ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ГЛАВНЫХ
ПЛОЩАДОК В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
ORIGIN  1
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА
 x  xy  xz 


T xy z xy  xz yz    xy y  yz 
 

 xz yz z 
1 0 0
I  0 1 0


0 0 1
I  identity( 3)
МАРИЦА СИСТЕМЫ РАЗРЕШАЮЩИХ УРАВНЕНИЙ

 


G xy z xy  xz yz  T xy z xy  xz yz   I
 xz 
 x    xy


G xy z xy  xz yz    xy y    yz 
 

 yz z  
 xz

НАПРЯЖЕНИЯ ПО ГРАНЯМ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА (ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ)
x  5
y  8
z  15
 xy  5
 xz  3
 yz  2
3 
 5   5

G( )  G xy z xy  xz yz 
5   8
2 


2
15   
 3
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
f ( )
f ( )   G( )
3
2
0    12   123   983
0
ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ (СРАВНИВАЕМ С КОЭФФИЦИЕНТАМИ УРАВНЕНИЯ).


I1   x  y  z


2
2
2
I3  x y z  2  xy  xz  yz  x  yz  y  xz  z  xy
3
2
g( )    I1   I2   I3
2
2
I2  x y  x z  y z   xy   xz   yz
g( )
3
2
2
0    12   123   983
0
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ (ОДНОВРЕМЕННОЕ) ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА
ЗАДАНИЕ НАЧАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КОРНЕЙ КУБИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ ГРАФИЧЕСКИМ СПОСОБОМ
3
810
3
510
g(  )
3
210
0
3
 110
3
 410
 15
5
5
15
25

АНАЛИТИЧЕСКИЙ
СПОСОБ ЗАДАНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
3
ИСХОДНОЕ УРАВНЕНИЕ
2
КОРНИ ПРОИЗВОДНОЙ
p 
 4 I 2  4 3 I 
2
 1
2
  I1   I2   I3
3   2 I    I
1
x 
1
2 I1  p
x 
2 I1  p
2
6
2
0
0
 11.55 

 3.55 
x
6
ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
p2( )  6   2 I1
p2( )  6   24
 
I1
3
4
ЗАДАНИЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ДЛЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ
СУММА МОДУЛЕЙ НОРМАЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
abssled  x  y  z
abssled  28
x  abssled 
1
3 

  20.883 
x x
 1


1
2  
Y 

4 




2

  12.883 
x  abssled 
3 
2
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ НЬЮТОНА
kk  6
k  1 kk
 k  1
 k
Y
 Y

2
  k 3

 Y   I   Y k   I  Y k  I 
1
2
3


 
 k 2
 k
3 Y
 2 I1 Y  I2
СТРОКИ МАТРИЦЫ - КОРНИ УРАВНЕНИЯ НА ИТЕРАЦИЯХ.
 20.883168 17.538191 16.141101 15.858868 15.847394 15.847375 15.847375 
Y
4
6.122807
6.183551
6.183702
6.183702
6.183702
6.183702 


 12.883168 10.599402 10.060886 10.031166 10.031078 10.031078 10.031078 
ГРАФИКИ СХОДИМОСТИ КОРНЕЙ
30
20
kk  6
Y1 k
 20.883 
4 


 12.883 
 1
Y 
10
 15.847
 kk  1 
Y
 6.184




 10.031 
Y2 k
Y3 k
0
 10
 20
1
2
3
4
5
6
k
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ (%) КОРНЕЙ НА ИТЕРАЦИЯХ
j  1 kk


 kk  1
 j
 j
Y
 Y  100
eps 
 kk  1
Y
 31.7768232 10.66937154 1.85346751 0.07252205 0.00011815 0 
eps   35.3138338
0.98477191 0.00244825 0.00000002
0
0 


 28.43253876 5.66563253 0.29715701 0.00088451 0.00000001 0 
40
ИЗМЕНЕНИЕ
ПОГРЕШНОСТИ
НА ИТЕРАЦИЯХ
eps1 j 20
eps2 j
0
eps3 j
 20
 40
1
2
3
4
j
5
6
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК
 kk  1
  Y
2


 233.681 
Zn   8.211 


 5.529 
2
Zn    y  x     xy  y x
a1   xy  yz    xz  y  xz
 61.542 
a1   32.551 


 16.093 
a2   xz  xy    yz  x  yz
 6.695 
a2   12.633 


 45.062 
b1 
a1
Zn
 0.263 
b1   3.964 


 2.911 
b2 
a2
Zn
 0.029 
b2   1.539 


 8.15 
c 
2
2
b1  b2  1
 1.034 
c   4.369 


 8.711 
КООРДИНАТЫ ЕДИНИЧНЫХ ВЕКТОРОВ ВНЕШНИХ НОРМАЛЕЙ К ГЛАВНЫМ
ПЛОЩАДКАМ
 1
b1
V 
c
 2
b2
V 
c
 3
1
V 
c
T
S  V
 0.255 0.908 0.334 
S   0.028 0.352 0.936 


 0.967 0.229 0.115 
ПРОВЕРЯЕМ УСЛОВИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДОК
 1  2
S S
0
 1  3
S S
0
 3  2
S S
0
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЯ СРЕДСТВАМИ
3
Mathcad
2
g(  )    12   123   983
ВЕКТОР КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ
 983 
123 
V  g ( s ) coeffs  
 12 
 1 


p  polyroots ( V)
СРАВНИВАЕМ РЕШЕНИЯ
 10.031 
p   6.184 


 15.847 
 15.847 
   6.184 


 10.031 
СОИСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРА МАТРИЦЫ (ТЕНЗОРА
НАПРЯЖЕНИЯ).

 5 5 3 
W   5 8 2 


 3 2 15 

W  T xy z xy  xz yz
СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
r  eigenvals ( W)
СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ
 0.334 0.908 0.255 
Q   0.936 0.352 0.028 


 0.115 0.229 0.967 
 1  2
Q Q  0
 10.031 
r   6.184 


 15.847 
СРАВНИВАЕМ
 15.847 
   6.184 


 10.031 
Q  eigenvecs ( W)
СРАВНИВАЕМ
 1  3
Q Q  0
 0.255 0.908 0.334 
S   0.028 0.352 0.936 


 0.967 0.229 0.115 
 2  3
Q Q  0