при . Для V i

Содержание
ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................. 3
1. Квазистационарное решение для токового «пятна» конечной длины на
контактной поверхности рельсов .......................................................................... 8
1.1. Постановка задачи ................................................................................. 8
1.2. Анализ решения ..................................................................................... 9
1.3. Безразмерный параметр подобия Rem ................................................ 11
1.4. Скоростной скин-слой для «пятна» конечной длины ...................... 12
2. Точное квадратурное решение модельной задачи для полубесконечного
скользящего токового «пятна» на контактной поверхности рельсов ............. 13
2.1.
Постановка и решение задачи ......................................................... 13
2.2.
Анализ квадратурного решения ...................................................... 14
2.3.
Понятия скоростного скин-слоя и скоростного скин-фактора для
скользящего токового «пятна .............................................................................. 18
3. Результаты расчетов толщины скоростного скин-слоя 𝛿𝑉 .................... 21
ЗАКЛЮЧЕНЕ .............................................................................................. 26
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .......................................................................... 27
2
ВВЕДЕНИЕ
В последнее десятилетие интенсивно развивались исследования по
созданию высокоскоростных электродинамических рельсовых ускорителей с
бездуговым
контактированием
электродинамического
поддона
с
токоподводящими рельсами. Это направление исследований становится
приоритетным
во
всем
мире
после
того,
как
стала
очевидной
несостоятельность концепции электроплазменного поршня для создания на
таком принципе ускорителей различного назначения с высоким (сотни
выстрелов) ресурсом работы. Принцип действия бездуговых рельсовых
ускорителей состоит в ускорении электропроводного тела электромагнитной
силой ⃗⃗⃗𝐹 , т. е. объемно распределенной силой, действующей на проводник с
током в магнитном поле (см. рис. 1)
⃗ ],
𝐹 = [𝑗 × 𝐵
⃗где 𝑗- плотность тока, протекающая через электродинамический поддон, 𝐵
индукция магнитного поля, а 𝐹 - электромагнитная сила, отнесенная к
единице объема поддона.
Рис. 1. Классическая схема рельсового ускорителя с твердым якорем и
принцип его действия
На рис. 2 приведена фотография экспериментального образца рельсового
ускорителя с твердым якорем и дополнительной системой подмагничивания.
Ускоритель имеет канал круглого поперечного сечения калибром 23 мм. На
рис. 3 приведены фотографии электродинамических поддонов с твердыми
металлическими якорями и сборки якорей с метаемыми стержнями.
3
Рис. 2. Рельсовый ускоритель с твердым металлическим якорем калибра 23
мм и дополнительной системой подмагничивания
Рис. 3. Металлические якоря (электродинамические поддоны), сердечники
и их сборки
4
Токосъемная часть якорей поджимается к контактной поверхности
рельсового блока ускорителя электродинамической силой, что обеспечивает
надежный скользящий электрический контакт, через который протекает
электрический ток.
Основной причиной, препятствующей созданию бездуговых рельсовых
ускорителей со скоростями метания свыше 2 км/с является скоростной скинэффект. Он состоит в стягивании токовых линий на заднем торце поддона и в
соответствующей подвижной контактной зоне рельсов. В результате
происходит резкое повышение плотности тока 𝑗 в тыльной области
электрического
контакта,
при
этом
тепловыделение
увеличивается
пропорционально ⃗⃗⃗
𝑗2 , что приводит к плавлению поддона, возникновению
электрической
дуги
и
повреждению
электроконтактной
поверхности
рельсового блока.
Основными факторами, влияющими на распределение плотности тока в
электроконтактном «пятне» рельсов, является конвективное движение
«пятна», а при высоком удельном сопротивлении электроконтактного слоя
рельсов еще и температурная зависимость сопротивления слоя от его
температуры. При этом диффузионным механизмом в распределении тока
можно пренебречь. На электродинамическом поддоне (ЭДП) основными
механизмами являются диффузия и температурная зависимость удельного
сопротивления поддона.
В работе численно-аналитически исследуются распределения плотности
тока и магнитного поля в электроконтактном слое рельсового блока (см. рис.
4 и 5). Расчеты проводятся на основе квадратурного решения модельной
задачи о скользящем токовом «пятне» в электроконтактном слое рельсов. С
помощью построенного решения получено выражение для скоростного
токового скин-слоя в «пятне». Величина скин-слоя является интегральной
характеристикой скоростного эффекта стягивания тока на скользящем
электрическом контакте к тыльной
части
контакта, обращенной к
токоподводам к рельсовому блоку. Толщина скоростного скин-слоя
описывает протяженность электрического контакта, начиная от тыльной
5
части, в которой в основном сосредоточен разрядный ток, протекающий
через «пятно».
3
1
K
2
M
C
J(t)
1
3
Рис.4. Схема простейшего бездугового рельсового ускорителя.
1 - направляющие рельсы, 2 - соеденительные кабели, 3 - токоподводы, К - ключ,
С - конденсаторная батарея, М – ЭДП с метаемым телом.
Рис. 5. Схема токового «пятна» в окрестности электроконтактной
поверхности рельсов.
1 – электроконтактный слой рельсов; 2 – линии электрического тока в токоподводящей
части рельсов 3; 4 – скользящий токовый слой в электроконтактной поверхности рельсов;
xп(t) – координата тыльной части «пятна»; l – протяженность токового «пятна» в
⃗ (𝑡).
направлении ускорения якоря 𝑉
6
В первом разделе работы строится и анализируется квазистационарное
решение задачи о распределение электромагнитных параметров в токовом
«пятне» конечной длины l на контактной поверхности рельсов.
Во втором разделе получено точное решение задачи для полубесконечного
токового «пятна», введено понятие скоростного скин-слоя и скин-фактора
для распределения тока в «пятне».
В третьем разделе приведены результаты параметрического анализа
эффекта скоростного стягивания тока к тыльному торцу контактного «пятна»
рельсов. Обсуждаются направления уменьшения влияния скоростного скинэффекта на распределение тока в «пятне».
Основные результаты работы сформулированы в Заключении.
7
1. Квазистационарное решение для токового «пятна» конечной
длины
Задача
состоит
в
определении
электромагнитных
параметров
(плотности тока j, напряженности магнитного поля H) в электроконтактной
зоне рельсов – токовом «пятне», движущимся со скоростью V (V – скорость
движения электродинамического поддона). Зона контактирования поддона с
рельсами имеет конечную протяженность l в направлении оси выстрела.
1.1.Постановка задачи
Схема моделируемого процесса в скользящем электроконтактном
«пятне» показана на рис. 6.
Будем
решать
модельную
задачу
при
следующих
основных
предположениях и допущениях:
– электроконтактный слой рельсов конечной толщины имеет постоянную
электропроводность σ0 в направлении, перпендикулярном контактной
поверхности рельсов;
– контактное «пятно» движется с постоянной скоростью V;
– распределения плотности тока j и напряженности магнитного поля H в
электроконтактном слое рельсов одномерны в декартовой системе координат
x, y, z
𝑗 {0; 0; 𝑗(𝑡, 𝑥) =
𝜕𝐻(𝑡,𝑥)
𝜕𝑥
},
⃗ {0; 𝐻(𝑡, 𝑥); 0}.
𝐻
Уравнение магнитной индукции в контактном слое рельсов имеет вид:
𝜕𝐻
𝜕𝑡
= 𝑎2
𝜕2 𝐻
𝜕𝑥 2
, 𝑎2 =
1
𝜇∙𝜎
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 .
(1)
При этом область контактного пятна является переменной:
𝑥𝑛 (𝑡) = 𝑉 ∙ 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥𝑛 (𝑡) + 𝑙.
Перед якорем собственное магнитное поле отсутствует (см. рис. 6.)
𝐻(𝑥𝑛 (𝑡) + 𝑙) = 0.
Из условия
8
(2)
𝑥 (𝑡)+𝑙
𝑏 ∙ ∫𝑥 𝑛(𝑡)
𝑛
выражения для 𝑗 =
𝜕𝐻(𝑡,𝑥)
𝜕𝑥
𝑗(𝑡, 𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼(𝑡),
и (2) следует, что
𝐻(𝑥𝑛 (𝑡)) = 𝐼(𝑡)⁄𝑏 ,
(3)
где b – ширина электроконтактного «пятна».
Рис.6. Схема моделируемого процесса в скользящем электроконтактном
«пятне»
1 - собственное магнитное поле в межрельсовом промежутке за якорем и в его объеме,
2 – скользящий электрический разряд в электроконтактном слое,
3 – электроконтактный слой рельсов с ортотропной проводимостью
Анализ решения
1.2.
При сделанных допущениях (V=const) в переменных t`, x` задача является
квазистационарной, поскольку при прохождении контактным «пятном»
фиксированного сечения рельсов ток I(t) изменяется несущественно
𝑎2
𝜕2 𝐻
𝜕𝐻
𝜕𝑥`
𝜕𝑥`
2 +𝑉
= 0, 𝑗 =
Переходя к безразмерной координате
𝜌 = 𝑥`⁄𝑙,
9
𝑑𝐻
𝑑𝑥`
.
получим:
𝑑2 𝐻
{
𝑑𝜌2
+ 𝑅𝑒𝑚
𝑑𝐻
𝑑𝜌
𝐼
= 0, 𝑗 =
1 𝑑𝐻
𝑙 𝑑𝜌
,
(4)
𝐻 (𝜌 = 0) = , 𝐻 (𝜌 = 1) = 0,
𝑏
где 𝑅𝑒𝑚 = 𝜇 ∙ 𝜎 ∙ 𝑉 ∙ 𝑙 – магнитное число Рейнольдса для контактного слоя
рельсов.
Решение краевой задачи (4). Проинтегрируем дважды уравнение в (4) с
учетом граничных условий:
𝑑𝐻
𝑑𝐻
+ 𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝐻 = 𝐶0 ⇒
= −𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝐻,
𝑑𝜌
𝑑𝜌
𝑑𝑙𝑛𝐻
= −𝑅𝑒𝑚 ,
𝑑𝜌
𝑙𝑛𝐻 = 𝑙𝑛𝐶(𝜌) − 𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝜌,
𝐻 = 𝐶(𝜌) ∙ 𝑒 −𝑅𝑒𝑚∙𝜌 ,
𝐶`(𝜌) ∙ 𝑒 −𝑅𝑒𝑚∙𝜌 − 𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝐻 + 𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝐻 = 𝐶0 ,
𝐶`(𝜌) = 𝐶0 ∙ 𝑒 𝑅𝑒𝑚∙𝜌 ,
𝑒 𝑅𝑒𝑚∙𝜌
𝐶(𝜌) = 𝐶0 ∙ (
+ 𝐶1 ),
𝑅𝑒𝑚
𝐻 = 𝐶0 ∙ (
1
+ 𝐶1 ∙ 𝑒 −𝑅𝑒𝑚 ∙𝜌 ),
𝑅𝑒𝑚
𝐻(𝜌 = 1) = 0 ⇒ 𝐶1 ∙ 𝑒 −𝑅𝑒𝑚 = −
1
,
𝑅𝑒𝑚
𝑒 𝑅𝑒𝑚
𝐶1 = −
,
𝑅𝑒𝑚
1 − 𝑒 𝑅𝑒𝑚∙(1−𝜌)
𝐻(𝜌) = 𝐶0 ∙
,
𝑅𝑒𝑚
𝐼
1 − 𝑒 𝑅𝑒𝑚
𝐻(𝜌 = 0) = ⇒ 𝐶0 ∙
= 𝐼 ⁄𝑏 ,
𝑏
𝑅𝑒𝑚
10
𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝐼
,
(1 − 𝑒 𝑅𝑒𝑚 ) ∙ 𝑏
𝐶0 =
𝐼 𝑒 𝑅𝑒𝑚∙(1−𝜌) − 1
𝐻(𝜌) =
; 0 ≤ 𝜌 ≤ 1,
𝑏 𝑒 𝑅𝑒𝑚 − 1
1 𝑑𝐻 𝐼 −𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝑒 𝑅𝑒𝑚∙(1−𝜌)
𝑅𝑒𝑚 ∙ 𝑒 −𝑅𝑒𝑚 ∙𝜌
𝑗=
=
= 𝑗ср ∙
,
𝑙 𝑑𝜌 𝑙
𝑒 𝑅𝑒𝑚 − 1
1 − 𝑒 −𝑅𝑒𝑚
где
𝑗ср = −
𝐼
𝑙∙𝑏
.
Таким образом, приведенная плотность тока в «пятне» 𝑗̅ определяется
следующим выражением:
𝑗̅(𝜌, 𝑅𝑒𝑚 ) =
𝑗
𝑗ср
=
𝑅𝑒𝑚 ∙𝑒 −𝑅𝑒𝑚 ∙𝜌
1−𝑒 −𝑅𝑒𝑚
.
(5)
1.3.Безразмерный параметр подобия Rem
На рис. 7. приведены распределения плотностей тока по длине контактного
«пятна» при различных значениях 𝑅𝑒𝑚 . Из графиков видно, что с
увеличением числа 𝑅𝑒𝑚 неоднородность в распределении тока на контактном
«пятне» рельсов увеличивается, причем плотность тока на тыльной стороне
«пятна»
резко
сосредотачивается
увеличивается,
а
основной
та
ток
часть
«пятна»,
разряда,
в
которой
уменьшается.
Рис.7. Зависимости 𝑗̅(𝜌) при различных значениях 𝑅𝑒𝑚
1 - 𝑅𝑒𝑚 = 0.02, 2 - 𝑅𝑒𝑚 = 0.5, 3 - 𝑅𝑒𝑚 = 1, 4 - 𝑅𝑒𝑚 = 2.5, 5 - 𝑅𝑒𝑚 = 4.9.
11
Из выражения для j(𝜌,𝑅𝑒𝑚 ) и представленных графиков следует, что при
увеличении параметра 𝑅𝑒𝑚 происходит резкое «стягивание» тока к задней
границе
контактного
слоя.
𝑗̅(𝜌 = 0, 𝑅𝑒𝑚 ) =
При
𝑅𝑒𝑚
1−𝑒 −𝑅𝑒𝑚
этом
,
т.е. при 𝑅𝑒𝑚 ≳2 плотность тока на тыльной границе «пятна» в 𝑅𝑒𝑚 - раз
превосходит его среднее значение.
1.4. Скоростной скин-слой для «пятна» конечной длины
Определим продольный размер той части «пятна», в которой сосредоточен
основной ток разряда. Для этого воспользуемся известным алгоритмом
определения скин-слоев для различных величин [2]. Введем понятие
скоростного скин-слоя 𝛿𝑉 для плотности тока в «пятне» конечного размера с
1
помощью выражения
𝛿𝑉.𝑙 = 𝑙 ∙
∫0 𝑗(𝜌)𝑑𝜌
𝑗(𝜌=0)
=𝑙∙
1−𝑒 −𝑅𝑒𝑚
𝑅𝑒𝑚
.
Из последнего выражения следует, что в квазистационарном приближении
толщина скоростного скин-слоя не зависит от закона изменения тока со
временем, а зависит только от безразмерного параметра подобия Rem и
продольного
размера
токового
«пятна»
l
(см.
рис.
8).
Рис.8. Зависимость толщины скоростного токового скин-слоя на
контактном «пятне» рельсов от числа 𝑅𝑒𝑚
Из графика следует, что 𝑅𝑒𝑚 = 0 отвечает случаю равномерного
распределения и поэтому скин-слой равен длине контактной зоны.
12
2. Точное квадратурное решение модельной задачи для
полубесконечного скользящего токового «пятна» на контактной
поверхности рельсов
2.1. Постановка и решение задачи
В отличие от квазистационарной постановки задачи в уравнении
магнитной индукции будем учитывать нестационарное слагаемое
𝜕𝐻
𝜕𝑡
. При
этом контактное «пятно» будем рассматривать полубесконечным, то есть
𝑥𝑛 (𝑡) = 𝑉 ∙ 𝑡 ≤ 𝑥 ≤ ∞.
Такое приближение позволяет определить элетромагнитные параметры в
«пятне» с помощью квадратурных формул. Предполагаем также, что
электроконтактный слой рельсов конечной толщины имеет постоянную
электропроводность σ0
в направлении, перпендикулярном контактной
поверхности рельсов, контактное «пятно» движется с постоянной скоростью
V, распределения плотности тока
и напряженности магнитного поля
в
электроконтактном слое рельсов одномерны в декартовой системе координат
x, y, z (см. рис. 6).
При
сделанных
допущениях
уравнение
магнитной
индукции
для
контактного слоя рельсов в системе координат, движущейся вместе с
тыльной
𝜕𝐻
𝜕𝑡`
границей
= 𝑎2
«пятна»
𝜕2 𝐻
𝜕𝐻
𝜕𝑥`
𝜕𝑥`
2 +𝑉
,
записывается
в
следующем
𝑥` = 𝑥 − 𝑉 ∙ 𝑡, 0 ≤ 𝑥` < ∞ .
виде:
(6)
Граничные условия для определения магнитного поля H записываются в
виде:
𝐼
𝐻 (𝑥` = 0) = − , 𝐻 (𝑥` = ∞) = 0.
𝑏
(7)
Решение ищется при нулевом начальном условии:
𝐻 (𝑡 = 0, 0 ≤ 𝑥 < ∞) = 0.
(8)
С помощью замены искомой функции по формуле
𝐻(𝑡, 𝑥`) = ℎ(𝑡, 𝑥`) ∙ 𝑒
13
𝑉∙𝑥` 𝑉2 ∙𝑡
+
)
2∙𝑎2 4∙𝑎2
−(
,
уравнение (6) преобразуется к виду:
𝜕ℎ
𝜕2ℎ
2
=𝑎
.
𝜕𝑡`
𝜕𝑥`2
Решение этого уравнения с соответствующими граничными условиями
известно[3]. С его помощью решение граничной задачи (6)-(8) определяется в
квадратурном виде, то есть в виде интегралов по параметрам:
−
𝐻(𝑡, 𝑥`) = −
𝑗(𝑡, 𝑥`) =
2∙𝑒
−
𝑉∙𝑥`
2∙𝑎2
𝑉∙𝑥`
2∙𝑒 2∙𝑎2
𝑏∙√𝜋
√𝑡
𝑥`
2∙𝑎∙√𝑡
𝑥`2
𝐼 (𝑡 −
4∙𝑎2 ∙𝜉 2
)∙𝑒
−[𝜉 2 +(
𝑉∙𝑥` 2
) ]
4∙𝑎2 ∙𝜉
𝑑𝜉,
(9)
2
∫ [𝐼(̇ 𝑡 − 𝜂
𝑎 ∙ 𝑏 ∙ √𝜋
∫
∞
0
2)
1 𝑥`
𝑉 2
− 2 ∙( 2 +𝑉 2 ∙𝜂2 )
2)
4∙𝑎
𝜂
(
) ∙𝐼 𝑡−𝜂 ]∙𝑒
+(
𝑑𝜂
2∙𝑎
{
∞
2
𝑉∙𝑥`
−[𝜉 2 +( 2 ) ]
𝑉
𝑥`2
4∙𝑎
∫ 𝐼 (𝑡 −
)∙𝑒
+
𝑑𝜉 .
2∙𝑎
4 ∙ 𝑎2 ∙ 𝜉 2
𝑥`
2∙𝑎∙√𝑡
(10)
}
Из (10) следует, что на тыльной границе «пятна» плотность тока j
определяется следующим выражением:
𝑗(𝑡, 𝑥` = 0) =
1
{
𝑉
𝑎∙𝑏 2∙𝑎
𝐼(𝑡) +
√𝑡
[𝐼 (𝑡
∫
0
√𝜋
2
2.2.
В
качестве
примера
−𝜂
2)
+(
𝑉
2∙𝑎
2
2)
) 𝐼(𝑡 − 𝜂 ] ∙ 𝑒
−(
𝑣∙𝜂 2
)
2∙𝑎
𝑑𝜂}. (11)
Анализ квадратурного решения
рассмотрим
следующий
униполярный
закон
изменения тока I(t) на контактном «пятне» рельсов:
𝐼(𝑡) = 𝐴 ∙ [𝑒 −𝛼∙𝑡 − 𝑒 −𝛽∙𝑡 ],
(12)
где A, 𝛼, 𝛽 – постоянные коэффициенты. При таком законе изменения тока
выражения для H(t, x`) и j(t,x`) получаются в конечном аналитическом виде.
На рис. 9 построены расчетная осциллограмма такого тока при конкретных
значениях коэффициентов A, 𝛼, 𝛽. Такой закон изменения тока характерен
для бездуговых рельсовых ускорителей с катушками подмагничивания
калибром 23−30 мм [12].
14
Рис. 9. Изменение тока I(t) на контактном «пятне» рельсов.
𝐴 = 1273.6 кА, 𝛼 = 0.32 мс−1 , 𝛽 = 0.492 мс−1
На рис. 10 построены графики изменения магнитного поля а) в тыльном
сечении «пятна» x`=0 и б) в сечении x`=1 мм при различных скоростях
скольжения V=1; 2; 4 км/с. В тыльном сечении графики H(t, x`=0) совпадают
в соответствии с граничным условием (7). Магнитное поле в сечении x`=1
уже много меньше, чем при x`=0, причем его величина резко убывает с
ростом скорости скольжения V. Из графиков следует, что на распределение
магнитного поля в «пятне» скорость его скольжения оказывает существенное
влияние. Чем выше скорость скольжения «пятна», тем быстрее магнитное
поле стремится к нулю в любом фиксированном сечении «пятна» x`> 0.
На рис. 11 построены графики изменения плотности тока а) в тыльном
сечении «пятна» x`=0 и б) в сечении x`=1 мм при различных скоростях
скольжения «пятна» V=1; 2; 4 км/с.
Из приведенных графиков j(t, x`,V) следует, что с увеличением скорости
движения контактного пятна плотность тока в начальном сечении x`=0
возрастает, а в «удаленном» сечении x`=1 мм – убывает, то есть ток на
контактном «пятне» стягивается к начальному сечению x`=0.
15
а)
б)
Рис. 10. Изменение магнитной индукции H в двух сечениях контактного
«пятна»: а) в начальном сечении x`=0, б) в «удаленном» сечении x`=1 мм при
различных скоростях скольжения «пятна»
- при V=1 км/с,
- при V=2 км/с,
16
- при V=4 км/с
а)
б)
Рис. 11. Изменение плотности тока j а) в тыльном сечении «пятна» и б) в
«удаленном» сечении x`=1 мм при различных скоростях скольжения V
1-при V=1 км/с, 2-при V=2 км/с, 3-при V=4 км/с.
2.3.Понятия скоростного скин-слоя и скоростного скин-фактора для
скользящего токового «пятна»
17
Наиболее наглядной характеристикой «стягивания» тока является толщина
скин-слоя, которая определяется по общепринятой формуле [2]:
∞
∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝛿𝐴 = 0
,
𝐴(𝑥 = 0)
где А(x)−распределение величины А в полубесконечном слое 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞. В
нашем случае A=j. С помощью формул (9)−(11) последнее выражение
преобразуется к виду:
𝛿𝑉 (𝑉) =
𝑎 ∙ 𝐼(𝑡)
2
𝑉∙𝜂
𝑉
2
𝑉 2
√𝑡
−(
)
∙ 𝐼 (𝑡 ) +
∙ ∫0 [𝐼 (̇ 𝑡 − 𝜂2 ) + (
𝐼 (𝑡 − 𝜂2 )] 𝑒 2∙𝑎 𝑑𝜂
)
2∙𝑎
2
∙
𝑎
√𝜋
. (13)
При выводе (13) учитывается что:
∞
∫ 𝑗(𝑡, 𝑥`)𝑑𝑥` = −𝐻(𝑡, 𝑥` = 0) = 𝐼(𝑡)⁄𝑏 ,
𝑗(𝑡, 𝑥`) =
0
𝜕𝐻(𝑡, 𝑥`)
.
𝜕𝑥`
Из (13) следует, что
𝛿𝑉=0 (𝑡) =
√𝜋 ∙ 𝑎
2
𝐼(𝑡)
√𝑡
∫0 𝐼 (̇ 𝑡
−
.
(14)
𝜂2 )𝑑𝜂
Здесь 𝛿𝑉=0 – толщина токового скин-слоя для неподвижного «пятна». В
данном случае значение 𝛿𝑉=0 обусловлено изменением тока со временем.
При I(t) → const 𝛿𝑉=0 → ∞, то есть при постоянном токе распределение
плотности
тока
в
неподвижном
полубесконечном
«пятне»
является
равномерным.
Введем безразмерный скоростной скин-фактор 𝜓(𝑡, 𝑉) как отношение
𝛿𝑉 (𝑡) к 𝛿𝑉=0 (𝑡):
√𝑡
𝜓(𝑡, 𝑉) =
∫0 𝐼 (̇ 𝑡 − 𝜂2 )𝑑𝜂
𝑉∙𝜂 2
𝑉 2
√𝑡 ̇
√𝜋 ∙ 𝑉
2
∙ 𝐼(𝑡) + ∫0 [𝐼 (𝑡 − 𝜂 ) + (
∙ 𝐼(𝑡 − 𝜂2 )] ∙ 𝑒 −(2∙𝑎 ) 𝑑𝜂
)
4∙𝑎
2∙𝑎
.
Безразмерный параметр 𝜓(𝑡, 𝑉) характеризует степень стягивания токовых
линий в контактном слое рельсов в зависимости от скорости перемещения
18
(15)
этого контакта V. Тогда выражение для токового скин-слоя 𝛿𝑉 (𝑡) удобно
записать в виде:
𝛿𝑉 =
√𝜋 ∙ 𝑎 ∙ 𝐼(𝑡)
2∙
√𝑡
∫0 𝐼 (̇ 𝑡
−
∙ 𝜓(𝑡, 𝑉).
(16)
𝜂2 )𝑑𝜂
В (16) первый сомножитель описывает влияние нестационарности тока на
толщину скин-слоя (в этот сомножитель не входит скорость скольжения V), а
второй сомножитель описывает влияние скорости «пятна» (скоростной скинфактор 𝜓(𝑡, 𝑉)).
При I = const, V > 0 выражение (13) принимает вид:
2𝑎2
𝑉
𝛿0 (𝑡, 𝑉) =
∙ [1 + erf( ∙ √𝑡)]−1 .
𝑉
2𝑎
(17)
Значение 𝛿0 в «чистом» виде описывает влияние скорости скольжения
«пятна» на толщину токового скин-слоя.
Величина 𝛿0 (𝑡, 𝑉) практически не зависит от времени при 𝑡 ≥ 𝑡0 =
6(𝑎/𝑉)2 .
На рис. 6а построены значения 𝛿0 (𝑡) для трех характерных скоростей
скольжения токового «пятна»: Vi = 1; 2; 4 км/с для контактного слоя рельсов
из титана 𝑎2 (𝑇𝑖) = 0.4 м2 /с. Функция erf(x) из (17) монотонно изменяется от
0 до 1 при 0 ≤ 𝑥 ≤ ∞, причем erf(x) ≈ 1 при 𝑥 ≥ 1.2. В нашем случае
erf (
𝑉
2𝑎
∙ √𝑡) ≈ 1 при 𝑡 ≥ 𝑡0 = 6(𝑎/𝑉)2 . Для Vi = 1; 2; 4 км/с
t0(Vi)=0.0023;
0.0005; 0.00014 мс, то есть практически с момента начала разряда величина
δ0 не зависит от времени при скоростях скольжения «пятна» 𝑉 ≥ 1 км/с. Это
видно из графиков δ0(t, Vi), приведенных на рис. 6а.
19
Рис. 12. Зависимости толщины скин-слоя 𝛿0 от времени t при характерных
скоростях скольжения токового «пятна».
1 – V=1 км/с, 2 – V=2 км/с, 3 – V=4 км/с.
Таким образом, выражение для 𝛿0 можно представить в следующем виде:
𝛿0 (𝑉) =
То
есть
толщина
𝑎2
,
𝑉
«чистого»
скоростного
(18)
скин-слоя
обратно
пропорциональна скорости скольжения. Формулу (18) можно выразить через
безразмерный параметр Rem для электроконтактного слоя рельсов:
𝛿0 =
𝑙
,
𝑅𝑒𝑚
𝑅𝑒𝑚 = 𝜇𝜎𝑙𝑉 =
𝜇𝑙𝑉
,
𝜂
где 𝜇, l, η, V – характерные значения соответствующих параметров для
электроконтактного «пятна» рельсов.
20
3. Результаты расчетов толщины скоростного скин-слоя 𝜹𝑽
На рисунках 13 – 15 представлены результаты расчетов скоростных скинслоев для различных законов изменения токов при различных значениях
скоростей скольжения токового «пятна» V=1; 2; 4 км/с. А также проведено
сравнение результатов полученных для квазистационарного токового
«пятна»
конечной
длины
и
нестационарного
токового
пятна
полубесконечной протяженности.
Так, на рис. 13 построена зависимость толщины скин-слоя для
переменного тока (12) на неподвижном полубесконечном «пятне». Этот
график показывает только влияние изменения тока на толщину скин-слоя
δ(V=0). Из приведенных графиков следует,
что
при неподвижном
полубесконечном «пятне» ток с течением времени стремится к равномерному
распределению по «пятну», что соответствует стремлению толщины скинслоя δ(V=0) к +∞. Характерные значения δ(V=0, t) много меньше, чем
значения δV(t) при скоростях скольжения 𝑉 ≥ 1 км/с (см. рис. 14). Отсюда
следует, что толщину скин-слоя на скользящем «пятне» определяет, в
основном, скорость скольжения V.
На рис. 14 построены зависимости толщины токового скин-слоя от
скорости скольжения «пятна» в фиксированный момент времени для двух
законов изменения тока: для постоянного тока и экспоненциально
изменяемого тока (12). Из графиков следует, что толщина скоростного скинслоя практически не зависит от формы тока. Это отличительная особенность
скин-слоев для различных величин, которая отмечается в [2].
21
а)
б)
Рис. 13. Зависимость а) толщины токового скин-слоя 𝛿𝑉=0 от времени при
неподвижном токовом «пятне» для тока б)
22
Рис. 14. Зависимость скоростного скин-слоя 𝛿𝑉 от скорости
скольжения V токового «пятна» в момент t0 = 0.25 мс для двух токов:
− I(t) = 𝐴 ∙ [𝑒 −𝛼∙𝑡 − 𝑒 −𝛽∙𝑡 ].
− I = const,
На рис. 15 приведены результаты сравнения скорстных скин-слоев для
квазистационарного
токового
«пятна»
конечной
длины
δV.l(V)
и
нестационарного токового пятна полубесконечной протяженности δ0 (V).
Рис. 15. Зависимости скоростных скин-слоев δV.l(V) и δ0 (V) от скорости
скольжения V токового «пятна» в максимальный момент времени t = 2.5 мс:
− 𝛿𝑉.𝑙 (𝑉) =
𝑎2
𝑉
(1 − 𝑒 −𝑅𝑒𝑚 ),
23
− 𝛿0 (𝑉) =
𝑎2
𝑉
.
Квазистационарный скоростной скин-слой δV.l(V) не зависит от закона
изменения тока, а выражение δ0 (V) получено в приближении I = const.
Сравнение проведено при различных скоростях скольжения токового
«пятна» по контактной поверхности рельсов.
Из графиков следует, что скоростные зависимости скин-слоев δV.l(V) и δ0
(V) практически совпадают. Выражение для скоростного скин-слоя при
квазистационарном конечном пятне и квазистационарном полубесконечном
пятне практически совпадают для различных законов изменения тока.
Поэтому для оценки неравномерности тока в скользящем токовом пятне
можно пользоваться выражением для квазистационарного скоростного скинслоя в конечном пятне, то есть:
𝑎2
𝑎2
𝜂
−𝑅𝑒
𝑚
)≈
𝛿𝑉.𝑙 (𝑉) = (1 − 𝑒
=
.
𝑉
𝑉
𝜇∙𝑉
(19)
Из (19) следует, что скоростной скин-слой зависит от двух основных
параметров: удельного сопротивления электроконтактного слоя рельсов η и
скорости якоря V. Для обеспечения более равномерного распределения тока в
«пятне» мы можем управлять лишь одним параметром – η. Увеличение его
значения увеличивает толщину токового скин-слоя и, следовательно,
обеспечивать более равномерное распределение тока в «пятне». Это
позволяет
увеличить
пропускаемые
токи
в
бездуговом
режиме
контактирования и тем самым увеличить скорость металлического якоря и
всей метаемой сборки. Увеличение сопротивления контактного слоя
возможно в силу малого времени нахождения слоя под токовой нагрузкой
при высоких скоростях скольжения V. Время реального контактирования
каждого поперечного слоя τ покрытия рельсов определяется выражением:
𝜏=
𝛿0 (𝑉)
𝑎 2
𝜂
=( ) =
.
𝑉
𝑉
𝜇 ∙ 𝑉2
(20)
Из (20) следует, что для контактного титанового покрытия при скоростях
𝑉 ≥ 1 км/с реальное время контактирования 𝜏 < 1 мкс.
Оптимальным контактным покрытием рельсов, на наш взгляд, было бы
покрытие с возрастающим по длине рельсов удельным сопротивлением η.
24
Причем значение η возрастало бы прямо пропорционально скорости якоря в
данном сечении рельсов. В этом случае, как это видно из (19), толщина
скоростного скин-слоя оставалась бы постоянной в течение всего процесса
ускорения, а время контактирования 𝜏 якоря с рельсами в процессе его
разгона уменьшалось. За счет уменьшения времени контактирования 𝜏
омический нагрев контактного слоя рельсов по длине разгона не
увеличивался.
25
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные результаты, полученные в настоящей дипломной работе,
можно сформулировать следующим образом.
1. Построены
распределении
два
аналитических
электромагнитных
решения
модельной
параметров
в
задачи
о
окрестности
электроконтактного «пятна» рельсов, − конечного и полубесконечного;
2. Показано, что основными параметрами, влияющими на распределение
тока в токовом «пятне» рельсов являются скорость электродинамического
поддона и удельное электрическое сопротивление контактного слоя рельсов.
3. Показано, что основным безразмерным параметром, описывающим
эффект скоростного «стягивания» тока к тыльной границе «пятна», является
магнитное число Рейнольдса 𝑅𝑒𝑚 = 𝜇 ∙ 𝜎 ∙ 𝑉 ∙ 𝑙, в котором V – скорость
скольжения контакта, l – протяженность пятна вдоль оси ускорителя, 𝜎 –
удельная
электропроводность,
𝜇
–
магнитная
проницаемость
электроконтактного слоя рельсов.
4. Введено
понятие
представляющего собой
«пятна»,
в
которой
толщины
скоростного
скин-слоя
тока
𝛿𝑉 ,
продольный размер тыльной части токового
сосредоточен
основной
ток
через
контактную
поверхность «рельсы – электродинамический поддон».
5. Показано, что величина 𝛿𝑉 весьма слабо зависит от формы тока I(t).
6. Показано, что выражения для 𝛿𝑉 на квазистационарном конечном
«пятне» и нестационарном полубесконечном «пятне» практически совпадают
при различных законах изменения тока.
7. Получена простая аналитическая зависимость толщины скоростного
скин-слоя тока 𝛿𝑉 от безразмерного параметра Rem
𝛿𝑉 =
𝑙(1−𝑒 −𝑅𝑒𝑚 )
𝑅𝑒𝑚
.
Эта зависимость может быть использована при выборе удельного
сопротивления электроконтактного покрытия рельсов при различных
скоростях
движения
и
продольных
электродинамического поддона.
26
размерах
ускоряемого
Список литературы
1.И. Е. Тамм. Основы теории электричества. М.: Изд-во «Наука». 1976. 616 с.
2.Г. Кнопфель. Сверхсильные импульсные магнитные поля. М.: Изд-во
«Мир». 1972. 340 с.
3.Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер. Уравнения в частных производных в
математической физике. М.: Изд-во «Высшая школа». 1970. 710 с.
4.Д. Гурский, Е. Трубина. Вычисления в Mathcad 12. С.-Пб.: Изд-во «Питер».
2006. 544 с.
5.А. И. Плис, Н. А. Сливина. Mathcad: математический практикум для
экономистов и инженеров. М.: Изд-во «Финансы и статистика». 1999. 656 с.
6.I. R. McNab. Technical Challenges in Achieving Launch to Space with an
Electromagnetic Launcher / Гидродинамика высоких плотностей энергии. –
Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН,
2004. С.318 - 325.
7. Измайлов В.В., Митюрев А.А. Трибологические аспекты применения
жидких металлов в электрических контактах // Материалы Международной
конференции "Электрические контакты". - С.- Пб, 1996. - С. 52 - 53.
8.Милехин Ю. М., Бабаков Ю. П., Железный В. Б. и др. использование
технологии электродинамического ускорителя для предварительного разгона
ракеты при выводе полезного груза на околоземную орбиту // Известия
PAPAH №2, 2006. С. 72 – 80.
9. Физика быстропротекающих процессов. Том 2. Перевод под редакцией Н.
А. Златина. М.: Изд-во «Мир».1971. 252 с.
10. .Баллистические установки и их применение в экспериментальных
исследованиях. Под редакцией: Н. А. Златина и Г. И. Мишина. М.: Изд-во
«Наука». 1974. 344 с.
11. Высокоскоростные ударные явления. Под редакцией: В. Н.
Николаевского. М.: Изд-во «Мир» 1973. 534 с.
27
12.С. В. Синяев. Высокоскоростные рельсовые электродинамические
ускорители с оперативно регулируемыми параметрами выстрела./Сб. докл.
науч. конф. Волжского регион. центра РАРАН «Современные методы
проектирования и отработки ракетно-артиллерийского вооружения». Саров.:
Изд-во «РФЯЦ - ВНИИЭФ». 2000. С.503 – 506.
13. H. D. Fair. Electric Launch Science and Technology in the United States /
Гидродинамика высоких плотностей энергии. – Новосибирск: Изд-во Ин-та
гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004. С.256 – 266.
14. В.В. Жаровцев, С. В. Синяев. Выстрел из легкогазовой установки с
электродинамическим подгоном метаемого тела / Гидродинамика высоких
плотностей энергии. – Новосибирск: Из-во Ин-та гидродинамики им. М. А.
Лаврентьева СЩ РАН, 2004. С.349 – 357.
28