Анатолий Бессалов

Анатолий Бессалов
ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Курс лекций для студентов экономических вузов
Тема 1. Простые проценты
1.1. Начисление простых процентов с неизменной
ставкой
Обозначим:
К – (kapital) начальный капитал (кредит, заем, ссуда, депозит и
пр.);
р=100 i – (percent) годовая процентная ставка в %;
n – период начисления в годах (срок до выплаты долга);
I –процентный платеж (плата заемщика за кредит или доход
(income) кредитора.
При начислении простых процентов (обычно за сравнительно
короткие сроки) процентный платеж рассчитывается лишь на
начальный капитал К и равен
I=Kin=Kpn/100.
(1.1)
Здесь i=p/100 –(interest - интерес) годовая ставка в относительных
единицах. Она определяется для годичного срока n=1 как
относительный годовой доход
i=I1/K.
(1.2)
В финансовой практике процентный платеж часто называют
процентом (хотя с математической точки зрения это некорректно –
процент не выражается, например, в долларах).
Наращенная сумма, которую дебитор (заемщик) обязан
возвратить кредитору (заимодателю), равна сумме
S=K+I=K(1+in).
(1.3)
Она является линейной функцией срока кредитования n, рис.1.1.
S
S1
S
K
I
0
I1
n
t
Рис.1.1
1
Часто периоды начисления n исчисляются в долях года (днях,
месяцах, кварталах, полугодиях). При ежедневном начислении за
период nd дней (day – день) из расчета N дней в году имеем
n=nd/N,
при этом (1.1) и (1.3) выражаются как
I=Kind/N,
S=K(1+ind/N).
(1.4)
При ежемесячном начислении за nm месяцев (month – месяц)
получим
I=Kinm/12,
S=K(1+inm/12).
(1.5)
В мировой практике приняты 3 основные системы начисления
простых процентов в зависимости от условий, налагаемых на N и nd.
1. Немецкая система
(ФРГ, Дания, Швеция и др.) –обычные
проценты с приближенным числом дней ссуды. Cчитается, что в
каждом месяце – 30 дней, при этом в году N=360 дней.
2. Французская система (Франция, Швейцария, Испания и др.) обычные проценты с точным числом дней ссуды. Срок кредита
начисляется по календарю, но при этом полагают, что в году
N=360 дней.
3. Английская система (Англия, США, Португалия и др.) – точные
проценты с точным числом дней ссуды. Срок кредита
начисляется по календарю, а в году N=365 или 366 дней.
1.2. . Начисление простых процентов с различными
ставками по срокам
При выдаче кредита или при изменении конъюнктуры банк
может выставлять разные ставки ik за разные сроки nk, k=1,2,…,m.
Очевидно, в этом случае процентные платежи
Ik=Kiknk
суммируются при вычислении наращенной суммы
S=K+I1+I2+…+
Im=K(1+k
iknk).
(1.6)
Зависимость S(t) на оси времени принимает вид кусочно-линейной
функции.
1.3. Дисконтирование по простым процентам
В финансовой практике часто приходится решать задачу,
обратную вычислению наращенной суммы. При обычном
начислении точкой отсчета является дата выдачи кредита (t=0) и
начисление наращенной суммы S ведется слева направо (на момент
t=n). При начислении типа «проценты вперед» процентный платеж
рассчитывается на сумму долга S (а не на кредит К). Точкой
отсчета становится момент t=n, и расчет выдаваемого кредита К
ведется справа налево.
По аналогии с процентной ставкой (1.2)
i=I1/K,
где I1 - процентный платеж за год,
введем учетную (discont - дисконтную) годовую ставку
d=
I1/S.
(1.7)
С ее помощью величина выдаваемого кредита
K=S(1-dn)
(1.8)
уменьшается по сравнению с долгом S на величину дисконта
I=Sdn.
(1.9)
Эта сумма, рассчитанная по учетной ставке d, удерживается
кредитором с суммы S в момент выдачи кредита («проценты
вперед»).
При задании дисконтной ставки в % будем пользоваться
обозначением
q=100d%.
Разумеется, учетная ставка избыточна с математической точки
зрения, так как определить величину кредита К по долгу S можно и
с помощью процентной ставки
К=S/(1+in).
Тем не менее, дисконтная ставка вошла в практику финансовых
расчетов, так как вместо деления (оно часто приводит к
бесконечным дробям и округлению) значение (1.8) определяется
умножением.
Одинаковые
финансовые
результаты
при
использовании разных ставок (процентной и дисконтной) можно
обеспечить введением понятия «эквивалентные ставки». Например,
для срока n=1 год согласно (1.2), (1.7)
I1=iK=dS=dK(1+i),
откуда эквивалентная процентная годовая учетная ставка
d=i/(1+i).
(1.10)
Таким же путем легко получить эквивалентную годовую
процентную ставку
i=d/(1-d).
(1.11)
При произвольном сроке ссуды эти соотношения несколько
изменяются (см. п. 2.7), однако всегда эквивалентная учетная
ставка меньше процентной.
Тема 2. Сложные проценты
При кредитовании или инвестировании на длительные сроки
(более года) практически всегда начисляются сложные проценты
(compound interest). Их суть: процентный платеж в каждом
расчетном периоде рассчитывается от суммы, накопленной на
предыдущем периоде (проценты на проценты). Ясно, что это ведет
к более быстрому (экспоненциальному) росту наращенной суммы
капитала S.
Срок ссуды включает периоды начисления (конверсионные
периоды или периоды капитализации). Обычно используют:
 годовую капитализацию ра (per anum);
 полугодовую капитализацию ps (per semestre);
 квартальную капитализацию pq (per quartare);
 ежемесячную капитализацию pm (per mensem).
Различают два способа начисления сложных процентов:
 декурсивный (последующий) с процентной ставкой i (или p
%);
 антисипативный (предварительный) с учетной ставкой d
(или q %).
2.1. Декурсивный расчет сложных процентов при
годовой капитализации
При декурсивном (обычном) начислении сложных процентов
процентные платежи рассчитываются в конце каждого периода на
сумму, накопленную в предыдущем периоде. При годовой
капитализации в конце каждого года имеем наращенные суммы:
S1=K+I1,
I1=Ki;
S2=S1+I2, I2=S1i;
S3=S2+I3, I3=S2i;
………………………….
Sn=Sn-1+In, In=Sn-1i;
Подставляя предыдущие значения Sk в последующие, получим
Sn=K(1+i)n.
(2.1)
В отличие от линейной функции времени при начислении простых
процентов зависимость (2.1) является экспоненциальной. Пример
этой зависимости на интервале 4-х лет приведен на рис.2.1.
K
S1
S2
S3
S4
I4
I3
I2
I1
n
0
1
2
Рис.2.1
3
4
Отношение наращенной суммы к начальному капиталу К
An=Sn/K= (1+i)n
(2.2)
называется коэффициентом наращения капитала (A – accumulation).
Он показывает, во сколько раз возрастает за n лет каждая единица
кредита К (например, одна гривна). По сравнению с коэффициентом
наращения Anпр=Sn/K= 1+in при начислении простых процентов
коэффициент (2.2) оказывается меньше при n<1, равным при n=1 и
больше при n>1, причем с ростом n выигрыш нарастает.
2.2. Антисипативный расчет сложных процентов при
годовой капитализации
Эта схема соответствует процедуре дисконтирования, т.е.
проценты начисляются не в конце, а в начале каждого периода,
точкой отсчета является наращенная сумма Sn, и расчет ведется
справа налево. Наращенные суммы при учетной ставке d
изменяются следующим образом:
Sn-1=Sn-In = Sn(1-d);
Sn-2=Sn-1(1-d)= Sn(1-d)2;
………………………………..;
K=S1(1-d)= Sn(1-d)n.
Отношение начального и наращенного капиталов
Dn=K/Sn=(1-d)n
(2.3)
называется коэффициентом дисконтирования. По определению он
обратен коэффициенту наращения (2.1), или
And=
1/Dn=Sn/K=(1-d)-n
(2.4)
Если принять равными процентную и учетную ставки, то
антисипативный расчет сложных процентов дает больший доход,
чем декурсивный. В самом деле, отношение
= An/And=(1+i)n(1-d)n
при d=i
= (1-i2)n<1,
что доказывает приведенное утверждение. Эквивалентная же
дисконтная ставка оказывается всегда меньше процентной (см.
п.2.7).
2.3. Расчет сложных процентов за периоды, меньшие
года
Число периодов капитализации в году обозначим через m.
Например, при ежемесячной капитализации m=12, при квартальной
m=4, при полугодовой m=2 . Для каждого периода начисления
годовая ставка i или d делится на m, а полное число периодов
становится равным N=nm. Тогда
SN=K(1+i/m)nm=K(1-d/m)-mn.
(2.5)
Kоэффициент наращения и дисконтирования при декурсивном и
антисипативном расчетах становятся равными:
АN=(1+i/m)nm;
(2.6)
DN
=(1-d/m)mn.
(2.7)
С ростом числа конверсионных периодов m коэффициент
наращения увеличивается. Предел этого увеличения рассмотрен в
следующем параграфе.
2.4.
Коэффициент наращения при непрерывной
капитализации
Непрерывное увеличение числа расчетных периодов до
предела m означает сокращение до 0 длины конверсионного
периода. Известный в математике замечательный предел
limm(1+a/m)m=ea,
e=2,718281828…
позволяет получить предельное значение коэффициента наращения
(2.6) при непрерывной капитализации
Ан=еin.
(2.8)
Очевидно, наращенный за n лет капитал в этом случае
S=Kein
(2.9)
достигает максимальной величины. Важно отметить, что процентная
и учетная ставки здесь становятся тожественными, так как начало и
конец каждого периода сливаются.
2.5.
Номинальная и эффективная процентные ставки
При многолетних инвестициях число конверсионных периодов
mn велико и расчеты можно свести к более крупным годовым
периодам (годовой капитализации), если ввести понятие
эффективной процентной ставки.
Номинальной называется годовая процентная ставка i (или
учетная ставка d), если за один период начисления она
определяется как i/m (или d/m). В частности, в формулах (2.5) –
(2.7) стоят обычные номинальные ставки.
Эффективной называется процентная ставка iэ (или учетная
ставка dэ), которая при начислении раз в год дает тот же доход, что
и номинальная при начислении m раз в году. Иначе говоря, эта
ставка эквивалентна в финансовом смысле номинальной на периоде
в 1 год.
Согласно определению эффективной ставки коэффициенты
наращения за год (n=1)
1+iэ=(1+i/m)m,
откуда
iэ=(1+i/m)m-1.
(2.10)
С другой стороны, по известной эффективной ставке можно найти
номинальную
i=m[m(1+iэ)
-1].
(2.11)
Определение. Две номинальные процентные ставки называются
эквивалентными, если они имеют одинаковые эффективные ставки.
Для эквивалентных ставок выполняется
(1+i1/m1)m1=(1+i2/m2)m2,
откуда, например,
i2=m2[(1+i1/m1)m1/m2-1].
(2.12)
Одним из свойств эффективной ставки является то, что она
превышает номинальную при всех m>1. Это свойство легко
доказывается при разных m, но проще всего в этом убедиться при
m=2. Действительно, (2.10) при этом равно
iэ=(1+i/2)2-1=1+i+i2/4-1= i+i2/4>i.
Отсюда видно, что приращение эффективной ставки по
сравнению с номинальной невелико и при m=2 равно i2/4.
2.6.
Номинальная и эффективная учетные ставки
Определения номинальной d и эффективной dэ учетных ставок
даны в предыдущем параграфе. Найдем связь между ними.
Согласно определения эффективной ставки коэффициенты
дисконтирования за год (n=1)
1-dэ=(1-d/m)m,
откуда
dэ=1-(1-d/m)m.
(2.13)
С другой стороны, по известной эффективной учетной ставке можно
найти номинальную
m(1-d )
d=m[1].
э
(2.14)
Определение. Две номинальные учетные ставки называются
эквивалентными, если они имеют одинаковые эффективные ставки.
Для эквивалентных дисконтных ставок выполняется
(1-d1/m1)m1=(1-d2/m2)m2,
откуда
(2.15)
d2=m2[1-(1-d1/m1)m1/m2].
Эффективная дисконтная ставка в отличие от процентной
всегда меньше номинальной при всех m>1. Это свойство также
легко доказывается при разных m, но мы убедимся в этом при m=2.
Действительно, (2.13) при этом равно
dэ=1-(1-d/2)2=1-1+d-d2/4= d-d2/4<d.
Степень отличия эффективной и номинальной учетных ставок
определяется отрицательным приращением -d2/4, аналогичным
предыдущему случаю (но с другим знаком).
Тема 3. Эквивалентность процентных ставок. Смена условий
контракта
3.1.
Эквивалентность ставок
Определение.
Ставки
(процентные, учетные, простые,
сложные) называются эквивалентными, если в течение одного срока
они приводят к одинаковому финансовому результату (доходу).
1. Эквивалентность простых процентной и учетной
ставок
Процентная и учетная ставки эквивалентны, если они имеют
одинаковый коэффициент наращения
An=1+in=1/(1-dn).
Отсюда легко получить:
i=d/(1-dn),
(3.16)
d=i/(1+in).
(3.17)
Из этого следует, что эквивалентные простые процентная и учетная
ставки зависят от срока n кредитования.
2. Эквивалентность сложных процентной и учетной
ставок
При одинаковых конверсионных периодах m-1 и сроках n
погашения долга эквивалентность сложных процентной и учетной
ставок предполагает равенство их коэффициентов наращения
АN=(1+i/m)nm =1/(1-d/m)mn.
Отсюда
1/i=1/d
-1/m.
(3.18)
В частности, при m=1 (для годовой капитализации) получим
результат
i=d/(1-d),
d=i/(1+i),
cовпадающий с (1.10), (1.11).
Из (3.18) также следует, что при непрерывной капитализации
(m) различия между ставками i и d исчезают (они становятся
равными). В общем случае эти ставки, для которых всегда d<i,
отличаются тем меньше, чем короче периоды начисления.
Существенным отличием от простых процентов является то,
что эквивалентные cложные процентная и учетная ставки не
зависят от срока n кредитования.
3. Эквивалентность cложной процентной и простой
учетной ставок
При одинаковых сроках n кредитования эквивалентность
cложной годовой процентной и простой учетной ставок означает
равенство их коэффициентов наращения
Аn=(1+i)n =1/(1-nd).
При начислении сложных процентов предполагается годовая
капитализация (m=1). Отсюда получим
d=n-1[1-(1+i)-n],
(3.19)
i=(1-nd)-1/n-1.
(3.20)
Если сроки начисления выражаются в днях, то в этих формулах
n=nd/365 (где nd – число дней срока кредита).
4. Эквивалентность cложных номинальной процентной
и эффективной учетной ставок
Для этого случая приравниваем коэффициенты наращения
Аn=(1+i/m)nm =1/(1-dэ)n.
Тогда
i=m[(1-dэ)-m-1],
(3.21)
dэ=1-(1+i/m)m.
(3.22)
Разумеется, рассмотренные случаи лишь иллюстрируют, но не
исчерпывают всех возможных эквивалентных ставок.
3.2.
К



Смена условий контракта. Консолидированные
платежи
смене условий контракта относят:
консолидацию (объединение) платежей;
досрочное погашение долга;
пролонгацию (продление) кредита и др.
В основе его лежит принцип финансовой эквивалентности:
финансовые отношения сторон до и после смены условий контракта
должны оставаться неизменными. Это означает, что изменяются
лишь сроки, а ставки (доходность кредитования) неизменны.
Эквивалентными считаются платежи, которые оказываются
равными при заданных ставках и сведении к одному моменту
времени. Сведение к одному моменту времени достигается
наращением (вдоль временной оси слева направо) или
дисконтированием (справа налево по временной оси).
При смене условий контракта составляется уравнение
финансовой эквивалентности: сумма сведенных к одному моменту
времени платежей по старому контракту равна сумме сведенных к
этому же моменту времени платежей по новому контракту.
Момент времени, к которому сводятся платежи, может
выбираться произвольно и часто определяется условиями задачи.
В качестве примера рассмотрим консолидацию платежей, при
которой распределенные во времени платежи должник предлагает
объединить и вернуть кредитору единовременно, в оговоренный
сторонами срок.
Пример 3.1. Банковский кредит со ставкой 36% с
начислением простых процентов должник должен погасить тремя
платежами: 10 т. грн. 15 мая, 20 т. грн. – 15 июня и 25 т. грн – 15
августа с.г. Стороны договорились, что должник выплатит все долги
в один день – 1 августа с.г. Определить сумму выплачиваемого
единовременно долга. Система начисления – французская (360 дней
в году, сроки – по календарю).
Арифметическая сумма платежей 10+20+25=55 т. грн.,
очевидно, меньше консолидированного долга, так как два платежа
существенно пролонгированы, и лишь один – выплачивается вперед
с малым упреждением.
В качестве момента времени сведения платежей здесь удобно
выбрать дату уплаты консолидированного долга – 1 августа. Тогда
первый платеж К1 пролонгирован на nd1= 78 дней, второй – на nd2=
47 дней, а третий – выплачивается раньше на nd3= 14 дней. На 1
августа первые два платежа наращиваются, а последний –
дисконтируется в соответствии с банковской ставкой i=0,36:
K1=K1(1+i nd1/360)=10000(1+78*10-3)=10780 грн.,
K2=K2(1+i nd2/360)=20000(1+47*10-3)=20940 грн.,
K3=K3/(1+i nd3/360)=25000/(1+14*10-3)=24654,8 грн.
Таким образом, сумма консолидированного долга
К= Ki=56374,8 грн.,
т.е. превышает на 1374,8 грн. арифметическую сумму платежей. Это
– хорошая иллюстрация принципа «время – деньги».