Фундаментальная и компьютерная алгебра

Аннотация программы учебной дисциплины
«Фундаментальная и компьютерная алгебра»
Направление: 010200.62 «Математика и компьютерные науки»
Профиль: Математическое и компьютерное моделирование
Общее количество часов – 576
1, 2, 3 семестр
3 зач., 3 экз.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целями освоения дисциплины «Фундаментальная и компьютерная
алгебра» являются:
– получение базовых знаний по алгебре и копьютерной алгебре;
– привитие общематематической культуры: умение логически мыслить,
проводить доказательства основных утверждений, устанавливать логические
связи между понятиями, применять полученные знания для решения
алгебраических и геометрических задач и задач, связанных с приложениями
алгебраических методов. Получаемые знания необходимы для понимания и
освоения всех курсов математики, компьютерных наук и их приложений.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование
следующих компетенций:
способностью владеть культурой мышления, умение аргументировано
и ясно строить устную и письменную речь (ОК-1), способность понимать и
анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые
философские проблемы (ОК - 3), способность работать с информацией в
глобальных компьютерных сетях (ОК – 12), способность работы с
информацией из различных источников, включая сетевые ресурсы сети
Интернет, для решения профессиональных и социальных задач (ОК - 15),
способность к интеллектуальному, культурному, нравственному и
профессиональному саморазвитию, стремление к повышению своей
квалификации и мастерства (ОК - 16); способность демонстрации
общенаучных базовых знаний математики, понимание основных фактов,
концепций, принципов, теорий (ПК - 1), способность приобретать новые
научные
и
профессиональные
знания,
используя
современные
образовательные и информационные технологии (ПК - 2), способность
понимать и применять в исследовательской и прикладной деятельности
современный математический аппарат (ПК - 3), способность решать в
составе коллектива решать задачи профессиональной деятельности (ПК - 4),
способность критически переосмысливать накопленный опыт (ПК - 5),
способность составлять и контролировать план выполняемой работы,
планировать необходимые для выполнения работы ресурсы, оценивать
результаты собственной работы (ПК - 12).
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) Знать:
– основные понятия и результаты по алгебре (теория матриц, системы
линейных уравнений, теория многочленов, линейные пространства и
линейная зависимость, собственные векторы и собственные значения,
канонический вид матриц линейных операторов, геометрия метрических
линейных пространств, свойства билинейных функций, классификацию
квадрик, основы теории групп и колец). Студенты должны знать логические
связи между ними. Знать основы компьютерной алгебр.
2) Уметь:
– решать системы линейных уравнений, вычислять определители,
исследовать свойства многочленов, находить собственные векторы и
собственные значения, канонический вид матриц линейных операторов,
классифицировать квадрики, основные свойства групп, колец.
3) Владеть:
– математическим аппаратом алгебры и компьютерной алгебры,
аналитическими методами исследования алгебраических и геометрических
объектов.
3. Содержание дисциплины. Основные разделы.
Матрицы и операции над ними. Элементарные преобразования матриц
и приведение их к ступенчатой форме. Определитель n-го порядка и его
свойства. Теорема Лапласа и ее следствия. Обратная матрица. Линейные
операции над векторами. Понятие вещественного линейного пространства.
Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл. Ранг матрицы.
Теорема о базисном миноре и ее следствия. Система линейных
алгебраических уравнений. Системы с квадратной невырожденной
матрицей. Исследование систем общего вида. Комплексные числа и
операции над ними. Линейное пространство над произвольным полем.
Линейные подпространства: сумма, пересечение. Линейное аффинное
многообразие. Евклидово и унитарное пространство. Ортогональные
системы векторов. Матрица линейного оператора. Линейное пространство
линейных операторов. Умножение линейных операторов,
обратный
оператор. Собственные значения и собственные векторы линейного
оператора. Инвариантные подпространства и треугольная форма матрицы
линейного оператора. Корневые подпространства и жорданова
форма
линейного оператора. Комплексные числа и операции над ними. Линейное
пространство над произвольным полем. Линейные подпространства: сумма,
пересечение. Линейное аффинное многообразие. Евклидово и унитарное
пространство. Ортогональные системы векторов.
Матрица линейного
оператора. Линейное пространство линейных операторов. Умножение
линейных операторов,
обратный оператор. Собственные значения
и
собственные векторы линейного оператора. Инвариантные подпространства
и треугольная форма матрицы линейного оператора. Корневые
подпространства и жорданова форма линейного оператора.
Линейные операторы в евклидовом (унитарном)
пространстве.
Сопряженный оператор. Нормальный, унитарный и самосопряженный
операторы. Квадратный корень из оператора. Квадратичные формы в
линейном пространстве. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду и закон инерции. Квадратичные формы в евклидовом пространстве.
Основы компьютерной алгебры.
Составитель: доцент каф. МАиМ Кван Н.В.