Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2 г.Зеленокумска Советского района» Ставропольского края Конспект обобщающего урока алгебры и начал анализа в 11 классе по теме «Общие методы решения уравнений» Учитель МОУ «СОШ№2 г. Зеленокумска» Токарева Т.И. 2013 г. Цель урока. 1. Обобщить теоретические знания по теме «Общие методы решения уравнений»; 2. Рассмотреть решения задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложности; 3. Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний. I этап урока – организационный (1 минута) Учителем сообщается тема урока и цели урока. II этап урока (10 минут) Повторение теоретического материала по теме «Равносильность уравнений» Учитель: Мы с вами познакомились с методами решения уравнений различных видов: квадратных и линейных; показательных и логарифмических; иррациональных и тригонометрических. Если обобщить известные нам способы решения этих уравнений, то мы увидим – у них много общего. Сегодня мы постараемся систематизировать наши знания по методам решения уравнений. В процессе решения сложного уравнения вам приходится шаг за шагом заменять его более простым уравнением. В итоге вы получаете достаточно простое уравнение и находите его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения? Если все преобразования были равносильными, т.е. каждое последующее уравнение было равносильно предыдущему, то ответ на поставленный вопрос положителен, если же равносильность хоть в каком то шаге нарушилась, то возможно вы потеряли корни или получили посторонние. Например: Уравнение 2 х 7 х 3 заменили уравнением 2х + 7 = (х – 3)2. Равносильность нарушилась? Учащиеся: Да. Последнее уравнение определено для любых значений «х», а 2 х 7 0; х 3 0. исходное только для «х», удовлетворяющих системе: Учитель: Вспомните: какие уравнения называют равносильными? Учащиеся: Два уравнения с одной переменной называют равносильными, если множества их корней совпадают; Учитель: Какие преобразования могут привести к появлению посторонних корней? 2 Учащиеся: Если в процессе решения выполнялись преобразования, приводящие к расширению ОДЗ уравнения, то могут появиться посторонние корни; Учитель: Какие преобразования могут привести к потере корней? Учащиеся: И наоборот, если выполняли операции, приводящие к сужению ОДЗ, то могли потерять корни. Учитель: Замечательно. Ну а теперь перечислим возможные причины расширения ОДЗ и сужения ОДЗ. Учащиеся перечисляют причины, приводящие к нарушению равносильности, а учитель корректирует их ответы и дополняет, если это необходимо. Должны быть перечислены следующие причины: а) расширения ОДЗ (появление посторонних корней): Освобождение от знаменателей, содержащих переменную; Освобождение от корня четной степени; Отбрасывание знака логарифма. б) сужения ОДЗ (потеря корней) : Деление на выражение с переменной; Приписывание знаков логарифма и корня четной степени; Неверное извлечение корня четной степени из четной степени ( 2 n x 2 m ); Неверное применение других формул, например logabc = log a b + log a c, где bc >0. Учитель заранее подготовил формулировки теорем о равносильности уравнений (на плакате или на интерактиной доске или на листах для каждого ученика) и на протяжении всего урока теоремы должны быть доступны для визуального обращения к ним (очень легко это организовать с помощью интерактивной доски). Теоремы равносильности уравнений: № Формулировка Математическая п\п модель Если какой-нибудь член уравнения перенести из f ( x ) = g ( x ) одной части уравнения в другую, с f ( x ) - g ( x )= 0 1 противоположным знаком, то получится уравнение равносильное данному. Если обе части уравнений возвести в одну и ту же f ( x ) = g ( x ) 2n+1 2 нечетную степень, то получится уравнение f ( x ) = g2n+1 ( x ) равносильное данному. Показательное уравнение a f ( x )= a g ( x ) ( где а >0, а a f ( x ) a g ( x ) ; ≠ 0) равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ). a 0; 3 a 1; f ( x ) = g ( x ). 3 4 5 6 Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) умножить на одно и то же выражение h ( x ), которое: а) имеет смысл всюду в области допустимых значений уравнения f ( x ) = g ( x ); б) нигде в этой области не обращается в 0, то получится уравнение f ( x )h ( x )= g ( x)h (x ), равносильное данному. Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения его обеих частей в одну и туже четную степень получится уравнение равносильное данному. Если f (x ) >0 и g ( x ) > 0, то логарифмическое уравнение log a f( x ) = log a g( x ), где а > 0, а ≠ 1, равносильно уравнению f ( x ) = g ( x ). f ( x ) g ( x ); ОДЗ D ( h); h( x ) 0; f (x) h(x) = g(x) h(x). f ( x ) g ( x ); f ( x ) 0; g ( x ) 0; f 2n(x) = g 2n(x). log a f( x ) = log a g( x ) f ( x ) g ( x ); f ( x ) 0; g ( x ) 0; Учитель обращает внимание учащихся на то, что теоремы 1 – 3 не требуют никаких дополнительных условий, а теоремы 4 – 6 гарантируют равносильность только при выполнении всех условий, перечисленных в них. Полезно, также заметить, что теоремы 3 и 6 можно объединить в общую теорему: 7 Уравнение h (f ( x )) = h (g ( x )) равносильно уравнению f (x) = g(x), если: а) функция h ( t ) – монотонна; б) ОДЗ исходного уравнения совпадает с ОДЗ полученного уравнения. h( f ( x)) h( g ( x)); h(t ) монотонная; f (x) = g(x), ОДЗ! III этап урока (24 минуты) Общие методы решения уравнений 1. Замена уравнения вида h (f ( x )) = h (g ( x )) на уравнение f (x) = g(x). Учитель: Рассмотрим следующие уравнения: 1) 3 2 -5х = 3 х² - 4х ; 4) ( 3х2 – 2)4 = (х – 3)4; 7 х 3 5х 1 ; 1 5) lg =lg(2x – 7); х 7) 7 х 5х 1 2) 3 Для каких из них можно применить данный метод? 4 3) (2x4+1)5=(1-x3)5 ; 6) cos(3x-1) = cos(3 -9x). Учащиеся: Для 1, 2, 3 и 5-го, т.к. функции y = a t , y = 3 t ,y = t , y = t 5 и y = logat – являются монотонными, а функции: y = t4, y = cost не являются монотонными. Учитель: Решим уравнения 2 ,7 и 1, 5 №2 7 х 5х 1 7-х=5х+1 х=1 3 3 Ответ: 1 №7 7 х 5 х 1; 7 х 5 х 1; 7 х 5 х 1 7 х 0; 7 х 0; 5 х 1 0; х 1; х=1 х 7; Ответ: 1 Учитель обращает внимание на отсутствие дополнительных условий в уравнении (2), и их наличии в уравнении (7), что связано с определением корня нечетной(четной ) степени. Возможен другой вариант рассуждений в уравнении (7): 7 х 5 х 1 , 7-х = 5х + 1, х = 1. х 7; 7 х 0; ОДЗ: 1 х ; 5 х 1 0; 5 1 х 7. 5 Т.к. число 1 принадлежит ОДЗ ур-ния, то оно является корнем исходного уравнения. Ответ: 1 №1 №5 2 - 5х х² - 4х 3 =3 1 2 х 2 х 7; 2-5х = х -4х х 2; х2+ х – 2=0 х 1. Ответ: -2; 1 lg =lg(2x – 7) 0; 1 х 2 х 7 0; 1 х 2 х 2 7 х 1 0; х 3,5; 7 57 0; х 4 7 57 . х = 7 57 4 0; х 4 х 3,5; Ответ: 7 57 . 4 Учитель снова обращает внимание на отсутствие дополнительных условий в уравнении (1), и их наличии в уравнении (5), что связано с определением логарифма. Возможен другой вариант решения уравнения (5): 5 1 х lg =lg(2x – 7), Ответ: 7 57 7 57 1 ОДЗ . = 2х -7, 2х2- 7х – 1 = 0, х1= ОДЗ; х2 = 4 х 4 1 0; ОДЗ: х х>3,5. 2 х 7 0; 7 57 . 4 2. Метод разложения на множители. Учитель: Вспомним способы разложения на множители. Учащиеся: Вынесение за скобки общего множителя; Формулы сокращенного умножения; Группировка. Учитель: Совершенно верно. Решите данным способом следующие уравнения: 1. x∙42x-1 + 16∙42x -1=0 2. х3- 3х2 - 4х+ 12 = 0. 3. (2 - х)log 5 (x - 3)+2 = x; 2x-1 2 4 (x + 16) =0 , х (х – 3) – 4(х – 3) = 12, (2 - х)log 5 (x -3)+2 – x = 0; 2x-1 2 4 = 0 или х + 16 = 0 (х – 3)(х – 4) = 0, (2 - х)(log 5 (x -3)+ 1) = 0, 2 Реш.нет х = - 16 х – 3 = 0 или х – 4 = 0, 2–х=0 или log5(x -3)+1= 0 Ответ: - 16 х=3 х = ±2 х=2 log5(x -3)= -1 Ответ: ±2; 3 х – 3 = 5-1 Все преобразования Все преобразования х = 3 + 1/5 равносильны равносильны x = 3,2 Равносильность нарушилась ОДЗ: х – 3 > 0, х > 3 2 ОДЗ, 3,2 ОДЗ. Ответ: 3,2 Во время решения учитель постоянно обращает внимание учащихся на выполнение или невыполнение равносильности в ходе преобразований, таблица с теоремами о равносильных уравнениях помогает в этом. 3. Метод введения новой переменной. Учитель: Мы часто пользовались этим способом в уравнениях различного вида. 1. Его применяют, если в уравнении встречаются одинаковые «конструкции», которые и заменяют новой переменной; 2. Затем решают уравнение с новой переменной, выполняют отбор полученных корней; 3. Возвращаются к старой переменной, решают его, если необходимо, снова производят отбор корней и записывают ответ. 6 Рассмотрим уравнения: 2. cos 2x – 5 sin x – 3 = 0; Преобразуем уравнение к виду: 1 – 2 sin2x – 5 sin x – 3 = 0, 2 10 х u, Пусть тогда 2 sin x + 5sin x + 2 = 0, пусть sin x = u, где u 1;1 . 2 2 10 2 5 10 х х х u , где u ≥ 0 . Составим уравнение с новой переменной: Уравнение примет вид: 2 2u2 + 5u + 2 = 0, u - u – 2 = 0, u1=2, u2 = -1. u1= -1/2, Число «-1» не удовлетворяет условию u2= -2, что не удовлетворяет условию u ≥ 0. 10. 10 u1;1. Значит: х 2 , х = 2 Решим уравнение sin x = - ½, 1. 5 х 10 х 2 0; X = (-1)n+1 6 n, n Z . Ответ: (-1)n+1 6 n, n Z . Ответ: 210. 4. Функционально-графический метод. Учитель: Применяется в том случае, если в уравнении записаны функции разной природы (тригонометрическая и показательная, логарифмическая и линейная и т.д.). Идея графического метода решения уравнения f (x) = g(x), очень проста: нужно построить графики уравнений y = f (x) и y = g(x) и найти точки их пересечения. Т.к. метод называется функционально-графическим, а не просто графическим, то построение графиков можно заменить ссылкой на какие-либо свойства функций. Например: Если одна функции y = f (x) возрастает, а другая y = g(x) – убывает, то уравнение f (x) = g(x) либо не имеет корней либо имеет один корень (который можно найти подбором); Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций y = f (x), y = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f (x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений: f ( x ) A; g ( x ) A. Рассмотрим уравнения: 1. Сколько корней имеет уравнение: 2х = sin x, на промежутке [0;+∞). 2. Решите уравнение х 1 х4 3 7 Первое уравнение решаем графически (Ответ:0, решений нет), а второе, х используя различный характер монотонности функций 1 y = и 3 у = х4 (Ответ: -1). Необходимо указать учащимся на то, что подобрать корень в уравнении (2) недостаточно, нужно доказать, что он единственный. Более сложные уравнения лучше рассмотреть на следующих уроках. Учитель: Итак, мы с вами повторили общие методы решения уравнений. Это не значит, что других методов нет. В каждом случае при решении уравнения необходимо руководствоваться знаниями, интуицией и здравым смыслом. IV этап урока (20 минут) Разноуровневая самостоятельная работа Учитель сообщает учащимся о времени, отведенном на самостоятельную работу (20 мин) и раздает карточки. Учащиеся разбиты на три группы: 1. Слабая математическая подготовка – репродуктивный уровень (они выполняют задания под контролем учителя); 2. Учащиеся со средней математической подготовкой – конструктивный уровень; 3. Учащиеся, интересующиеся математикой – творческий уровень. Во время выполнения работы учитель, при необходимости, помогает учащимся 1-й группы выполнять задания наводящими вопросами. По истечении времени учащиеся сдают работы. Тексты вариантов самостоятельной работы I группа Вариант 1.1. Вариант 1.2. 3, 2 0 ,8 1 1 1. Упростите выражение 4 р р 1. Упростите выражение: 81b 4 b 4 5 2. Вычислите: log 1 20 log 1 5. 2. Вычислите: log 5 log 2 2 8 1 3. Решите уравнение : 27 2 0 , 5 x 1 3. Решите уравнение : 9. 2 1 125 0 , 2 x 1 4. Решите уравнение: 4. Решите уравнение: 5. Решите уравнение с помощью введения новой переменной: 5 Решите уравнение с помощью введения новой переменной: lg( x 7) 1 lg( x 5) 4х - ln( x 4) ln 3 ln( x 3) 32 14. 4х 2х - 6. Решите уравнение с помощью разложения на множители: х2 3 х 16 3 х 0. 16 6 . 2х 6. Решите уравнение с помощью разложения на множители: 2х х2 9 4 х2 9 0 8 25. II группа Вариант 2.1. 1. Вычислите: 4 2 log 3 12 2. Укажите число корней уравнения : Вариант 2.2. 1. Вычислите: log 3 4 log 2 3 3 2. Укажите число корней уравнения : 4 log 2 ( x 6) 0,5 log 2 x log 1 ( x 2 1) log 1 (2 x ) 3 3 3. Решите уравнение с помощью введения новой переменной: 3. Решите уравнение с помощью введения новой переменной: 2 x 3 3 x 3 10 0 4. Решите уравнение с помощью разложения на множители: 2 x2 6 x2 7 0 4. Решите уравнений с помощью разложения на множители: 3x 2 3x 216 5 x 2 11 5 x 180 5. Решите уравнение: 4 10 lg x 6 x 11. 5. Решите уравнение: 9 5lоо x 17 x 12. 5 III группа Вариант 3.1. 1. Найдите ординату точки пересечения графиков функций: у log 2 x и у 5 log 2 ( x 4) Вариант 3.2. 1. Найдите абсциссу точки пересечения графиков функций: у log 3 (2 x 1) и у 2 log 3 ( x 1) 2. Найдите сумму корней уравнения: 2. Найдите произведение корней уравнения: 3х+2 + 3х+1 + 3х= 39. 3. Найдите произведение корней уравнения: 64 x x 2 4 6 x x 2 4 0 2 3. Найдите наибольший корень уравнения: 3 2 log 1 x 16 1 log 1 x 2 2 7 2(log3 x ) 8 7 (log3 x ) 7 0 16 4. Решите уравнение: log 2 (3 x) 6 x 2009 4. Решите уравнение: 5 log 2 (5 x) х 1 IV этап урока (5 минут) Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию Учитель еще раз обращает внимание, на те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки. 9 Д/З: Задачник Алгебра и начала анализа 10-11 кл., А.Г. Мордкович и др: №№ 1681 (а,б*), 1683(а, в*), 1690(а), 1692*(а), 1695 (а), 1697*(а), 1700(в), 1705*(а). * отмечены номера повышенного уровня сложности. Учащиеся их решают по желанию. 10