10-17Urok6

Урок 6. Извлечение комплексных корней
План урока







Определение комплексного корня.
Общая формула для корней n –ой степени из комплексного числа.
Корни n –ой степени из единицы.
Свойства корней n –ой степени из единицы.
Запись корней n –ой степени из комплексного числа с помощью корней из единицы.
Проверь себя. Извлечение комплексных корней.
Домашнее задание
Цели урока
Доказать формулу для вычисления всех n корней n –ой степени из ненулевого комплексного числа и выяснить роль корней n –ой степени из единицы.
Определение комплексного корня.
Пусть n — целое число, большее 1 .
Определение. Корнем n -й степени из комплексного числа z называется каждое такое
число w , что wn  z .
Как и для действительных чисел, комплексный корень n -й степени из z обозначается
n
z.
При z  0 корень n -й степени из z находится легко. Действительно, если wn  0 , то тогда
 wn  0 ,  w n  0 ,  w  0 , а поэтому w  0 .
Таким образом n 0  0 при любом натуральном n .
При z  0 корни n -ой степени удобно находить, записывая комплексные числа в тригонометрической форме. Сначала рассмотрим примеры.
Пример 1. Найдем квадратные корни из числа



z  4  cos  i sin  
6
6

Решение. Обозначим неизвестный квадратный корень из z через w и запишем его в виде
w  R(cos   i sin  )
Тогда w2  R2 (cos 2  i sin 2 )
Так как w2  z , то получаем равенство



R 2 (cos 2  i sin 2 )  4  cos  i sin  
6
6

Равные комплексные числа имеют одинаковые модули, а их аргументы могут отличаться
лишь на кратное 2 . Следовательно,
R 2  4 2 

 2 k  где k  Z 
6
Так как число R действительное и больше нуля, то отсюда
R  2  

12
  k  где k  Z 
Таким образом, мы получаем, что





w  2  cos    k   i sin    k   
 12

 12


то есть



z  sqrt 4  cos  i sin  
6
6






 2  cos    k   i sin    k    где k  Z 
 12

 12


Подставляя вместо k различные целые числа, получаем равенства:

 

w1  2  cos  i sin  
12
12 

13
13

w2  2  cos
 i sin
12
12






 





w3  2  cos   2   i sin   2    2  cos  i sin   w1
12
12 
 12

 12




13
13





w4  2  cos   3   i sin   3    2  cos
 i sin
12
12
 12

 12




  w2 






w5  2  cos   4   i sin   4    w1
 12

 12







w6  2  cos   5   i sin   5    w2 
 12

 12


и так далее.
Остается заметить, что среди выписываемых значений только два различных:

 

w1  2  cos  i sin  
12
12 

13
13 

w2  2  cos
 i sin
   w1 
12
12 

Эти числа изображены векторами на рисунке 1.
Пример 2. Найдем корни кубические из числа z  1  i 3 .
Решение. Сначала запишем число z в тригонометрической форме:
2
2 

z  2  cos
 i sin

3
3 

Обозначим 3 z  w  R(cos   i sin  ) . Так как w3  z , то
2
2 

R 3 (cos 3  i sin 3 )  2  cos
 i sin

3
3 

Следовательно, R3  2 3 
k  Z . Поэтому
2
2 2 k
 2 k  где k  Z  Отсюда R  3 2   

, где
3
9
3

 2 2 k 
 2 2 k  
1  i 3  3 3  cos 


  i sin 
  где k  Z 
3 
3  
 9
 9

Подставляя вместо k различные целые числа, получаем
w1  3 2  cos 29  i sin 29  ;
3
w2  3 2  cos 89  i sin 89  ;
w3  3 2  cos 149  i sin 149 ) ;
w4  3 2  cos 209  i sin 209   3 2  cos  29  2   i sin  29  2    3 2  cos 29  i sin 29   w1 ,
и так далее.
Таким образом, 3 1  i 3 имеет три различных комплексных значения, которые изображены векторами на рисунке 2.
Вопрос Сколько различных комплексных значений имеет 4 i
(Ответ: 4. wk  cos  8  24 k   i sin  8  24 k  , где k=0, 1, 2, 3.)
Общая формула для корней n –ой степени из комплексного числа.
Рассмотрим в общем случае извлечение комплексных корней.
Пусть z  0 и z  r (cos   i sin  ) .
Обозначим n z  w   R(cos   i sin  ) . Тогда wn  R n (cos n  i sin n ) . Так как wn  z , то
приходим к равенству
R n (cos n  sin n )  r (cos   i sin  )
Следовательно,
R n  r n    2 k  где k  Z 
Отсюда
R  n r  
Таким образом, мы
z  r (cos   i sin  ) :
n
получаем

n

2 k
 k  Z
n
формулу
для
комплексных
корней
из
числа

  2 k 
  2 k  
r (cos   i sin  )  n r  cos  
  i sin  
  где k  Z 
n 
n  
n
n

Докажем, что среди записанных значений есть только n различных комплексных чисел.
Положим сначала k  0 , 1 , 2 , ... , n 1 . Получим корни:
w0  n r  cos n  i sin n  ,
 
r  cos 
w1  n r cos

w2  n

................
n
n
 
wn 1  n r cos

 2n  i sin


n

 2  2n  i sin

n

 2n


n
 ,
 2  2n
 (n  1)  2n  i sin


n
 ,

 (n  1)  2n ) .
Все эти корни имеют модуль, равный n r . Поэтому они изображаются точками окружности радиуса n r с центром в начале координат. Вектор, идущий из начала координат в
точку w0 , образует с осью Ox угол n . Вектор, идущий из точки O в точку w1 , составляет
с осью Ox угол

n

n
 2n . Вектор, идущий из точки O в точку w2 , составляет с осью Ox угол
 2  2n и так далее (рисунок 3). Центральный угол между двумя соседними векторами
равен 2n .
Таким образом, корни w0 , w1 , w2 ,..., wn1 изображаются вершинами правильного n угольника, вписанного в окружность радиуса n r с центром в начале координат. Поэтому
все эти корни различны между собой.
Остается показать, что каждое из оставшихся значений n z совпадает с одним из чисел
w0 , w1 , w2 ,..., wn1 .
Рассмотрим произвольное целое число k . Разделив его на n с остатком, получим
k  mn  r где 0  r  n
Аргумент корня wk при выбранном значении k равен
  2 k   2(mn  r )
  2r

 2m 

n
n
n
Следовательно, он отличается от аргумента корня wr на 2m . Отсюда wk  wr .Это и
означает, что wk совпадает с одним из корней w0 , w1 , w2 ,..., wn1 .
Таким образом, доказано следующее:
Утверждение Корень n -ой степени из числа z  0 имеет в точности n различных комплексных значений.
Пример 3. Найдем корни третьей степени из 1 .
Решение. Запишем число 1 в тригонометрической форме:
1  1 (cos   i sin  )
1  3 1  cos  32 k  i sin  32 k  .
Полагая k  0 , 1 , 2 , будем иметь

 1
3
w0  cos  i sin   i

3
3 2
2
По формуле
3
w1  cos   i sin   1
w2  cos
5
5 1
3
 i sin
 i

3
3 2
2
Вопрос Сколько различных корней имеет уравнение x 5  1  0 ?
(Ответ пять. Корни пятой степени из -1)
Корни n –ой степени из единицы.
Пусть n - натуральное число.
Для вычисления комплексных корней из числа 1 запишем его в тригонометрической форме:
1  1 (cos 0  i sin 0)
Поэтому по формуле корня
n
2 k
2 k 

1  1  cos
 i sin
  где
n
n 

k  Z  При k=0  1  2  n-1 получаем все различные значения n 1 :
 0  cos 0  i sin 0  1 ;
1  cos 2n  i sin 2n ;
 2  cos 4n  i sin 4n ;
..............................
 n 1  cos 2 (nn1)  i sin 2 (nn 1) .
Эти корни изображаются вершинами правильного n -угольника, вписанного в окружность
радиуса 1 с центром O , причем одной из его вершин является точка (1 0) . На рисунке 4
изображены корни третьей степени из 1 , равные 1 ,  12  i
В дальнейшем для полученных выше значений
n
3
2
;  12  i
3
2
.
1 будем использовать обозначения  0 , 1
,...,  n 1 .
Вопрос Какие корни имеет уравнение x 6  x  0 ?
(Ответ шесть. z6=0 и пять корней пятой степени из 1)
Свойства корней n –ой степени из единицы.
Корни n -степени из 1 обладают многими полезными свойствами. Прежде всего заметим,
что каждый из этих корней можно получить с помощью арифметических операций из
корня 1 . Действительно,
2
2 
4
4

 i sin
 i sin
 2
1   cos
  cos
n
n 
n
n

2
2


1 3   cos
2
2 
6
6
 i sin
 i sin
 3
  cos
n
n 
n
n
3
и так далее.
В частности получаем равенство
1 n  cos
2 n
2 n
 i sin
 1
n
n
Докажем, что сумма всех корней n -ой степени из 1 равна 0 .
Доказательство.
 0  1  …  n1  1  1  1 2  … 1 n1 
1  1
11


 0
1  1 1  1
n
Вопрос Чему равно произведение всех корней n -степени из единицы?
(Ответ.
n n1
Так как 1  cos 2n  i sin 2n , то  0 1 …  n1  1
 1 2  cos   n  1  i sin   n  1 .
Последнее выражение равно 1 при нечетных n и –1 при четных.)
1 2  ( n 1)
Запись корней n –ой степени из комплексного числа с помощью корней из
единицы.
Корни n -степени из единицы позволяют через одно из значений n z записать все остальные значения.
n
n
Действительно, пусть w1 и w2 — два различных значения n z . Тогда w1  z , w2  z , а
поэтому
w1 n
w2
n

 
w1 n
w2
 zz  1 . Следовательно,
 
w1 n
w2
 1 , откуда
w1
w2
  i , где  i — некоторый
корень из единицы. Тогда w2  w1   i .
Таким образом, выбирая одно из значений w1 для
чить следующим образом:
w2  w1  1 , w3  w1   2 , , wn  w1   n 1 .
n
z , остальные значения можно полу-
Пример 4. Число w1  1  i является значением кубического корня из числа z  2  2i , так
как (1  i)3  2  2i . Поэтому числа
 1  i 3  1  3  (1  3)i
w2  (1  i ) 

 
2
2


 1  i 3  1  3  (1  3)i
w3  (1  i ) 
 
2
2


также значения 3 2  2i .
Пусть 1  cos 2n  i sin 2n , где n — натуральное число, больше 2 . Тогда
1 1 
 2
 cos  
1
 n
1

 2
  i sin  

 n
2
2

 i sin

  cos
n
n

Поэтому
cos
2 1 
1
  1   
n 2
1 
2 1 
1
  1   
n 2i 
1 
Аналогично для произвольного натурального k  n 1 получаются равенства
2 k 1  k 1 
cos
  1  k  
n
2
1 
sin
2 k 1  k 1 
  1  k  
n
2i 
1 
Такое представление тригонометрических функций позволяет вычислять некоторые суммы.
sin
Пример 5. Найдем cos 27  cos 47  cos 67 . Решение. Рассмотрим 1 при n  7 , то есть
1  cos 27  i sin 27 . Из равенств предыдущего пункта имеем
cos
2
4
6 1 
1
1
1 
2
3
 cos
 cos
  1   1  2  1  3  
7
7
7 2
1
1
1 


1
21
1
21


3
6
1  1  1  1  1  1  
2


3  
4
5
6
3
1  1  1  1  1  1  1   1  
2
3
4
5


Таким образом, cos 27  cos 47  cos 67
1


3
21
  12 .
1
3
0  1    
2
Мини исследование Чему равно произведение cos 27  cos 47  cos 87 ?
Подсказка:
Первый способ.
2 k 1  k 1 
  1  k  покажите, что cos 27  cos 47  cos 87 
Воспользовавшись формулой cos
n
2
1 
1
 3  2  2 cos 27  2 cos 47  2 cos 67  .
2
Второй способ.
sin 27  cos 27  cos 47  cos 87
Перепишите выражение cos 27  cos 47  cos 87 
и воспользуйтесь
sin 27
свойствами тригонометрических функций двойного аргумента.
Проверь себя. Извлечение комплексных корней.
Задание 1.
Выбрать из предложенных вариантов ответов правильные. Правильных ответов может
быть несколько. В этом случае надо выбрать все правильные.
Сколько существует различных корней шестой степени из комплексного числа z  0 ?
1. 1 корень.
2. 2 корня.
3. 3 корня.
4. 6 корней.
Ответ: 4.
Какую фигуру на координатной плоскости образуют все корни четвертой степени из комплексного числа –1?
1. Ромб с углом 60○.
2. Квадрат со сторонами параллельными координатным осям.
3. Квадрат со сторонами параллельными биссектрисам первой и второй четверти.
4. Прямоугольник со сторонами биссектрисам первой и второй четверти.
Ответ: 2.
Корни нечетной степени из действительного числа изображаются на координатной плоскости множеством точек симметричных
1. относительно начала координат;
2. относительно оси Ox;
3. относительно оси Oy;
4. относительно прямой проходящей через начало координат и любой из корней.
Ответ: 2, 4.
Корни четной степени из действительного числа изображаются на координатной плоскости множеством точек симметричных
1. относительно начала координат;
2. относительно оси Ox;
3. относительно оси Oy;
4. относительно прямой, проходящей через начало координат и любой из корней.
Ответ: 1, 2, 3, 4.
Задание 2.
Выбрать правильные ответы.
Вычислить корни третей степени из 3i  1 .
1. 3 4  cos  9  2 k3   sin  9  2 k3   , где k  0, 1, 2.
2.
3
3.
3
4.
3
4  cos  9  k3   sin  9  k3   , где k  0, 1, 2.
2  cos  9  k3   sin  9  k3   , где k  0, 1, 2.
2  cos  9  2 k3   sin  9  2 k3   , где k  0, 1, 2.
Ответ: 4.
Сколько корней имеет уравнение z 3  z 2 ?
1. 3 корня.
2. 4 корня.
3. 5 корней.
4. 6 корней.
Ответ: 4.
При каких натуральных значениях n справедливо равенство (1  i)n  (1  i)n .
1. Только при n  0.
2. При всех n кратных 2.
3. При всех n кратных 4.
4. При всех n кратных 8.
Ответ: 3.
Пусть  k  cos 212 k  i sin 212 k k-ый корень двенадцатой степени из единицы. Упростить выражение  z   3  z   6  z   9  .
1. z 3  z 2  z  1 .
2. z 3  z 2  z  1.
3. z 3   3   6   9 .
4.
 z  6 
3
.
Домашнее задание
1. Найдите:
а)
i;
б)
3
8i ;
в)
8  i 8 3 ;
г)
3
8 ;
д) 6 64 ;
е) 4  48  i ;
ж) 32 .
2. Решите уравнение:
а) x 4  8  i  8 3  0 ; б) x 2  2i  x  5  0 ;
в) x 2  x  1  0 ; г)  x3  x 2  x  1  0 ;
д)  x5  x 4  x3  x 2  x  1  0 .
3. К точке приложено 20 сил, причем угол между двумя последовательными силами равен 45 , а модули сил составляют геометрическую прогрессию, первый член которой
равен 1 , а знаменатель 2 . Найдите величину и направление равнодействующей силы.
4. Докажите, что произведение и частное двух корней n - ой степени из числа 1 также
является корнем n -ой степени из 1 .
5. Докажите, что все корни n -ой степени из 1 являются степенями одного корня
  cos 2n  i sin 2n .
6. Докажите, что все корни n -ой степени из числа z можно получить, зная какой-либо
один корень w и умножая его на все разные значения корня n -ой степени из 1 .
7. Покажите, что корни n -ой степени из 1 изображаются вершинами правильного n угольника, симметричного относительно оси Ox . Для каких n этот многоугольник
симметричен также относительно оси Oy ?
8. Докажите, что уравнение x 6  x5  x 4  x3  x 2  x  1  0 не имеет действительных корней.
9. Найдите все комплексные корни уравнения:
а) z 2  z  0 ;
б) z 3   z  0 ;
в) z 5  z .
10. Сколько корней в множестве комплексных чисел имеет уравнение z100  z 99 ?
Рисунки (названия файлов)
Рисунок 1 —10-14-13.eps
Рисунок 2 —10-14-14.eps
Рисунок 3 —10-14-15.eps
Рисунок 4 —10-14-16.eps