ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СВЯЗАННОЙ ЗАДАЧИ
ТЕРМОУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ СЛОИСТОЙ
КОМПОЗИТНОЙ ОБОЛОЧКИ
А.Н. Андреев
Кемеровский государственный университет
650043, г. Кемерово
e-mail: algebra@kemsu.ru
Рассматривается слоистая композитная оболочка постоянной толщины h, собранная
из m слоев также постоянной толщины, каждый из которых армирован семейством однонаправленных волокон. Пусть x1 , x 2 - внутренние координаты отсчетной поверхности,
в качестве которой примем «нижнюю» лицевую поверхность тела оболочки, z - нормальная координата. В этой координатной системе уравнения поверхностей раздела j -го
и ( j  1) -го слоев ( j  1, 2, ..., m  1) запишутся в виде
z  hj ,
(1)
где h j  const, 0  h0  h1    hm  h. На поверхностях (1) поперечные компоненты
 3 ,  33 тензора напряжений и компоненты v , v3 вектора перемещений должны удовлетворять условиям непрерывности [1], а приращение  температуры – условиям идеального теплового контакта [2].
Считаем материалы связующего и армирующих волокон изотропными, а поперечное
нормальное напряжение  33 малым по сравнению с нормальными напряжениями в
плоскости слоя оболочки. При перечисленных условиях уравнения Дюамеля – Неймана
запишутся в виде
1   ( n )  

En 
 (
 g  g  
g g  g  g    g   ( n)( n ) ,
n) 
2  ( n)
2
1  ( n) 

(2)
E
3
 ( n )
n
 (n) 
g  3
21   n 
где E. - модуль Юнга и коэффициент Пуассона, соответственно, причем индекс n следует взять равным c для материала связующего и равным a - для армирующих волокон.
Для построения эффективных физических соотношений, связывающих между собой
средние напряжения и средние деформации представительного элемента армированного
слоя, использован структурный подход [1]. В результате получены эффективные уравнения Дюамеля – Неймана анизотропного упругого тела
   A    c ,  3  p   3 ,  3  q 3 .
(3)
Неклассические дифференциальные задачи термоупругого деформирования многослойной анизотропной оболочки строим на основе следующего допущения [1] о законе
распределения поперечных компонент тензора деформаций по толщине оболочки:
0( k ) 3
0( k )

3
 0(3k )  q
 0  zh 1 03
 f ( z )  ,  33
 0.
(4)
h  0



Здесь k  1, 2, ...,m - порядковый номер слоя.
 Андреев А.Н., 2011


03 ,  h3

- значения поперечных сдвиговых
напряжений на верхней и нижней лицевой поверхности, соответственно. Распределение
компонент вектора перемещений по толщине многослойного пакета, соответствующее
закону (4), определяется из соотношений деформации – перемещения [1] и имеет вид
v30( k )  w( x1 , x 2t ), v0( k )  0( k ) ( x1 , x 2 , z , t ) 
(5)
0( k ) 1 2
 u ( x1 , x 2 , t )  z ( x1 , x 2 , t )  
( x , x , z , t )  ( x1 , x 2 , t ).
Легко видеть, что представления (4), (5) удовлетворяют условиям межслоевого контакта
и условиям нагружения на поверхностях z  0, z  h оболочки.
Примем следующий закон [3] распределения приращения температуры по толщине:
(6)
k  k (0 ,h )  g ( z)( x1, x 2 , t ).
Здесь ( x1, x 2 , t )  независимая характеристика, учитывающая отклонение от линейного
закона распределения температуры, g (z ) - заданная непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая условиям
g (0)  g (h)  0,
(7)
( j)
( j 1)
K 33 g (h j  0)  K 33
g (h j  0) ( j  1, 2,..., m  1),
( j)
- коэффициенты тензора теплопроводности j -го слоя. Один из возможных спосоK rs
бов построения функции g (z ) приведен в [3]. Легко убедиться, что распределение температуры (6), (7) удовлетворяет условиям нагрева на лицевых поверхностях и условиям
идеального теплового контакта на поверхностях раздела слоев.
Дифференциальные уравнения связанной задачи термоупругого деформирования
слоистой оболочки следуют из обобщенного принципа виртуальных перемещений [2].
Данный вариационный принцип включает в себя вариации обобщенных перемещений
u , w,   , вариацию поля температур  и записывается в виде:

W  P  D  L  H n dA.
(8)
A


W    ij dV  c  ij dV , P 
ij
B
D  T0

ij
B
 H jH i dV , L 
ij
B

c
   dV ,
T9
 p v dA   X
i
B
i
i
A

 vi vi dV .
(9)
B
Подставляя в вариационное уравнение (8) выражения (4) – (7), выполняя интегрирование
по поперечной координате z и приравнивая к нулю множители при независимых вариациях обобщенных перемещений и множитель при вариации поля температур отдельно в
поверхностном и контурном интегралах, приходим к системе дифференциальных уравнений связанной задачи термоупругого деформирования слоистой оболочки
   b  Y   T  b   M     3   3  hb 3 ,
X



 
0
 


I    Y  b T     M     33   033   03   3    h  3 ,
Z    S  Q        3  (m) ( x1 , x 2 , h),

 
(10)
h

 
c 
  K      T0 c  g ( z )dz  W .
0
(11)
Итак, установлена замкнутая система дифференциальных уравнений (9), (10) термоупругости слоистой композитной оболочки, позволяющая учесть сопряжение полей деформаций и температур в теле оболочки, явление поперечных сдвигов в ее слоях, нелинейный
закон распределения температуры по поперечной координате. Граничные условия, соответствующие системе (9) установлены в [1] и здесь сохраняют свой вид. Тепловые краевые условия отражают взаимодействие контура оболочки с окружающей средой. Этими
условиями в точках граничного контура задается либо функция  , либо поток тепла через этот контур.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб,
устойчивость, колебания. Новосибирск: Наука, 2001. 288 с.
Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.: Мир, 1970. 256 с.
Немировский Ю.В., Бабин А.И. Теплопроводность многослойных армированных оболочек// Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций. Труды Всесоюзной конференции. Саратов, 7 – 9
июня 1988 г. – Саратов, 1989 г.- С. 126 – 130.