Уравнения динамического равновесия дискретизированной

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕВЫХ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ
Г.И. Гребенюк, М.С. Вешкин
НГАСУ (Сибстрин) 630008, Новосибирск-8, ул. Ленинградская, 113
E-mail: greb@sibstrin.ru
1. Алгоритмы динамического расчета дискретных систем
Уравнения динамического равновесия дискретной системы представим с позиции метода перемещений КЭ в виде
..
.
(1)
K m Z (t )  K d Z (t )  Ke Z (t )  R F (t )  0 ;
где Km, Kd, Ke - матрицы инерционных, диссипативных и упругих коэффициентов; RF (t) вектор, обобщающий заданное силовое воздействие.
Согласно видоизмененной гипотезе Фойгта, для системы с одной степенью свободы [1]
K d   (c m)0.5 (сила/скорость)
(2)
Величины с, m - реакции в наложенной связи от единичного смещения и движения с единичным ускорением, причем данные концевые усилия и коэффициент неупругого сопротивления γ однозначны.
Так как компоненты матриц K m (j), K e (j) j-го КЭ идентичны по физическому
смыслу компонентам (2), то рационально использовать для вычисления компоненты K d i,
(j)
соотношение
k матрицы rd
(3)
Kd i , k   ( Km i , k Ke i , k )0.5 (сила/скорость)
Алгоритм решения (1) в случае действия произвольного протяженного импульса
изложен в [2]
Согласно общему уравнению удара [3] для системы точечных масс справедливо
соотношение
n
 (m
k 1
k
V k  S k )δp(k )  0,
(4)
где n – число точечных масс; mk – масса к-ой точки, V (k ) -приращение скорости точки
«к»; S(k)- импульс, передающийся в к-ую точку; δ p k - вариация перемещения к-ой точки.
Распространяя (4) на случай стержневой системы и принимая в качестве возможных координатные перемещения, получим:
r
( a
j 1
( j )T
(K
( j)
d
K
( j)
H
Уравнение (5) приводится к виду:
__
r

n
( j )T
j 1
v
( j)
(u ) S ( j ) (u )du  0,
(5)
0

R Z ( )  Rs  0,
__ ( k )
где R   a ( j )T ( K d( j )  K H( j ) )a ( j )   a( jk )T ( M ( k )  M
j 1
lj
r
)a ) Z ( )   a
( j)
(6)
r
)a ( jk ) ;
k 1
j 1

__ ( j )
Rs   a ( j )T S
__
n
  a ( jk )T S ( K ) .
k 1
После определения составляющих вектора Z ( ) из решения системы алгебраических уравнений (10) задача динамического расчета при воздействии мгновенной импуль© Г.И. Гребенюк, М.С. Вешкин
сной нагрузки сводится к расчету системы на свободные колебания с начальными усло

 Z ( ),
t 0
t 0
Представляет интерес оценка, насколько влияет на результаты расчета и дискретной оптимизации представление нагрузки в виде импульса конечной протяженности.
Решение Z t   E n матричного дифференциального уравнения (1) без учета демпфиро 0; Z
виями Z
вания представим в виде сумы векторов: Z  t   Z  t   Z  t  , где Z  t  – общее решение
..
однородного уравнения K m Z (t )  K e Z (t )  0 ; Z  t  – частное решение (1). Вектор узловых сил F  t  удобно представить в виде выражения
F t   B  L t  , где L  t  – mF мерный вектор одночленных функций времени, B – числовая матрица. Частное решение
Z  t   Q  L  t  , где Q – числовая матрица попредставляется в аналогичном виде:
рядка n  mF . Неизвестные составляющие матрицы Q находятся из решения системы
Km  Q  H  2  Ke  Q  B  0 ,
линейных уравнений:
где H
 2
(7)
– дифференциальный оператор второго порядка от L  t 
Составляющие вектора постоянных интегрирования на участке 1 при 0  t  T1
определяются из начальных условий. Если считать импульс протяженным, то в
начальный момент времени
.
Z  t  t 0  0; Z t  t 0  0
На втором интервале T1  t   система совершает свободные колебания.. По-
стоянные интегрирования находятся из условий стыковки интервалов 0,T1  , T1 , 
2. Пример расчета и оптимизации
q t 
а
h
i
б
b2
b1
b3
b4
b5
q t 
в
z1
1
z2
2
z4
z3
3
z6
i
0.5
Рис. 1
z5
z7
4
5
z8
z9
В качестве примера расчета и оптимизации рассмотрена
балка с постоянной высотой и
переменной шириной сечений
при действии заданного импульса
(рис.1)
Рассмотрены несколько
вариантов действия распределенного импульса: весьма короткий
(мгновенный) импульс с суммарной
интенсивностью
q  2 103  кН  с м ; импульсы
конечной
протяженности
q t   qa sin  t T1  кН м , при
разных значениях T 1 и одинаковой суммарной (по времени) интенсивностью q . Для определения
параметров
дискретноравнопрочной балки использован
алгоритм итерационного перерасчета.
Алгоритм поиска дискретно-равнопрочной балки быстро сходится. В частности,
на на итерациях 6,7. максимальная разница значений ширины сечений балки на участках
составила 0.88%, а максимальное отклонение от условия равнопрочности составило
0.0001%.
3. Анализ результатов расчетов и оптимизации балки
Прежде всего, обратимся к сравнению равнопрочной балки при мгновенном и
протяженном импульсах. Как следует из расчетов, при мгновенном импульсе объем материала оптимальной балки составил V  0.76 1004  ì 3  . При увеличении продолжительности импульса от 0,001, до 0,01 с. размеры сечений и оптимальный объём уменьшаются по сравнению с результатами, относящимися к мгновенному импульсу. Например, при длительности импульса, равной 0,001с., объем материала оптимальной балки
составил 0.784 10 04  ì 3  , а при длительности, равной 0,01 с. V  0.677 1004  ì 3  , что
говорит о существенном влиянии продолжительности импульса на максимальные усилия
в балке и, в конечном счете, на её оптимальный проект.
Для оценки результатов оптимизации была рассчитана балка с постоянной шириной сечения и получены следующие её характеристики при аналогичном ограничении
по максимальному напряжению. При длительности импульса 0,005 с. V  1.08 1004  ì 3  ,
С увеличением времени импульса до 0,01 с. объем материала оптимальной балки снижается до V  0.946 1004  ì 3  .
Таким образом, анализ результатов расчетов и оптимизации «эталонной» балки в
дискретной постановке, а также сравнение с результатами расчетов балки постоянного
сечения, показали достаточно высокую эффективность разработанных дискретных алгоритмов. Это позволяет использовать их в дальнейшем для расчетов и оптимизации сложных систем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Динамический расчет зданий и сооружений. Справочник проектировщика/Под
редакцией Б.Г.Коренева, И.М. Рабиновича. – М.: Стройиздат,1984. – 511с.
2. Гребенюк Г.И. Методика построения дискретного решения для вынужденных
колебаний диссипативных систем//Г.И. Гребенюк, В.И.Роев// Известия вузов.
Строительство.- 2006-№2.-С. 94-101.
3. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики.–М.: ГИТТЛ,
1956.–432 с.