Реферат на тему: Выполнил ученик 10 класса «В» средней школы №53 Глухов Михаил Александрович г. Набережные Челны 2002 г. 2 Содержание Из истории комбинаторики_________________________________________ Правило суммы___________________________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Правило произведения_____________________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Пересекающиеся множества________________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Круги Эйлера_____________________________________________________ Размещения без повторений________________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Перестановки без повторений_______________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Сочетания без повторений__________________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Размещения и сочетания без повторений______________________________ Примеры задач____________________________________________________ Перестановки с повторениями_______________________________________ Примеры задач____________________________________________________ Задачи для самостоятельного решения________________________________ Список используемой литературы___________________________________ 2 3 4 4 5 6 7 8 9 9 10 11 Из истории комбинаторики Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения. 2 Правило суммы Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y. То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами. Примеры задач Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы? Решение: X=17, Y=13 По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем. Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи? Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов. Правило произведения Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами. То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами. Примеры задач Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать? Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов. 2 Пересекающиеся множества Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются лой , где X и Y - множества, а - область пересечения. Примеры задач 20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего? Ответ: 10+20-5=25 человек. Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком? форму- Если множеств больше, например 5 языков, то также складывается количество человек знающих английский, немецкий, французский и т.д., отнимается количество человек, знающих 2 языка одновременно, прибавляется по 3, отнимаются по 4 и т.д. Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом - тех, кто знает французский, и третьим кругом - тех, кто знают немецкий. Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек. Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 83=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским - 30 человек. По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков. 2 Размещения без повторений. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными. Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов. Количество всех размещений из n элементов по m обозначают n! mn (n m)! n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n n!=1*2*3*...*n 0!=1 Значит, ответ на вышепоставленную задачу будет 10! 6 10 151200 (10 6)! Задача Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: 6! 720 64 360 (6 4)! 2 Возможно 360 вариантов. 2 Перестановки без повторений В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x. Количество всех перестановок из n элементов обозначают Pn. Pn=n! Действительно при n=m: n! n! n mn nn n! (n m)! 0! Примеры задач Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются? Решение: 1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P6=6!=720 2) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P5=5!=120. P6-P5=720-120=600 Квартет Проказница Мартышка Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Тут пуще прежнего пошли у низ раздоры И споры, Кому и как сидеть… Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно P4=4!=24 варианта перестановок. 2 Сочетания без повторений Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения. Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Число сочетаний из n элементов по m обозначается C nm . C nm mn n! . m (n m)! m! n Примеры задач Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – со10! 8 * 9 *10 четание. Отсюда возможно C103 120 вариантов. (10 3)!*3! 6 У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги. Решение: Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор 2 ух книг - сочетание. 7! 6*7 Первый человек может выбрать 2 книги C72 21 способами. Второй чело(7 2)!*2! 2 9! 8*9 век может выбрать 2 книги C92 36 . Значит всего по правилу произведения (9 2)!*2! 2 возможно 21*36=756 вариантов. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать? Первый игрок делает выбор из 28 костей. Второй из 28-7=21 костей, третий 14, а четвер7 7 * C21 * C714 . тый игрок забирает оставшиеся кости. Следовательно, возможно C28 2 Размещения и сочетания с повторениями Часто в задачах по комбинаторике встречаются множества, в которых какие-либо компоненты повторяются. Например: в задачах на числа – цифры. Для таких задач при размещениях используется ~ m ~ m m n 1! C n . формула n n m , а для сочетаний C n m n 1 m!(n 1)! Примеры задач Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение. Так как порядок цифр в числе существенен, цифры могут повторяться, то это будут ~ 3 размещения с повторениями из пяти элементов по три, а их число равно 5 53 125 . В кондитерском магазине продавались 4 сорта пироженных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пироженных. Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пироженные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, количество различных покупок равно числу сочетаний четырех ви~ 7 (7 4 1)! 10! дов пироженных по семь - C 4 120 . 7!(4 1)! 7!*3! Обезьяну посадили за пишущую машинку с 45 клавишами, определить число попыток, необходимых для того, чтобы она наверняка напечатала первую строку романа Л.Н. Толстого «Анна Каренина», если строка содержит 52 знака и повторений не будет? Решение: порядок букв имеет значение. Буквы могут повторяться. Значит, всего есть ~ 52 45 4552 вариантов. Перестановки с повторениями n! , n n1 n2 nr , где n-количество всех элементов, n1,n2,…,nrn1!n2 ! nr ! количество одинаковых элементов. n (n1 , n2 , , nr ) Примеры задач Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас»? Решение: всего букв 6. Из них одинаковы n1«а»=3, n2«н»=2, n3«с»=1. Следовательно, число раз6! 60 . личных перестановок равно 6 (3,2,1) 3!*2!*1! 2 Задачи для самостоятельного решения Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Миссисипи». Ответ: 2520 Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев. Ответ: 16807 На памятные сувениры в «Поле Чудес» спонсоры предлагают кофеварки, утюги, телефонные аппараты, духи. Сколькими способами 9 участников игры могут получить эти сувениры? Сколькими способами могут быть выбраны 9 предметов для участников игры? Ответ: 49, 220 Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы на одна из них не могла бить другую? Ответ: 40320 Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек? Ответ:200 Сколько способов раздачи карт на 4 человека существует в игре «Верю - не верю» (карты раздаются полностью, 36 карт). 9 9 * C 27 * C189 . Ответ: C 36 В течении 30 дней сентября было 12 дождливых дней, 8 ветреных, 4 холодных, 5 дождливых и ветреных, 3 дождливых и холодных, а один день был и дождливым, и ветреным, и холодным. В течение скольких дней в сентябре стояла хорошая погода. Ответ: 15 На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз? Ответ: 480, 437 Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»? Ответ: 9 Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой? Ответ: 25000 В книжный магазин поступили романы Ф. Купера «Прерия», «Зверобой», «Шпион», «Пионеры», «Следопыт» по одинаковой цене. Сколькими способами библиотека может закупить 17 книг на выбранный чек? Ответ:: 2985 2 Список используемой литературы Савина Л.Н., Попырев А.В. «КОМБИНАТОРИКА» издательство Елабужский государственный педагогический институт 1999г Халамайзер А. Я. «Математика? – Забавно!» издание автора 1989г Интернет http:\www.mathclub.zala.ru/0921.html 2