), y + z + 2 = 0 . М (1, 0, -1), 19 7.29. М (-1, 0, 1), 2x + 4y – 3 = 0 . 7.30. М (3, 3, 3), 8x + 6y + 8z – 25 = 0 . 7.31. М (-2, 0, 3), 2x – 2y + 10z + 1 = 0 . РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. – М.: Высш. шк., 2000. Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. Данко П.Е., Попов А.Г., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1975. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высш. шк., 1983. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Рольф, 2000. Шипачев В.С. Высшая математика – М.: Высшая школа, 2000. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии./Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., и др. – Мн.: Выш. шк., 1986.