Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 03.01.01 Математика подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет
Информатики математики и компьютерных наук
Программа дисциплины
Математический анализ
для направления 01.03.01 Математика
подготовки академического бакалавра
Автор программы:
Починка О.В., доктор физ.-мат. наук, opochinka@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры
Фундаментальной математики
Зав. кафедрой Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Рекомендована секцией УМС «Математика»
Председатель Починка О.В.
«___»____________ 2015 г
Утверждена УМС НИУ ВШЭ – Нижний Новгород
Председатель Бухаров В.М.
«___»_____________2015 г.
Нижний Новгород, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.01 «Математика», изучающих дисциплину «Математический анализ».
Программа разработана в соответствии с:
- Образовательным стандартом ФГАУ ВПО НИУ-ВШЭ по направлению подготовки "Математика" (уровень подготовки: "бакалавр").
- Рабочим учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.01 Математика,
утвержденным в 2015 г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются углубленное изучение основных понятий математического анализа (предельный переход, непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость), овладение методами математического анализа функций одной и нескольких вещественных переменных (построение графиков, нахождение локальных и
глобальных экстремумов функций), применение полученных знаний к анализу различных математических моделей.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные определения и результаты (теоремы) математического анализа.
 Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения методов математического анализа в
смежных теоретических и прикладных областях.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Готовность использовать
основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять
методы математического
анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования
при работе в какой-либо
предметной области
Способность аналитически
работать с информацией из
различных источников,
включая глобальных компьютерных сетях
Способность демонстрации общенаучных базовых
знаний естественных наук,
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
ОНК-4 студент демонстрирует знакомство
с законами естественнонаучных
дисциплин и владение их методами в ходе учебной подготовки к
решению задач профессиональной
деятельности
ИК-4
ПК-1
в ходе подготовки к занятиям студент получает и совершенствует
навыки работы с информационными источниками различного
типа
студент способен демонстрировать
общенаучные знания математики
и информатики, понимание ос-
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Код по
НИУ
Компетенция
математики и информатики, понимание основных
фактов, концепций, принципов теорий, связанных с
прикладной математикой и
информатикой
Способность понимать и
применять в исследовательской и прикладной
деятельности современный
математический аппарат
Способность собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований, необходимые для
формирования выводов по
соответствующим научным, профессиональным,
социальным и этическим
проблемам
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
новных фактов, концепций, принципов теорий, связанных с прикладной математикой и информатикой
ПК-2
студент способен применять в исследовательской и прикладной деятельности современный математический аппарат
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
ПК-6
студент способен собирать, обрабатывать и интерпретировать данные современных научных исследований
Чтение лекций, проведение
практических занятий, самостоятельная работа
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к профессиональному циклу дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика».
Настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней
общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить
основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания
студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики, и обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов математического анализа. Математический анализ занимает основополагающую позицию в образовании
студентов специальности «математика», давая язык, логику и понятия, необходимые для овладения большинством математических дисциплин, как то: дифференциальные и интегральные
уравнения, функциональный анализ, теории функций действительной и комплексной переменных, вычислительные методы, вариационное и операционное исчисления, дифференциальная
геометрия, топология, теория вероятностей, оптимальное управление и т.д.
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
4
Название раздела
Всего
часов
Введение в анализ
Предел последовательности
Предел и непрерывность функции
Дифференцируемость функции
10
24
24
24
3
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
4
8
8
8
7
16
16
16
Самостоятельная
работа
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
5
6
7
8
9
Функции многих переменных
Неопределенный интеграл
Определенный интеграл
Несобственный интеграл
Ряды
17
20
20
18
18
6
7
7
6
6
12
14
14
12
12
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Текущий
(неделя)
Промежуточный
Итоговый
Форма
контроля
Контрольная работа
Домашнее
задание
Экзамен
Экзамен
1 год
Параметры
1
4, 8
2
4, 8
3
5, 10
4
5, 10 Письменная работа 80 минут
1,3,
5,7
1,3,
5,7
*
1,3,
5,7,9
1,3, Письменная работа (5-6 задач)
5,7,9
Устный экзамен
Устный экзамен
*
Критерии оценки знаний, навыков
Студент должен продемонстрировать хорошее владение определениями и основными
теоремами математического анализа, а также умение доказывать теоремы и решать типовые задачи. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале. При
проведении контролей осуществляется выдача индивидуальных заданий.
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях также заносится в рабочую ведомость.
Накопленная оценка за текущий контроль (1-2 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная1 = 0,5·Ок/р +0,5·Одз
Оценка за промежуточный контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен1 – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Опромежуточный = 0,5·Оэкзамен1 +0,5·Онакопленная1
Накопленная оценка за текущий контроль (3-4 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная2 = 0,5·Ок/р +0,5·Одз
4
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле, где Оэкзамен2 – оценка за работу непосредственно на экзамене:
Оитоговый =0,5·Оэкзамен2 + 0,5·Оитоговая накопленная
где Оитоговая накопленная = (Опромежуточная +Онакопленная2) : 2
Способ округления оценок – арифметический.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
Содержание дисциплины
1. Введение в анализ
- Вещественные числа. Свойства вещественных чисел. Обозначения.
- Верхние и нижние грани множеств, их свойства. Сечения в множестве вещественных
чисел. Бином Ньютона.
2. Предел последовательности
- Определение предела последовательности и некоторые его свойства. Пределы монотонных последовательностей. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши.
- Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Верхний и нижний
пределы последовательностей.
3. Предел и непрерывность функции
-Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Определения
предела функции.
- Свойства пределов функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Пределы монотонных функций. Критерий Коши существования предела функции.
- Непрерывные функции, точки разрыва. Свойства функций, непрерывных на промежутках. Обратные функции. Непрерывность элементарных функций.
- Замечательные пределы.
- Сравнение функций. Эквивалентные функции. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов.
4. Дифференцируемость функции
- Производная и дифференциал функции. Геометрический и физический смысл производной и дифференциала. Правила вычисления производных. Дифференцирование неявно заданных функций
- Производные и дифференциалы высших порядков.
- Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши о средних значениях.
- Правила Лопиталя. Формула Тейлора.
- Исследование поведения функции. Построение графиков.
- Понятие кривой. Касательная к кривой. Длина дуги и дифференциал длины дуги.
5. Функции многих переменных
- Множества на плоскости и в пространстве. Окрестности и пределы последовательностей точек. Различные типы подмножеств Rn. Предел и непрерывность функции многих
переменных.
- Теоремы о функциях, непрерывных на множествах. Равномерная непрерывность функций. Модуль непрерывности. Частные производные и частные дифференциалы.
- Дифференцируемость функции многих переменных. Правила вычисления дифференциалов. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- Производная по направлению. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
6. Неопределенный интеграл
5
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
- Первообразная и неопределенный интеграл. Табличные интегралы. Интегрирование
подстановкой и по частям.
- Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского.
- Интегрирование иррациональностей. Подстановки Эйлера. Дифференциальный бином.
- Интегрирование трансцендентных функций. Не берущиеся интегралы.
7. Определенный интеграл
-Определенный интеграл по Риману. Ограниченность интегрируемой функции. Верхние
и нижние суммы и интегралы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
- Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
- Замена переменного, интегрирование по частям в определенном интеграле. Определение меры множества. Вычисление площадей.
- Объем тела вращения. Вычисление длины кривой, площади поверхности вращения. Работа силы. Вычисление статистических моментов и цента тяжести кривой.
8. Несобственный интеграл
- Интеграл от неограниченной функции. Несобственные интегралы на конечном промежутке. Критерий Коши. Абсолютная сходимость несобственных интегралов на конечном промежутке.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами, формулы интегрального исчисления. Критерий Коши. Абсолютная сходимость. Метод улучшения сходимости интегралов.
9. Ряды
- Определение числового ряда и его сходимость. Свойства сходящихся рядов. Критерии
сходимости рядов. Метод выделения главной части n-го члена.
- Знакопеременные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Признак Дирихле.
- Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Равномерная сходимость.
Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
- Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
Аналитические функции. Вещественные аналитические функции.
- Разложение функций в степенные ряды. Различные формы записи остаточного члена.
Методы почленного дифференцирования и интегрирования рядов.
Образовательные технологии
При реализации учебной работы используются повторение основных положений лекционного материала и разбор типовых практических задач.
Методические рекомендации преподавателю
Глубокие знания предмета следует представлять в максимально доступной, понятной и
мотивированной форме. Следует постоянно совершенствовать материалы занятий с учетом последних достижений и разработок.
Методические указания студентам
Следует систематически посещать лекционные и семинарские занятия. Материалы этих
занятий следует внимательно изучать и регулярно выполнять домашние задания. На занятиях
нужно вести себя активно. Следует иметь в виду, что многие последующие учебные курсы основаны на свободном владении аппаратом и техникой математического анализа.
6
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные типы заданий для контрольных работ:
1. Установить равенство или соотношение включения между множествами.
2. Найти предел (верхний, нижний) данной числовой последовательности.
3. Найти предел числовой функции. Исследовать функцию на непрерывность.
4. Вычислить производную функции. Исследовать функцию на экстремум.
Написать формулу Тейлора для данной функции. Построить график функции.
5. Вычислить неопределенный интеграл. Вычислить определенный интеграл Римана.
Вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину кривой.
6. Исследовать функцию многих переменных на непрерывность.
7. Найти производную по направлению функции многих переменных.
8. Исследовать (функциональный) ряд на сходимость. Вычислить сумму ряда.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
Вещественные числа. Свойства вещественных чисел.
Верхние и нижние грани множеств, их свойства.
Сечения в множестве вещественных чисел. Бином Ньютона.
Определение предела последовательности и некоторые его свойства.
Пределы монотонных последовательностей. Теорема Больцано-Вейерштрасса и
критерий Коши.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями.
7. Верхний и нижний пределы последовательностей.
8. Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Определения предела функции.
9. Свойства пределов функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
10. Пределы монотонных функций. Критерий Коши существования предела функции.
11. Непрерывные функции, точки разрыва.
12. Свойства функций, непрерывных на промежутках. Обратные функции. Непрерывность элементарных функций.
13. Замечательные пределы.
14. Сравнение функций. Эквивалентные функции.
15. Метод выделения главной части функции. Применение к вычислению пределов.
16. Производная и дифференциал функции. Геометрический и физический смысл
производной и дифференциала.
17. Правила вычисления производных.
18. Дифференцирование неявно заданных функций
19. Производные и дифференциалы высших порядков.
20. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши о средних значениях.
21. Правила Лопиталя.
22. Формула Тейлора.
23. Исследование поведения функции. Построение графиков.
24. Понятие кривой. Касательная к кривой.
25. Длина дуги и дифференциал длины дуги.
26. Множества на плоскости и в пространстве. Окрестности и пределы последовательностей точек. Различные типы подмножеств Rn.
27. Предел и непрерывность функции многих переменных.
1.
2.
3.
4.
5.
7
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
28. Теоремы о функциях, непрерывных на множествах. Равномерная непрерывность
функций.
29. Модуль непрерывности. Частные производные и частные дифференциалы.
30. Дифференцируемость функции многих переменных. Правила вычисления дифференциалов.
31. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
32. Производная по направлению. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.
33. Первообразная и неопределенный интеграл. Табличные интегралы.
34. Интегрирование подстановкой и по частям.
35. Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского.
36. Интегрирование иррациональностей. Подстановки Эйлера. Дифференциальный
бином.
37. Интегрирование трансцендентных функций. Не берущиеся интегралы.
38. Определенный интеграл по Риману. Ограниченность интегрируемой функции.
39. Верхние и нижние суммы и интегралы Дарбу. Необходимые и достаточные условия интегрируемости.
40. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем.
41. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. Формула
Ньютона-Лейбница.
42. Замена переменного, интегрирование по частям в определенном интеграле. Определение меры множества. Вычисление площадей.
43. Объем тела вращения. Вычисление длины кривой, площади поверхности вращения.
44. Работа силы. Вычисление статистических моментов и цента тяжести кривой.
45. Интеграл от неограниченной функции. Несобственные интегралы на конечном
промежутке.
46. Критерий Коши. Абсолютная сходимость несобственных интегралов на конечном
промежутке.
47. Несобственные интегралы с бесконечными пределами, формулы интегрального
исчисления. Критерий Коши.
48. Абсолютная сходимость. Метод улучшения сходимости интегралов.
49. Определение числового ряда и его сходимость. Свойства сходящихся рядов.
50. Критерии сходимости рядов. Метод выделения главной части n-го члена.
51. Знакопеременные ряды. Абсолютно сходящиеся ряды. Признак Дирихле.
52. Сходимость функциональных последовательностей и рядов. Равномерная сходимость.
53. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов.
54. Радиус сходимости и круг сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара.
55. Аналитические функции. Вещественные аналитические функции.
56. Разложение функций в степенные ряды.
57. Различные формы записи остаточного члена. Методы почленного дифференцирования и интегрирования рядов.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1] Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 (в 2-х томах).
[2] Зорич В. А. Математический анализ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004 (в 2-х томах).
8
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Математический анализ» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Дополнительная литература
[3] Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. Издание20-е, стереотипное. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1985. – 384 с.
[4] Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов/ Под ред. Б.П.
Демидовича. Издание10-е. – М.: Наука, ГРФМЛ, 1978. – 480 с.
[5] Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002
(в 2-х томах).
[6] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001 (в 3-х томах)
Автор программы
О.В. Починка
9