Взаимодействие двух пробных зарядов в ионном кристалле и плазме Рассмотрим взаимодействие двух пробных покоящихся зарядов через коллективные длинноволновые возбуждения среды, которые описываются, как свободное бозонные поля. Гамильтониан в такой модели имеет вид: (1) H q bq, bq, 12 V r1 V r2 q, e2 r1 r2 Взаимодействие заряда с полями будем описывать гамильтонианом: (2) V r iz пр. F q ei rq bq, b q, , q, в котором для оптических фононов в ионных кристаллах: (3) (4) g . q Гамильтониан (1) можно диагонализовать, то - есть представить в виде: F q H O q q 12 Veff r1 r2 Const , q в котором фигурирует новое свободное бозонное поле и независящая от его состояния величина. Неоператорную величину Veff r1 r2 можно интерпретировать, как эффективную энергию взаимодействия двух пробных, локализованных в точке r1 и r2 , зарядов в среде. К такому виду гамильтониан (1) приводится с помощью введения новых операторов: (5) q bq cq и q bq c*q , которые образуют линейную комбинацию первичных бозонов1. Поскольку cq просто комплексное число, то коммутационные соотношения для новых операторов остаются бозонными. Линейные по операторам слагаемые в (1) исчезают, если F q e V i r1q (6) cq c* q iz пр. (7) Ĥ q q q c*q cq q при этом гамильтониан преобразуется к виду: 1 2 eir2q , e2 r1 r2 q . Эффективная энергия взаимодействия, включающая и прямое кулоновское взаимодействие, получается в виде: (8) 1 Veff r1 , r2 z 2 пр. e q, iq r1 r2 4 e 2 2 F q 2 2 q q , Предварительно полезно диагонализовать гамильтониан вида: H a a a a . Для этого достаточно ввести новые операторы так, что a * c и a c* , тогда H c c* c*c c * c* . Взять константу c * ток, чтобы исчезли линейные по и члены, при этом H * а дополнительная постоянная, которая добавляется к энергии свободных полей: (9) Const z 2 пр. 2 F q 2 q q, В этих формулах учитывается возможность одновременного существования нескольких длинноволновых мод. В ионных кристаллах взаимодействие двух статических пробных зарядов ослабляется в 0 раз: 2 (10) Veff r1 , r2 z пр. e q, iq r1 r2 4 e2 q2 g2 z 2 пр.e2 1 , 2 e2 LO 0 r1 r2 поэтому константы взаимодействия связаны со статической диэлектрической постоянной 0. Более точное соотношение включает в себя диэлектрическую постоянную на оптических частотах : 1 1 g 2 2 e2 LO 0 LO 2 e2 0 Коэффициент, определяющий электрон – фононное взаимодействие для ионных кристаллов: (11) (12) 1 1 g2 1 1 1 F q 2 e2 LO 1 2 0 q 2 можно связать с постоянной Фрелиха [ ] e2 vO LO 1 , q vO 1/ 1/ 0 , в которой vO 2 LO m и содержит новую неопределённую в этом параграфе эффективную массу m . Как будет видно из следующего параграфа эффективная масса определяется не только кристаллическим полем но и поляронным эффектом, При этом / 2 NPh - числу сопровождающих медленный электрон фононов, которое для многих ионных кристаллов обычно значительно больше единицы. Такое число сопровождающих фононов свидетельствует о том, что теория возмущений не может в борновском приближении претендовать на количественную оценку, однако, для качественного понимания поляронного эффекта мы ею в следующем параграфе воспользуемся. Отрицательная постоянная добавка к собственной энергии зарядов: (13) Const z 2пр. 1 1 0 4 e2 q 2 , q как обычно, расходящаяся при больших q, однако для фононов имеется формальное ограничение q < /a, где a- постоянная решетки, поэтому Const ~эВ. Такая оценка вполне соответствует энергии искажения решетки зарядом e. Для этой величины мы так же получим оценку в рамках теории возмущений для полярона равную LO NPh . Это ещё раз свидетельствует о том, что NPh достаточно велико и теория возмущений не применима. В этом параграфе мы не пользовались приближением теории возмущений, поэтому полученная здесь связь (11) параметра электрон фононного взаимодействия с экспериментально измеряемыми диэлектрическими постоянными 0 , и частотой продольного оптического фонона вполне отражает количественное соотношения между ними.