МОУ4

МОУ «Судогодская средняя общеобразовательная школа №2»
Методическая разработка темы по алгебре «Квадратные уравнения».
Учебник «Алгебра 8»
Автор А.Г.Мордкович, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская,
М.: Мнемозина, 2007 г.
Автор: Жукова Надежда Владимировна,
учитель высшей квалификационной категории
.
Тема « Квадратные уравнения»
Тематическое планирование
№
Тема
пункта
п.19
Основные понятия
Тест № 1.
п.20,
Формулы корней квадратного уравнения.
п.2 3
Тест № 2.
Обобщающий урок. Тест № 3.
п.21
Рациональные уравнения.
п.22
Рациональные уравнения как математические модели реальных
ситуаций.
Тест № 4.
п.24
Теорема Виета.
Тест № 5.
п.25
Иррациональные уравнения.
Контрольная работа
Всего:
Количество
часов
2
5
1
3
4
2
3
1
21
Содержание.
Урок № 1. Тема: «Определение квадратного уравнения»
Цель: сформулировать определения квадратного уравнения, полного и неполного
квадратного уравнения; научить находить коэффициенты и свободный член, различать
виды квадратных уравнений;
повторить понятия: решение уравнения, корень уравнения, решить
уравнение;
научить решать неполные квадратные уравнения.
Урок № 2. Тема: «Решение неполных квадратных уравнений».
Цель: закрепить изученный материал и проверить уровень усвоения.
Тест № 1. (контролирующего характера)
вариант 1.
1.Какое из уравнений является квадратным:
а) 5х² - 4/х = 0;
б) х² - 2х³ +7 = 0;
в) 4х + 3 = 0;
г) 1,2х² - 3х + 1 = 0 ?
2.В квадратном уравнении - 2х² + 7х + 6 = 0 укажите его коэффициенты.
Ответы: 1) а =7, b =6, с =-2
2) а =7, b =-2, с =6
3) а =-2, b =7, с =6
4) а =-2, b =6, с =7
3.Определите какое из приведенных уравнений является равносильным уравнению
х² + (2 – х)(2х + 1) = 0
Ответы: 1) 3х² + 5х + 2= 0
2) -х² + 3х + 2= 0
3) х² + 3х - 2= 0
4) -х² -3х + 2= 0
4.Найдите корни уравнения 6а² - 54 = 0
Ответы: 1) 0; 3; 2) –3;3; 3) нет корней; 4) 3.
5.Какие из чисел –4; -2; -1; 0; 2
являются корнями уравнения 4х² + 8х = 0 ?
Ответы: 1) -2; 0; 2) 0;2; 3) -4;-1; 4) –4; 0.
6.Решите уравнение: 1 – 4у + 3у² = у² – 4у + 9
Ответы: 1) -2; 0; 2) -2;2; 3) 2; 4) 0.
7.При каком значении а один из корней уравнения
3х² – а = 0
равен 1?
Ответы: 1) –1; 2)1;
3) –3; 4) 3
Тест № 1. (контролирующего характера)
вариант 2.
1.Какое из уравнений является квадратным:
а) -3х² + 4/х = 0;
б) -х² + 4х³ +8 = 0;
в)-5х + 3 = 0;
г)0,2х² + 13х + 10 = 0 ?
2.В квадратном уравнении х² -77х + 2 = 0 укажите его коэффициенты.
Ответы: а) а =77, b =1, с =2
б) а =77, b =2, с =77
в) а =1, b =-77, с =2
г) а =1, b =77, с =-2
3.Какие из чисел –4; -2; -1; 0; 3
являются корнями уравнения -2х² + 6х = 0 ?
Ответы: а) -2; 0; б) 0;3; в) 3;-1; г) –4; 0.
4.Найдите корни уравнения: 3а² - 75 = 0
5.Решите уравнение: (2х – 9)(х + 1) = (х –3)(х + 3)
6.При каком значении а корни уравнения
х² +(а + 1)х + а - 8 = 0
являются
противоположными числами?
Ключ к проверке:
1 вариант
1) г; 2) в;
3) а;
2 вариант
1) г; 2) в;
3)б;
4) – 3; 3;
5) 0; 7;
4) –5; 5;
5) 0; 7;
6) 2
6) - 1
Урок № 3-4. Тема «Формулы корней квадратного уравнения»
Цель: повторить понятия: решение уравнения, корень уравнения, решить уравнение;
вывести формулы дискриминанта и корней ( D = b² - 4 ac,
-b - √D
-b + √D
х=
х=
)
2а
2а
научить определять количество корней квадратного уравнения или их отсутствие;
научить находить корни по формулам.
Урок № 5-6. Тема «Формулы корней квадратного уравнения»
Цель: вывести формулы для нахождения корней квадратного уравнения при условии, что
второй коэффициент четный ( D/4 = (b/2)² - ас)
-b/2 - √D/4
-b/2 + √D/4
х=
х=
)
а
а
научить использовать эти формулы при решении квадратных уравнений;
показать другие рациональные способы решения квадратных уравнений.
Урок № 7. Тема «Формулы корней квадратного уравнения»
Цель: обобщить изученный материал, провести консультацию по вопросам учащихся,
проверить уровень подготовленности к итоговому контролю.
Тест № 2. (контролирующего характера)
вариант 1.
1.Вычислите дискриминант квадратного уравнения 3х² + х – 4 = 0
Ответы: а) 13; б) 49; в) – 47; г) 12
2.Определите, имеет ли квадратное уравнение
2х² + 5х – 7 = 0 корни и если
имеет, то сколько?
Ответы: а) 1 корень имеет; б) не имеет корней; в) имеет 2 корня
3.Найдите корни уравнения 9х² – 6х + 1 = 0
Ответы: а) 2/3; б) 1/3;
в) –1/3;1/3 г) –2/3
4.Решите уравнение: 6х ² = 5х + 1
5.Найдите сумму корней уравнения:
х² - 3х
+ х = 11
7
6. Один из корней уравнения х2 + kх + 45 = 0 равен 5. Найдите другой корень и
коэффициент k.
Тест № 2. (контролирующего характера)
вариант 2.
1.Вычислите дискриминант квадратного уравнения 2х² - 5 х + 3 = 0
Ответы: а) 49; б) -1;
в) 1;
г) 25
2.Определите, имеет ли квадратное уравнение
х² + 7х + 6 = 0 корни и если
имеет, то сколько?
Ответы: а) 1 корень имеет; б) не имеет корней; в) имеет 2 корня
3.Найдите корни уравнения х² +10х + 9 = 0
Ответы: а) -1; -9; б) -1; 9; в) -9;1;
г) 1;9
4.Решите уравнение 5х ² = 9х + 2
5.Найдите сумму корней уравнения
х² +5х
- 1 =2
2
6. Один из корней уравнения х2 -26 х + q = 0 равен 12. Найдите другой корень и
свободный член q.
Ключ к проверке:
1 вариант
1) б; 2)в;
3) б;
2 вариант
1)в; 2) в;
3) а;
4) 1; -1/6;
4) 2; -0,2
5) –4;
5) – 5;
6) k = -14; х = 9.
6) q =168; х = 14
Урок № 8. Тема «Решение квадратных уравнений»
( обобщающий урок)
Тест № 3. (контролирующего характера)
1.Определите имеет ли квадратное уравнение 2х² + 5х –7 =0
сколько?
Ответы: а) 1 корень; б) 2 корня; в) нет корней.
2.Найдите корни уравнения 5х² –6х +1 =0
Ответы: а) –0,2; -1; б)1; 0,2;
в) 0,2; -1
3. Решите уравнение: 3х2 + х = 2
Ответы: а) –2/3; -1; б)1; 2/3;
в) 0,2; -1
4. Найдите произведение корней уравнения:
(х-2)(х+2) = 7х –14
5.При каких значениях х равны значения многочленов
6. При каком значении а уравнение
1 вариант.
корни и если имеет, то
(х+1)2
х² +3ах + а =0
и 7х - 3х² ?
имеет один корень?
Тест № 3.
(контролирующего характера)
1.Определите имеет ли квадратное уравнение х² + 7х +6 =0
сколько?
Ответы: а) 1 корень; б) 2 корня; в) нет корней.
2.Найдите корни уравнения 4х² –х -3 =0
Ответы: а) 3/4; 1; б)1; -3/4;
в) 3/4; -1
3. Решите уравнение: 2у2 – у = 3
Ответы: а) 1,5; -1; б)1; -1,5;
в) 1,25; -1
4.Найдите произведение корней уравнения:
(х-1)(х+1) = 3 –3х
5.При каких значениях х равны значения многочленов
6. При каком значении а уравнение
Ключ к проверке:
1 вариант
1)б; 2)б;
3)а;
2 вариант
1)б; 2)б;
3)а;
4) 10;
4)-4 ;
5) 1; 0,25;
5) 1; 1/3;
2 вариант.
корни и если имеет, то
(х – 1)2
х² –ах + 9 =0
и 2х - 2х2 ?
имеет один корень?
6) 0; 4/9.
6) –6; 6.
Тест №4. (контролирующего характера)
В.1.
1.Решите уравнения, в ответе укажите наибольший корень:
1) х – 1
= 4 + 2х ; 2) 6х + 1 = 5;
2
3
х
Ответы: 1) А.1,1; Б.11; В. -11
2) А.-0,5; -1/3; Б.10; -0,5;
В. ½; 1/3
2.Докажите, что уравнение не имеет корней:
3х – 1
1
-
6х – 3
=
1 – 4х2
х
2х + 1
3.Туристы отправляются на лодке к водопаду с намерением вернуться через 5 ч. Скорость
течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки 8 км/ч. На каком расстоянии находится
водопад, если перед возвращением они планировали пробыть на берегу 3 ч?
Тест №4. (контролирующего характера)
В.2.
1.Решите уравнения, в ответе укажите наименьший корень:
1) 3х – 2
= 2 + х ; 2) 5х + 6 = 11;
5
3
х
Ответы: 1) А.-1; Б.4; В. 1
2) А.2; -3; Б.1; -2;
В. 1; 1,2
2.Докажите, что уравнение не имеет корней:
1
4х – 6
+
2х - 5
18 – 8х2
=
1
2х2 +3х
3.Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением
вернуться назад через 5ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. На какое
наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки 2 км/ч, а
собственная скорость лодки 6 км/ч?
Тест №5. (контролирующего характера)
В.1.
1.Найдите произведение и сумму корней квадратного уравнения:
х2 – 11х + 30 = 0
Ответы: 1) А.30; 11; Б.11;30; В. 30; -11.
2.Найдите значение параметра, если:
1) х2 + рх – 24 = 0, х1= 6;
2) х2 – 4х +q = 0, х1= - 5
Ответы: 1) А.2; Б.-2; В.- 4.
2) А.9 ; Б.45; В. -45.
3.Составьте квадратное уравнение, если его корни х1= - 1/5; х2 = 2/3
4.Один из корней квадратного уравнения 2х2 – 3х + k = 0 в 2 раза больше другого.
Найдите корни уравнения и коэффициент k.
Тест №5. (контролирующего характера)
В.2.
1.Найдите произведение и сумму корней квадратного уравнения:
х2 – 17х + 72 = 0
Ответы: 1) А.72; 17; Б.17;72; В. 72; -17.
2.Найдите значение параметра, если:
1) х2 + рх – 35 = 0, х1= -5;
2)х2 – 11х +q = 0, х1= 15
Ответы: 1) А.2; Б.-2; В.7.
2) А.-4 ; Б.60; В. -60.
3.Составьте квадратное уравнение, если его корни х1= - 3/7; х2 = 1/4
4. Один из корней квадратного уравнения 2х2 +10х + q = 0 на 3 больше другого. Найдите
корни уравнения и свободный член q.
Контрольная работа.
Вариант1.
1.Даны квадратные уравнения: х2 –7х = 0;
х2 – 4х + 3 = 0.
Найдите сумму корней неполного квадратного уравнения и произведение корней
приведенного квадратного уравнения.
Ответы: 1) А.-7; Б.7; В.0.
2) А.-4 ; Б.-3; В. 3.
2.Решите уравнение: 2х2 – 5х + 2 = 0
Ответы: 1) А.2; 0,5; Б.4; 1; В.-2; 1.
х
6
3.Найдите наибольший целый корень уравнения: х + 2 +
=
2
х-1
х+1
х -1
4.Разность корней уравнения 2х2 – 5х + с = 0 равна 1,5. Найдите с.
5.Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов.
Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч.
Вариант2.
1.Даны квадратные уравнения: 2х2 - 50 = 0;
х2 – 6х + 5 = 0.
Найдите сумму корней неполного квадратного уравнения и произведение корней
приведенного квадратного уравнения.
Ответы: 1) А.50; Б.0; В.5.
2) А.-6 ; Б.-5; В. 5.
2.Решите уравнение: 2х2 – 3х - 2 = 0
Ответы: 1) А.2; -0,5; Б.4; -1; В.-2; -1.
х
8
3.Найдите наибольший целый корень уравнения: х - 1 +
=
2
х+2
х-2
х -4
2
4.Разность корней уравнения 2х – 3х + с = 0 равна 2,5. Найдите с.
5.Катер прошел 80 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 9 часов.
Найдите скорость течения реки, если скорость катера в стоячей воде 18 км/ч.
МОУ «Судогодская средняя общеобразовательная школа №2»
Конспект урока алгебры в 8 классе по теме :
Жукова Надежда Владимировна,
учитель высшей квалификационной категории
Тип урока: обобщающий
Цели:
повторение определения и видов квадратных уравнений, условий существования и
формул корней; обобщение способов решения полных и неполных квадратных
уравнений; систематизирование знаний по теме;
- формирование развития логического мышления учащихся, их математической речи и
творческих способностей;
- воспитание положительной мотивации к предмету на уроке и добросовестного
отношения к посильному труду.
-
Ход урока.
I. Устная фронтальная работа .
1.На доске записаны уравнения:
а) 3х² - у² + 5 = 0; б) 3х² = 0; в) 1/5 х – 4 = 0;
г) 2х² – 5х +5 =0; д) 3х³ +2х = -6; е) 0,25х – х² = 0;
ж) 1/х² + х – 6 =0; и) 0,7 х² + 49 = 0; к) 4 – х + 2х² = 0
Сгруппируйте эти уравнения по определенному признаку.( Полные квадратные
уравнения, неполные квадратные уравнения, уравнения не являющиеся квадратными)
2.Ответьте на вопросы.
1.Какие уравнения называются квадратными?
2. Какие уравнения называются неполными квадратными уравнениями?
3.Что называется корнем уравнения?
4.Поясните смысл задания :
решите уравнение х( х + 1) = 6
3.На доске записаны уравнения:
а)3х² = 0; б) 4х ²– 8х =0; в) 3х² =1/2; г) х² + 49 = 0;
д) 3х² = - 15; е) 2х² – 4 =0; ж) 3х² = 15х; и) 0,25 х ²= 0
Выберите из них те, которые имеют а) один корень;
б) два противоположных корня;
в) два различных по модулю корня;
г) не имеют корней.
Ответ обоснуйте.
( а) в =0, с=0 - один корень; б) в=0, а и с имеют разные знаки - два противоположных
корня ; в) с=0 - два различных по модулю корня; г) в=0, а и с имеют одинаковые знаки
- корней нет.)
II. Индивидуальная работа.
При каких значениях m корни уравнения х² – 4х – mх + 2m – 1 = 0
являются противоположными числами?
( выполняет задание сильный ученик одновременно с работой класса над 3 заданием.
Решение показывает на доске)
х² –х(4 + m) + 2m – 1 =0,
4 + m =0, 2m – 1 <0, т.е. m = - 4
III. Самостоятельная дифференцированная работа по карточкам.( учащиеся
самостоятельно выбирают свой уровень сложности)
1. вариант ( на «3»)
Решите уравнение: 1) 3х² + 9х = 0;
2) 6х² = 0;
3) 7х² + 28 = 0;
4) 2х² – 18 = 0
2 вариант ( на «4 и 5»)
Составьте неполное квадратное уравнение, у которого
а) один из корней равен нулю;
б) корни – противоположные числа;
в) каждый корень равен нулю;
г) корней нет.
IV. Устная работа.
На доске записаны уравнения и даны 3 вида ответов к ним. Выберите верный из них и
обоснуйте.
Уравнения:
Ответы:
а) ( 6х + 12)(3х – 4) =0
1) –2; 4/3;
2) 2; 4/3;
3) – 4/3; 2
б)16х² –24х +9 =0
1) -3/4;
2) ¾;
3)4/3
в) (х – 2)² = 9
1) 5; -1;
г) 5х² –7х + 2 =0
1)-1; -2/5;
д) 11х² + 17х + 6 =0
1) –1; - 6/11;
2) 1; –5;
2) 0,4; -1;
3)11
3) 1; 2/5
2) –1; 6/11;
3) 6/11; 1
V. Работа с группой ребят, которым необходимо постоянное внимание.
Как определить имеет ли квадратное уравнение корни, и каково их количество?
( Если D <0, то корней нет, если D> 0, то 2 корня, если D=0, то 1 корень)
Какое из следующих уравнений имеет: а) различные корни; б) равные корни; в) не имеет
корней?
1) 3х² + 7х +5 =0
( D= -11)
2) 9х² – 6х +1 =0
( D= 0)
3) 3х² – 5х –2 =0
( D= 49)
Найдите корни 3 уравнения.
VI .Во время работы с группой три человека выполняют на доске задания повышенной
сложности.
1.Найдите все значения m , при которых уравнение mх² – 4х +1 =0, где m = 0
а) имеет два различных корня;
б)не имеет корней;
в) имеет один корень.
(
mх² – 4х +1 =0
D= 16 – 4m
а) D>0, то 16 – 4 m> 0, m < 4
б) D < 0, то 16 – 4 m< 0 , m > 4
в) D = 0, то 16 – 4 m = 0, m = 4)
2.Найдите значения m , при которых корни уравнения
х² –6х + 3(m – 1) =0 равны.
( х² –6х + 3(m – 1) =0
D=0
( - 6 )² - 4· 3 (m – 1) =0
36 – 12 m + 12 =0
48 – 12m =0
m=4)
3. Решите уравнение:
(
-х ( 4х +1) = ( х+ 2)(х –2)
-х ( 4х +1) = ( х+ 2)(х –2)
-4х² –х² –х + 4 =0
-5х² – х + 4 =0
5х² + х – 4 =0
х = -1;
х = 4/5 )
После проверки решений ребята делают вывод.
Чтобы решить квадратное уравнение надо
1) выполнить преобразования ( раскрыть скобки, привести подобные слагаемые),
привести уравнение к виду ах² +бх +с =0, где а = 0;
2) вычислить D, т.о. определить имеет ли уравнение корни или нет;
3) вычислить корни уравнения.
VII. Для проверки усвоения материала выполняется тестовая самостоятельная работа.
1 вариант.
1.Определите имеет ли квадратное уравнение 2х² + 5х –7 =0 корни и если имеет, то
сколько?
Ответы: а) 1 корень; б) 2 корня; в) нет корней.
2.Найдите корни уравнения 5х² –6х +1 =0
Ответы: а) –0,2; -1; б)1; 0,2;
в) 0,2; -1
3. Решите уравнение: 3х2 + х = 2
Ответы: а) –2/3; -1; б)1; 2/3;
в) 0,2; -1
4. Найдите произведение корней уравнения:
(х-2)(х+2) = 7х –14
5.При каких значениях х равны значения многочленов
6. При каком значении а уравнение
(х+1)2
х² +3ах + а =0
и 7х - 3х² ?
имеет один корень?
2 вариант.
1.Определите имеет ли квадратное уравнение х² + 7х +6 =0
сколько?
Ответы: а) 1 корень; б) 2 корня; в) нет корней.
2.Найдите корни уравнения 4х² –х -3 =0
Ответы: а) 3/4; 1; б)1; -3/4;
в) 3/4; -1
2
3. Решите уравнение: 2у – у = 3
Ответы: а) 1,5; -1; б)1; -1,5;
в) 1,25; -1
4.Найдите произведение корней уравнения:
(х-1)(х+1) = 3 –3х
5.При каких значениях х равны значения многочленов
6. При каком значении а уравнение
Ключ к проверке:
1 вариант
1)б; 2)б;
3)а;
2 вариант
1)б; 2)б;
3)а;
4) 10;
4)-4 ;
5) 1; 0,25;
5) 1; 1/3;
корни и если имеет, то
х² –ах + 9 =0
(х – 1)2
и 2х - 2х2 ?
имеет один корень?
6) 0; 4/9.
6) –6; 6.
Критерии оценивания работы:
На «3»
На «4»
На «5»
- №1 и №2
- №2, №3, №4 или №5
- №3, №4, №5
После выполнения работы и сдачи тетрадей ребята по ключу оценивают уровень усвоения
материала.