6429. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от неё. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. На какое расстояние по горизонтали перемещается шарик между первым и вторым ударами о плоскость? Скорость шарика в момент первого удара направлена вертикально вниз и равна 1 м/с. Решение. Направим оси прямоугольной декартовой системы координат так, как показано на рисунке: ось X вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Y перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Начало координат совместим с точкой, в которой шарик в первый раз соударяется с плоскостью. Так как этот удар абсолютно упругий, то после него скорость шарика сохраняет свой модуль, равный v0 = 1 м/с. При абсолютно упругом соударении проекция скорости шарика на наклонную плоскость остается неизменной, а проекция скорости шарика на нормаль к наклонной плоскости изменяет свой знак на противоположный. Поэтому сразу после первого удара вектор скорости шарика направлен под углом 𝜋 −2∙𝛼 2 к горизонту, то есть под углом α к оси Y (угол α = 30°). Вектор ускорения свободного падения g имеет проекции на оси X и Y, равные 𝑔 ∙ sin 𝛼 и 𝑔 ∙ cos 𝛼, соответственно. Запишем закон равноускоренного движения шарика (в промежутке между первым и вторым ударами) в проекциях на оси X и Y: 𝑔 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑡 2 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑡 2 𝑥(𝑡) = 𝑣0 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝑡 + ; 𝑦(𝑡) = 𝑣0 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑡 − . 2 2 Пусть через время t=τ после первого соударения шарик ударится о наклонную плоскость во второй раз. В этот момент времени координата y шарика обратится в ноль, то есть 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝜏 2 𝑦(𝜏) = 𝑣0 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝜏 − = 0. 2 Отсюда 2 ∙ 𝑣0 𝜏= . 𝑔 За это время шарик сместится вдоль оси X (то есть вдоль наклонной плоскости) на расстояние 𝑔 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝜏 2 4 ∙ 𝑣02 ∙ sin 𝛼 𝐿 = 𝑥(𝜏) = 𝑣0 ∙ sin 𝛼 ∙ 𝜏 + = . 2 𝑔 При этом перемещение шарика по горизонтали составит 2 ∙ 𝑣02 ∙ sin 2𝛼 𝑆 = 𝐿 ∙ cos 𝛼 = . 𝑔 Считая, что ускорение свободного падения g=10 м/с2, получим численный ответ: 𝑆 = 0.17 м = 17 см. При решении этой задачи большую роль играет удачный выбор направления осей прямоугольной системы координат. Выбор, сделанный в приведенном решении, заметно упрощает формулы, необходимые для получения ответа. Если же направить оси системы координат традиционным способом - горизонтально и вертикально - то решение задачи заметно усложнится, так как исходные формулы и вычисления станут гораздо сложнее.