Математическая логика и теория алгоритмов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра алгебры и математической логики
Абдубакова Л.В.
Математическая логика и теория алгоритмов
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов специальности
10.05.03 «Информационная безопасность
автоматизированных систем»,
специализация «Обеспечение информационной безопасности
распределенных информационных систем»
Форма обучения - очная
Тюменский государственный университет
2014
2
Абдубакова Л.В. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебно-методический
комплекс. Рабочая программа для студентов специальности 090303.65 (10.05.03) «Информационная безопасность автоматизированных систем», специализация «Обеспечение информационной безопасности распределенных информационных систем». Тюмень,2014,
34 стр.
Рабочая программа соответствует требованиям ФГОС ВПО с учетом рекомендаций
и ПрООП ВПО по специальности.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ:
«Математическая логика и теория алгоритмов» [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, , свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой алгебры и математической логики. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Кутрунов В.Н., д.ф.-м.н., профессор
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Абдубакова Л.В., 2014.
3
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Дисциплина "Математическая логика и теория алгоритмов" обеспечивает
приобретение знаний и умений в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом, содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.
Цели дисциплины:
- овладение студентами математическим аппаратом, необходимым для применения математических методов в практической деятельности и в исследованиях;
- ознакомление студентов с понятиями, фактами и методами, составляющими
теоретические основы информатики;
- развитие логического мышления;
- обеспечение студентов знаниями по математической логике, необходимые для
понимания математики, теории вероятностей и других математических дисциплин.
Задачи изучения дисциплины:
- изучить материал дисциплины;
- усвоить основные понятия и методы, изучаемые в процессе освоения материала дисциплины;
- приобрести навыки самостоятельного решения задач различной степени
сложности;
- выработать умение проводить анализ полученных в процессе решения фактов
и результатов;
- обобщить и систематизировать полученные знания, умения и навыки.
1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» входит в базовую
часть математического и естественнонаучного цикла.
Дисциплина «Математическая логика и теория алгоритмов» базируется на знаниях, полученных в рамках школьного курса математика или соответствующих дисциплин среднего профессионального образования. Для ее успешного изучения необходимы также знания и умения, приобретенные в результате освоения алгебры.
В ходе изучения дисциплины «Математическая логика и теория алгоритмов»
студенты должны усвоить основные понятия и методы математической логики, получить основные сведения о структурах, используемых в персональных компьютерах.
Освоение дисциплины предусматривает приобретение навыков работы с соответствующими учебниками, учебными пособиями, монографиями, научными статьями.
На основе приобретенных знаний формируются умения применять математические методы при решении профессиональных задач повышенной сложности, владеть методами построения математической модели профессиональных задач и содержательной интерпретации полученных результатов.
Знание математической логики и теория алгоритмов может существенно помочь
в научно-исследовательской работе.
4
Таблица 1.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
№
Наименование обес- Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваеп/п
печиваемых (послемых (последующих) дисциплин
дующих) дисциплин
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
3.1
3.2
1.
Алгебра и геометрия
+
+
2.
Математический анализ
Дискретная математика
+
+
+
+
5.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
способностью логически верно, аргументировано и ясно строить устную и
письменную речь на русском языке, готовить и редактировать тексты профессионального
назначения, публично представлять собственные и известные научные результаты, вести
дискуссии (ОК-7);
способностью применять математический аппарат, в том числе с использованием
вычислительной техники, для решения профессиональных задач (ПК- 2);
способностью применять современные методы исследования с использованием
компьютерных технологий (ПК-10).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
 Знать: основные понятия математической логики, определения и свойства
математических объектов в этой области, формулировки утверждений, методы их
доказательства, возможные сферы их приложений, основы компьютерного моделирования стохастических объектов и явлений.
 Уметь: решать задачи вычислительного и теоретического характера в области математической логики, доказывать утверждения из этой области.
 Владеть: математическим аппаратом логики, методами решения задач и доказательства утверждений в этой области.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр – второй. Форма промежуточной аттестации экзамен. Общая
трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетные единицы, 180 академических часа, из
них 57.75 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем, 122,25 часа,
выделенных на самостоятельную работу.
5
Таблица 2.
Всего часов
Вид учебной работы
Контактная работа со студентами
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Общая трудоемкость
час
зач. ед.
57,75
54
18
36
3,75
122,25
экзамен
180
5
3. Тематический план
1
1.1
.
1.2
.
2.1
.
2.2
.
2.3
.
3.1
.
3.2
2
Модуль 1
Булевы функции и
логика высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего
Модуль 2
Логика предикатов.
Фильтры, теорема
компактности.
Исчисление предикатов.
Всего
Модуль 3
Частично рекурсивные функции.
Машина Тьюринга.
3
4
Самостоятельная работа*
ные работы
Семинарские
(практические) занятия*
Лаборатор-
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
Лекции
Тема
недели семестра
№
Ито
го
часов
по
теме
5
7
8
Таблица 3.
Из
Итого
них
колив
чество
ин- баллов
терактивной
фор
ме
9
10
1–5
4
8
18
30
5
0 – 25
6–8
4
8
22
34
5
0 – 25
8
16
40
64
10
0 – 50
9 – 10 1
4
15
20
2
0–2
0–4
11
1
-
5
6
12 –
13
4
8
20
32
4
0 – 14
6
12
40
58
6
0 – 20
2
4
23
29
2
0 – 10
2
4
23
29
2
0 – 20
14 –
16
17 –
6
.
18
Всего
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
*с учетом иных видов работ
4
18
8
36
6
14
46
126
58
180
4
20
0 – 30
0 – 100
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Таблица 4.
Модуль 1
1.1.
1.2.
Всего
Модуль 2
2.1.
2.2.
2.3.
Всего
Модуль 3
3.1.
3.2.
Всего
Итого
-
Итого количество баллов
реферат
Компьютерное
моделирование
тест
Письменные работы
контрольная работа
ответ на
семинаре
дискуссии
Устный опрос
собеседование
№ темы
0-5
0-5
0-10
0-15
0-15
0-30
0-5
0-5
0-5
0-5
0 – 25
0 – 25
0 – 50
-
-
0–2
0–4
0 – 14
0 – 20
0-5
0-4
0-4
0-9
0 – 10
0 – 20
0 – 30
0 – 100
-
0-2
0-2
0-4
0-2
0-2
0-2
0-6
0-10
0-10
0-2
0-2
0-2
0-4
0-4
0-5
0-9
0-25
0-40
0-15
0-15
0-15
5. Содержание дисциплины.
Модуль 1.
1.1.Булевы функции. Логика высказываний.
Предикаты, специальные бинарные отношения, связь фактор - множества по эквивалентности с разбиением множеств.
Булевы функции и их задания, основные тождества. КНФ и ДНФ, контактно - релейные схемы.
Описание предполных классов.
1.2. Исчисление высказываний.
Формулировка ИВ, аксиомы, правила вывода, секвенции и их доказательства. Теорема о полноте ИВ.
Модуль 2.
2.1. Логика предикатов.
Сигнатура (язык), системы и формулы данной сигнатуры, их истинность в системах. Эквивалентные формулы, их предварительный вид
2.2. Фильтры, теорема компактности.
Фильтры, вложение фильтров ультрафильтры и их описание. Определение фильтрованного произведения систем, теоремы об ультра произведениях и компактности, их
применение в арифметике и теории моделей.
7
2.3. Исчисление предикатов.
Непротиворечивые множества формул и доказательство существования моделей
для них. Исчисление предикатов. Теоремы о полноте ИВ и независимости аксиом.
Модуль 3.
3.1. Частично рекурсивные функции.
Машины Тьюринга и функции вычислимые на них. Частично – рекурсивные функции и тезис Черча. Универсальные функции.
3.2. Машины Тьюринга.
Классы рекурсивно – перечислимых множеств. Существование простых множеств
и теорема Поста, m – сводимость, универсальные и креативные, рекурсивно неотделимые
множества. Теорема Геделя о неполноте. Неразрешимость арифметики и логики предикатов.
6. Планы семинарских занятий.
Модуль 1.
1.1. Булевы функции. Логика высказываний.
Построение по булевой функции, заданной формулой с использованием импликации и отрицания таблицы истинности, КНФ, ДНФ и их упрощение, составление контактно
– релейной схемы. Полнота классов, штрих Шеффера и стрелка Пирса. Проверка сохранений истинности секвенций правилами вывода, доказательство секвенций.
1.2. Исчисление высказываний.
Построение формул арифметики для определимых предикатов на натуральных
числах. Задачи на выяснение эквивалентны или нет данные формулы. Приведение предложений к предварённой форме.
Модуль 2.
2.1. Логика предикатов.
Центрированные семейства множеств и фильтры Фреме.
2.2. Фильтры, теорема компактности.
Главные фильтры, описания максимальных главных фильтров.
2.3. Исчисление предикатов.
Примеры теорий (частичных порядков, групп, колец и т.п.). Их аксиоматика, противоречивое множество формул ( конечных ), каждое собственное подмножество которых
непротиворечивое.
Модуль 3.
3.1. Частично рекурсивные функции.
Построение МТ для вычисления некоторых несложных функций, определение их с
помощью рекурсий и простейших функций.
3.2. Машины Тьюринга.
Замкнутость РПМ относительно операций пересечения и объединения, Равносильные определения рекурсивных и РПМ. Выделение классов РПМ в языке решетки РПМ.
Набросок доказательств разрешимости (метод элиминации кванторов) и неразрешимости
некоторых элементарных теорий.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены
8
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной
работы студентов.
2 семестр
№
Модули и темы
Модуль 1
1.1 Булевы функции и логика
высказываний.
Исчисление высказываний.
Всего по модулю 1:
Модуль 2
2.1 Логика предикатов.
2.2 Фильтры, теорема компактности.
1.2
2.3
Исчисление предикатов.
Всего по модулю 2:
Модуль 3
3.1 Частично рекурсивные
функции.
3.2
Машина Тьюринга.
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Виды СРС
обязательдополниные
тельные
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Подготовка
рефератов,
составление
задач
Неделя
семестра
Таблица 5.
Объ- Колем
во
часов баллов
1–5
18
0-25
6–8
22
0-25
40
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Написание
программы
9 – 10
11
15
5
0-2
0-4
12 – 13
20
0-14
40
Проработка
лекций, работа с литературой,
решение
типовых задач
Чтение дополнительной литературы;
Знакомство
с содержанием электронных источников.
Решение задач повышенной
сложности.
Подготовка
рефератов
0-50
0-20
14 – 16
23
0-10
17 – 18
23
0-20
46
126
0-30
0-100
9
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в
процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):
10
Таблица 6.
Циклы
С6.
С1.Б.
С1.Б.
С2.Б.
С3.Б.
С5.
С5..
С2.Б.
Название дисциплины (модуля), практики, ИГА
ОК-7
Итоговая государственная аттестация
История отечества
Русский язык и культура речи
Информатика
Основы информационной безопасности
Учебная практика
Производственная практика
Математическая логика и теория алгоритмов
ПК-2
Итоговая государственная аттестация
Алгебра и геометрия
Дискретная математика
Математическая логика и теория алгоритмов
Теория вероятностей и математическая статистика
История математики
Криптографические методы защиты информации
С6
С2.Б.
С2.Б.
С2.Б.
С2.Б
С2.В.
С3Б.
Специализация.
Дисциплины по вы- Дополнительные главы криптографии
бору
С5.
Учебная практика
С5..
Производственная практика
С6
С2.Б.
ПК-10
Итоговая государственная аттестация
Математическая логика и теория алгоритмов
Семестр
10
1
9
1
5
6
8,10
2
10
1,2,3
3
2
6,7
1
5
9
6
8,10
10
2
С2.Б
С2.В.
С3.Б.
С5.
С5..
Теория вероятностей и математическая статистика
Структуры и алгоритмы компьютерной обработки данных
Организационное и правовое обеспечение информационной безопасности
Учебная практика
Производственная практика
6,7
4
9
6
8,10
12
ПК-2
ОК-7
Код компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных
этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 7.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения
ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
базовый (хор.)
76-90 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает: основ- Знает: основные понятия и ные понятия и
утверждения
утверждения, а
также методы
доказательства
стандартных
утверждений
Умеет: решать Умеет: решать
Знает: основные понятия и
утверждения, а
также методы
доказательства
утверждений:
простейшие
задачи вычислительного и
теоретического характера
задачи
вычислительного и теоретического
характера, доказывать
утверждения
стандартные
задачи
вычислительного и теоретического
характера, доказывать
стандартные
утверждения
Владеет:
ма- Владеет: математическим тематическим
аппаратом
аппаратом,
математичеаналитической логики, скими метоаналитичедами исслескими мето- дования
дами исследования
Знает:
простейшие
утверждения
математической логики
Виды занятий (лекции,
семинар
ские, практические,
лабораторные)
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
Лекции,
практические занятия
Контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания.
Лекции,
практические занятия
Контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания.
Умеет: решать
математическим
аппаратом,
аналитическими методами исследования
Владеет:
Знает: основ- Знает: теоремы
ные утвержде- математичения математи- ской логики
ческой логики
ПК-10
Умеет: доказывать простейшие утверждения
Владеет: методами
доказательств
простейших
утверждений
Знает: общие
принципы
применения
простейшие
утверждения
математической
логики
для исследований с использованием компьютерных
технологий
Умеет: применять
общие
принципы
и
простейшие
утверждения
математической
логики
для исследований с использованием компьютерных
технологий
Умеет: сформулировать
результат, доказывать
основные утверждения математической
логики, получать следствия
из них
Владеет: методами доказательств стандартных
утверждений
Знает: методику применения
простейших
утверждения
математической
логики
для исследований с использованием компьютерных
технологий
Умеет: сформулировать
утверждения
математической
логики
для исследований с использованием компьютерных
технологий
Умеет: сформулировать
результат, доказывать
утверждения
математической логики,
получать следствия из них
Владеет: методами доказательств утверждений
Знает:
конкретные методы применения
простейшие
утверждения
математической
логики
для исследований с использованием компьютерных
технологий
Умеет: сформулировать
результат, доказывать
утверждения
математической логики,
получать
запланированные результаты с использованием
компьютерных
технологий
Лекции,
практические занятия
Контрольные работы,
коллоквиумы, домашние задания.
14
Владеет: способностью выявлять
естественнонаучную сущность
проблем в профессиональной
деятельности
методами доказательств простейших
утверждений
Владеет: методами выявления и доказательств стандартных
утверждений в
естественнонаучной деятельности
сущность проблем
в профессиональной деятельности методами доказательств
простейших
утверждений
Владеет: глубокими знаниями
методов
формализации
, анализа и выработки решения проблем,
возникающих
в ходе профессиональной
естественнонаучной деятельности с использованием
компьютерных
технологий.
15
Владеет:
способностью логически верно, аргументирова
нно и ясно
строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессиональ
ного назначения, публично представлять
собственные и известные
научные
результаты,
вести дискуссии Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова нно и ясно строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессионал
ьного
назначения,
публично
представлять собственные и
известные
научные
результаты,
вести дискуссии на
начальном
уровне Вла-
Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессиональ ного
назначения,
публично
представлять
собственные и
известные
научные результаты, вести дискуссии
Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессионал ьного
назначения,
публично
представлять
собственные и
известные
научные результаты, вести дискуссии
на начальном
уровне Владеет: способностью логически верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессиональ ного
назначения,
публично
представлять
собственные
и известные
научные результаты, вести дискуссии Владеет:
способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессионал ьного
назначения,
публично
представлять
собственные
и известные
научные результаты, вести дискуссии на
начальном
уровне Владеет: способностью логически верно,
аргументирова нно и ясно
строить устную и письменную речь
Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессиональ ного
назначения,
публично
представлять
собственные
и известные
научные результаты, вести дискуссии Владеет:
способностью
логически
верно, аргументирова
нно и ясно
строить устную и письменную речь
на русском
языке, готовить и редактировать тексты профессионал ьного
назначения,
публично
представлять
собственные
и известные
научные результаты, вести дискуссии на
начальном
уровне Владеет: способностью логически верно,
аргументирова нно и ясно
строить устную и письменную речь
Владеет:
способностью логически верно, аргументирова
нно и ясно
строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессиональ
ного назначения, публично представлять
собственные и известные
научные
результаты,
вести дискуссии Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова нно и ясно строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессионал
ьного
назначения,
публично
представлять собственные и
известные
научные
результаты,
вести дискуссии на
начальном
уровне Вла-
Владеет:
способностью логически верно, аргументирова
нно и ясно
строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессиональ
ного назначения, публично представлять
собственные и известные
научные
результаты,
вести дискуссии Владеет: способностью
логически
верно, аргументирова нно и ясно строить
устную и
письменную речь на
русском
языке, готовить и редактировать
тексты профессионал
ьного
назначения,
публично
представлять собственные и
известные
научные
результаты,
16
вести дискуссии на
начальном
уровне Вла-
Владеет: способностью
выявлять
естественнона
учную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональ ной деятельности, и
применять
соответствую
щий физико
математически й аппарат
для их формализации,
анализа и выработки решения Владеет: некоторыми знаниями физико
математическо го аппарата для формализации ,
анализа и выработки решения проблем, возникающих в ходе профессионал ьной деятельности
Владеет: основными знаниями физико
математическо го аппарата для
формализации, анализа и выработки решения проблем, возникающих в
ходе профессиональ
ной деятельности
Владеет:
глубокими
знаниями
физико
математическо го аппарата для
формализации, анализа и выработки решения проблем, возникающих в
ходе профессиональ
ной деятельности
Работа с литературой
на кафедре,
работа на
предприятии Определяются
научными
руководи
17
Владеет: способностью
применять
современные
методы исследования с
использование м компьютерных технологий Владеет: некоторыми навыками применения современных методов исследования с использование м
компьютерных технологий Владеет:
основными
навыками
применения
современных
методов исследования с
использование м компьютерных технологий Владеет: продвинутыми навыками применения современных методов исследования с использование м
компьютерны
Владеет: способностью
применять
современные
методы исследования с
использование м компьютерных технологий Владеет: некоторыми навыками применения современных методов исследования с использование
м компьютерных технологий Владеет: основными навыками применения современных методов исследования с использование
м компьютерных технологий Владеет: продвинутыми
навыками
применения
современных
методов исследования с
использование м компьютерны
Владеет: способностью
применять
современные
методы исследования с
использование м компьютерных технологий Владеет: некоторыми навыками применения современных методов исследования с использование
м компьютерных технологий Владеет: основными навыками применения современных методов исследования с использование
м компьютерных технологий Владеет: продвинутыми
навыками
применения
современных
методов исследования с
использование м компьютерны
Владеет:
способностью применять современные
методы исследования
с использование м
компьютерных технологий Владеет: некоторыми
навыками
применения
современных методов исследования с
использование м компьютерных
технологий
Владеет:
основными
навыками
применения
современных методов исследования с
использование м компьютерных
технологий
Владеет:
продвинутыми навыками применения современных
методов исследования
с использование м
компьютерны
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
18
Темы контрольных работ и варианты контрольных работ:
Контрольная работа №1.
1. Составьте таблицу истинности булевой функции, реализованную данной формулой. Составьте по таблице истинности СДНФ и СКНФ:
2. Проверьте, будут ли эквивалентны формулы, применяя следующие способы:
a) составлением таблиц истинности;
b) приведением формул к СДНФ или СКНФ с помощью эквивалентных преобразований.
и
3. С помощью эквивалентных преобразований приведите формулу к ДНФ, КНФ,
СДНФ, СКНФ. Постройте полином Жегалкина.
4. Найдите сокращенную, все тупиковые и минимальные ДНФ булевой функции,
следующими способами:
a) методом Квайна;
b) с помощью карт Карно.
f(0, 1, 0)= f(1, 0, 0)= f(1, 0, 1)=0.
Выяснить, каким классам Поста принадлежит данная функция.
Контрольная работа №2.
Доказать секвенции:
1.
˥ (X→Y) ├ X,
2.
X, Y ├ ˥ (X→˥ Y),
3.
˥ X→Y├˥ Y→X,.
4.
X→Z, Y→Z ├ (˥ X→Y)→Z,
5.
X→Y, X→˥ Y├ X→Z.
Контрольная работа №3.
1. Предикатный символ D(x,y) интерпретируется на множестве натуральных чисел N
как «x делитель y», + интерпретируется стандартно. Записать формулами языка I-го порядка в сигнатуре {+, D} условия «x=0» и «x=2».
2. Привести к предваренному виду формулу
(x)((z)(z<x→P(z))→P(x))→(x)P(x).
Будет ли эта формула истинной на множестве натуральных чисел, когда < интерпретируется стандартно, а P(x) означает произвольное свойство натуральных чисел?
3. Проверить, что ПВ4 сохраняет тождественную истинность секвенций.
4. Показать, что (x)A(x)v(x)B(x)≡(x)(A(x)v(x)B(x)) не является тождеством.
Контрольная работа №4.
1. Построить стандартную машину Тьюринга, вычисляющую функцию x+y.
2. Пусть A={a0, a1,…,an} внешний алфавит машины Тьюринга. Построить машину
Тьюринга, которая меняет слово, записанное на ленте, на слово, состоящее из букв исходного, но записанных в обратном порядке.
19
Темы рефератов:
Нейронные сети.
Вероятностные вычисления.
Квантовые вычисления.
Биомолекулярные вычисления.
Вычисления над кольцом целых чисел.
Вычисления над кольцом действительных чисел.
Вычисления над кольцом комплексных чисел.
Структурная сложность.
Коммуникационная сложность.
Дескриптивная сложность.
Алгебраическая сложность.
Вопросы к экзамену (коллоквиуму):
1. Булевы функции, КНФ и ДНФ, контактно-релейные схемы.
2. Теорема Поста о предполных классах.
3. Аксиоматика ИВ, вспомогательные леммы и теорема о полноте ИВ.
4. Формулы ЛП, их истинность в системах данной сигнатуры.
5. Предложения о конгруэнтных формулах и предваренной форме.
6. Основные эквивалентности.
7. Фильтры и ультрафильтры, две теоремы о них.
8. Теорема об ультрапроизведениях и компактности.
9. Предложения о нестандартной модели арифметики и бесконечных моделях.
10. ИП. Теорема о существовании модели.
11. Теоремы о полноте ИП и независимости аксиом.
12. ЧРФ и машины Тьюринга.
13. Рекурсивно перечислимые множества. Теорема Поста. Построение простого множества.
14. Неразрешимые проблемы. Элементарная теория арифметики. Тождественно истинные формулы ИП.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний,
умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы
формирования компетенций.
Текущая аттестация:
Контрольные работы; В каждом семестре проводятся контрольные работы (на семинарах).
Коллоквиумы;
Промежуточная аттестация:
Экзамен (письменно-устная форма). Экзамены оцениваются по системе: неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично.
Текущий и промежуточный контроль освоения и усвоения материала дисциплины
осуществляется в рамках рейтинговой (100-балльной) и традиционной (4-балльной) систем оценок.
Экзаменационная оценка студента в рамках рейтинговой системы оценок является
интегрированной оценкой выполнения студентом заданий во время практических занятий,
индивидуальных домашних заданий, контрольной работы и сдачи коллоквиумов. Эта
оценка характеризует уровень сформированности практических умений и навыков, при20
обретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие умения и навыки,
а также критерии их оценивания приведены в таблице 7.
Экзаменационная оценка студента в рамках традиционной системы оценок выставляется на основе ответа студента на теоретические вопросы, перечень которых представлен в п. 10.3, а также решения задач, примерный уровень которых сооответвует уровню
задач, приведенных в п.10.3 (контрольные работы). Эта оценка характеризует уровень
знаний, приобретенных студентом в ходе изучения дисциплины. Соответствующие знания
и критерии их оценивания приведены в таблице 7.
11. Образовательные технологии.
При организации самостоятельной работы применяются технологии проблемного обучения, проблемно-исследовательского обучения (в частности, при самостоятельном изучении теоретического материала), дифференцированного обучения, репродуктивного обучения, проектная технология, а также современные информационные технологии обучения.
В процессе проведения аудиторных занятий используются следующие активные и интерактивные методы и формы обучения: проблемное практическое занятие, работа в малых группах, дискуссия, самостоятельная работа с учебными материалами, представленными в электронной форме, защита проектов.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
(модуля).
12.1 Основная литература:
1. Дегтев А.Н. Алгебра и логика: Учебное пособие. Тюмень:3-е издание Издательство
Тюменского государственного университета, . 2008. - 88 с.
2. Игошин В.И. Математическая логика и теории алгоритмов- 2-е изданиеМ.Академия, 2008.- 448 с.
12.2 Дополнительная литература:
1. Аматова Г.М. Математика: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по спец. "Педагогика и методика нач. образования" : в 2 кн. - Москва: Академия. - (Высшее профессиональное образование. Педагогические специальности). - Кн. 1. - 2008. - 256 с.
2. Дегтев А. Н. Алгебра. Математическая логика и теория алгоритмов: учеб.-метод.
комплекс : сб. индивид. контр. заданий для студ. спец. "Математика", Тюм. гос. унт. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. - 38 с.
3. Дегтев А. Н. Избранные результаты по теории алгоритмов: моногр.; Тюм. гос. ун-т.
- Тюмень: Изд-во ТюмГУЧ. 1. - 2008. - 184 с.
21
4. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: учеб. пособие. - 4-е изд.,
стер. СПб: Лань, 2005. - 336 с.
5. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов- 3-е издание- М.Академия,2007.-304 с.
6. Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике
и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2006-256 с.
7. Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. Вводный курс математической логики. М.: Физматлит, 2007,128 с.
8. . Шипачев, В. С. Задачник по высшей математике: учебное пособие для студентов
вузов. - 9-е изд., стер.. - Москва: Высшая школа, 2009. - 304 с.
12.3 Интернет-ресурсы:
1. Балюкевич, Э.Л. Математическая логика и теория алгоритмов : учебнопрактическое пособие / Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалева. - М. : Евразийский открытый институт, 2009. - 189 с. - ISBN 978-5-374-00220-1 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93166(05.11.2014).
2. Зарипова, Э.Р. Лекции по дискретной математике. Математическая логика : учебное пособие / Э.Р. Зарипова, М.Г. Кокотчикова, Л.А. Севастьянов. - М. : Российский университет дружбы народов, 2014. - 118 с. - ISBN 978-5-209-05455-9 ; То же [Электронный ресурс]. -URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=226799 (05.11.2014).
3. Судоплатов, С.В. Математическая логика и теория алгоритмов : учебник /
С.В. Судоплатов, Е.В. Овчинникова. - 3-е изд. - Новосибирск : НГТУ, 2012. - 254 с. (Учебники НГТУ). - ISBN 978-5-7782-1838-3 ; То же [Электронный ресурс]. URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=135676 (05.11.2014).
4. Триумфгородских, М.В. Дискретная математика и математическая логика для информатиков, экономистов и менеджеров : учебное пособие / М.В. Триумфгородских ; под
ред. О.А. Голубев. - М. : Диалог-МИФИ, 2011. - 180 с. - ISBN 978-5-86404-238-0 ; То
же [Электронный ресурс]. URL:http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=136106 (05.11.2014).
13. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю),
включая перечень программного обеспечения и информационных
справочных систем (при необходимости).
1.
2.
3.
4.
Microsoft Word.
Microsoft Excel.
Microsoft PowerPoint.
http://www.wolframalpha.com/
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение
дисциплины (модуля).
22
Учебные аудитории для проведения лекционных и практических занятий, в частности,
оснащенные интерактивной доской и/или проектором.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля).
Ниже следует краткое изложение материала, которое позволит учащимся
систематизировать знания, полученные на лекциях, восполнить возможные «пробелы» в
изучении предмета, а так же приведены примеры решений некоторых типовых задач для
подготовки к контрольным работам.
Конспекты лекций по математической логике.
1. Теория алгоритмов
1.1 Различные подходы к определению алгоритма:
10. Неформальное понятие алгоритма (последовательность инструкций для выполнения действия).
20. Машина с неограниченными регистрами (МНР).
30 Машина Тьюринга – Поста (МТ-П).
40 Нормальные алгоритмы Маркова (НАМ).
1.1.1 Машина с неограниченными регистрами (МНР).
Имеется некое устройство, в котором счетное
число ячеек памяти (регистров), в которых
хранятся целые числа.
Допустимые команды:
Z(n) - обнуление регистра Rn.
S(n) - увеличение числа в регистре Rn на 1.
T(m,n) - копирует содержимое Rm в регистор Rn.
I(p,q,n) - если содержимое Rp = Rq то выполняется команда с номером n , если нет
следующая.
Программа для МНР должна быть последовательностью команд Z, S, T, I с определенным порядком, выполняемые последовательно.
Тезис Черча (Churcha): Первое и второе определение алгоритма эквивалентны между собой. Любой неформальный алгоритм может быть представлен в программе для МНР.
1.1.2 Машина Тьюринга - Поста.
Имеется устройство просматривающее бесконечную ленту, где есть ячейки содержащие элементы алфавита:
A  a0 , a1 , a3 ,..., an  , где  - пустой символ (пустое слово), который может принадлежать и не принадлежать А.
Также существует управляющая головка (устройство) (УУ)/(УГ), которая в начальный
момент расположена в определенном месте, в состоянии g 0 . Также существуют внутренние состояния машины: Q  g 0 , g1 ,..., g n 
Слово в данном алфавите - любая конечная упорядоченная последовательность букв
данного алфавита, притом длина слова это количество букв в нем (у пустого слова длина 0).
Допустимые команды:
23
 R (вправо)


1) ai g j  ai1 g j1  ,где    L (влево)  .
 (ничего)


2) ai g j  stop (остановка программы).
Последовательность команд называется
программой, если в этой последовательности не встречается команд с одинаковыми левыми частями. Машина останавливается если она не находит команды с
левой частью подобной текущей.
1.1.3 Нормальные алгоритмы Маркова.
Тип машины перерабатывающий слова, в которой существует некий алфавит
A  a0 , a1 , a3 ,..., an , для которого W - множество всех слов.
Допустимые команды: (Для машин этого типа важна последовательность команд.)
Пример: A  а, б, о U  баобаб
u i & u i1  W


Программа: ба  аб
u i   i u i1 где 
 (остановка )



i
U (баобаб )  U (абобаб )  U (абоабб ).

  (ничего)

1.1.4 Реализация функции натурального переменного. N  0,1,2,...
f : N  N но мы допускаем не всюду определенную функцию.
прогр.
N ? ??????…
 f прогр 
МНР
f : то это означает, что n 0 … … …
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
прогр.
1 1 … 1 1
1 1 … 1 1
 n  f прогр  N 
МТ  П
f :
релиз.
притом f (n)  N , если f не определена, то и программа не должна ничего выдавать.
...
11 ,например 0  1; 3  1111 .)
( A  ,1 , а числа представляются в виде n  11

n 1 раз
1.2 Эквивалентность трех подходов к понятию алгоритм.
1.2.1 Теорема об эквивалентности понятия вычислимой функции.
f : N  N вычислима: ( 0  N )
1) Если существует программа МНР, которая вычисляет эту функцию.
2) Если существует программа МТ-П, которая вычисляет эту функцию.
3) Если существует программа НАМ, которая вычисляет эту функцию.
Использование НАМ: f  2n
A  ,1, ,  
 1  1
  1  11
4
1
2
2
1111 

1111 

1111 

11111 



2
2
3


111111 

1111111 

1111111
   1  
   
Теор.: Классы функций вычислимых на МТ-П, с помощью НАМ и с помощью МНР
совпадают.
Пусть  f (n) которая вычисляется на МТ-П, вычислим её на
НАМ.
МТ-П:
AT  ,1,...

и PМТ  П
Q  q0 , q1 ,..., qn 
24
НАМ: AM  AT  q0 , q1 ,..., qn 
Команда МТП: ai q j  ai1 q j1  преобразуется по правилам:
   a v q j ai  a v q j ai 
1
1

  L av q j ai  q j av ai  av пробегает все a  AT
1
1

  R av q j ai  av ai q j 
1
1
   q0
Команда МТП: ai q j  stop

a v q j ai  a v ai  a  AT
2. Булевы функции.
2.1 Основные определения
2.1.1 Декартово произведение
def .
A  B  (a, b), a  B, b  B - мн-во всевозможных упорядоченных пар элементов из А и
В.
Пример: A  0,1,2 B  1,3 A  B  B  A
A  B  (0,1), (0,3), (1,1), (1,3), (2,1), (2,3) A  n
B  m A B  C
C  mn
A2  A  A;  2      (ri , r j ); ri , r j  
def
2.1.2 Декартова степень произвольного множества.
Опр: An  (a1 , a2 ,..., an ); a j  A - множество всевозможных упорядоченных наборов


длины n , элементов множества А.
An  A
n
2.1.3 Определение булевой функции от n переменных.
Любое отображение  : E n  E - называется булевой функцией от n переменных, притом множество E  1 (истина),0 ( ложь)
0  E
( x1 , x 2 ,..., x n )  E n  (( x1 , x2 ,..., xn ))  
1  E
2.1.4 Примеры булевой функции.
x y рез: 1) x V y  логическая сумма (дизъюнкция).
0 0 0
2) x  y  xy  xy  x & y  логическое умножение (конъюнкx y рез:
0 1 1
ция).
0 0 0
1 0 1
0 1 0
1 1 1
x y рез: 3) x  y  сложение по модулю два.
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
x
0
0
1
1
y рез:
0 1
1 1
0 0
1 1
4) x  y  логическое следствие (импликация).
x рез: 5) x  x  отрицание.
0
1
1
0
2.1.5 Основные булевы тождества.
1) ( x1 V x2 ) V x3  x1 V( x2 V x3 ) (ассоциативность)
2) x1 V x2  x2 V x1 (коммутативность)
25
3) x1 V 0  0 V x1  x1 (свойство нуля)
4) 1V x1  x1 V1  1 (закон поглощения для 1)
5) ( x1 x2 ) x3  x1 ( x2 x3 ) (ассоциативность)
x1 x2  x2 x1 (коммутативность)
x1 0  0 x1  0 (свойство нуля по умножению)
x11  1x1  x1 (свойство нейтральности 1 по умножению)
x1 ( x2 V x3 )  x1 x2 V x1 x3 (дистрибутивность)
x1 V x2 x3  ( x1 V x3 )( x1 V x2 ) (дистрибутивность 2)
11) x1 V x1 x2  x1 (закон поглощения)
6)
7)
8)
9)
10)
12) x1 V x 2  x1 x 2 ( Законы
13)
14)
15)
16)
x1 x 2  x1 V x 2 де Моргана)
(x1 )  x1 (закон снятия двойного отрицания)
x1 V x1  1 (tertium non datur – третьего не дано)
( x1  x2 )  x3  x1  ( x2  x3 ) (ассоциативность)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
x1  x2  x2  x1
x1  0  0  x1  x1
x1  1  1  x1  x1
x1  x1  0
x1 V x1  x1 (Свойства
идемпотентности)
x1 x1  x1
2.2 Дизъюнктивные нормальные формы.
2.2.1 Основные определения.
A  x1 , x2 ,..., xn  - конечный алфавит из переменных.
Рассмотрим слово: xi11 xi22 ...xiSS
1  i1  i2 ...  is  n
Экспоненциальные обозначения: xi0  xi
xi1  xi
0
1
i  
x10 x31 x 40  x1 x3 x 4 - элемент конъюнкции.
S – длина элемента конъюнкции.
ДНФ – дизъюнкция нескольких различных элементарных конъюнкций.
def
k
f ( x1 , x 2 ,..., x n )  u1 V u 2 V ... V u k  ДНФ дл( ДНФ )   дл(u i )
i 1
Любая булева функция может быть представлена как ДНФ
2.2.2 Теорема о совершенной ДНФ.
Любая булева функция f ( x1 , x2 ,..., xn ) тождественно не равная 0 может быть разложена
в ДНФ следующего вида:
(1) f ( x1 , x2 ,..., xn ) 
 x11 x2 2 ...xn n
f (1 , 2 ,...,  n )
Опр: Носитель булевой функции f ( x1 , x2 ,..., xn )  1
def


T f  ( x1 , x2 ,..., xn )  E n ; f ( x1 , x2 ,..., xn )  1 .
26
Лемма: f ( x1 , x 2 ,..., x n )  q ( x1 , x 2 ,..., x n )  T f  Tq
1)  это элементарно f  q  T f  Tq
2)  T f  Tq возьмем набор ( x1* , x 2* ,..., x n* )
а)
б)
f ( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  ( x1* , x 2* ,..., x n* )  T f  Tq 
 q( x1* , x 2* ,..., x n* )  1  f  q на наборе ( x1* , x 2* ,..., x n* )
f ( x1* , x2* ,..., x n* )  0  ( x1* , x 2* ,..., x n* )  T f  Tq  если бы она  Tq , то ссыл на (а) 
 ( x1* , x2* ,..., xn* )  Tq  q( x1* , x 2* ,..., x n* )  0  f  q на наборе ( x1* , x2* ,..., x n* )
def
Доказательство: (1)  q , будем доказывать, что Tq  T f .
1) Докажем, что T f  Tq . Возьмем ( x1* , x2* ,..., xn* )  T f  f (...)  1  он попадает в число суммируемых наборов и по нему будет проводиться сумирование.
*
*
*
q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1x1 , x2x2 ,..., xnxn V ... 
*
*
*
 q( x1* , x2* ,..., xn* )  ... V x1*x1 , x2*x2 ,..., xn*xn V ...  q  1

1
2) Докажем, что Tq  T f . Возьмем другой набор из Tq
(t1 , t 2 ,..., t n )  q(t1 , t 2 ,..., t n )  1   слог t11 t 2 2 ...t n n  1  t1   1 ,.... 
 t1t1 t 2t2 ...t ntn  1  f (t1 , t 2 ,..., t n )  1  T f  Tq
Следовательно Tq  T f & T f  Tq  Tq  T f
2.2.3 Некоторые другие виды ДНФ.
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется минимальной ДНФ, если она имеет S  min( si ...s n ) наименьшую возможную длину из всех ДНФ данной функции.
Опр: u1Vu2V ....Vu s - называется тупиковой ДНФ, если из неё нельзя выбросить ни одного слагаемого с сохранением булевой функции.
(Легко понять, что любая минимальная ДНФ является тупиковой, а обратное не верно.)
Опр: К-мерной гранью называется такое подмножество E n , которая является носителем некоторой элементарной конъюнкции длины: n-k.
Опр: Предположим дана функция f ( E n ) и есть T f  T . Грань называется отмеченной,
если она целиком содержится в носителе Т.
Опр: Максимальная грань – это такая грань, которая не содержится ни в какой грани
более высокой размерности.
Предложение: Любую отмеченную грань можно вложить в максимальную грань.
Предложение: T f V q  T f  Tq
f  u1 V u 2 V ... V u n  T f  Tu1  Tu2  ...  Tun
(Носитель любой функции можно разложить в объединение нескольких граней разной
размерностей)
27
Предложение: Носитель любой функции разлагается в объединение всех своих максимальных граней. T f  Q1  Q2  ...  Qt
Опр: Элементарная конъюнкция называется минимальной, если её носитель является
максимальной гранью. Следовательно всякая булева функция разлагается в дизъюнкцию всех своих элементарных конъюнкций.
Опр: Сокращенная ДНФ – разложение данной булевой функции в соответствующие
ДНФ, которые соответствуют объединению её максимальных граней.
Теор: Минимальная ДНФ может быть получена из сокращенной отбрасыванием некоторого количества слагаемых, возможно пустого.
3 Логические Исчисления.
3.1 Исчисления высказывания (ИВ).
3.1.1 Определения.
ИВ  L ( язык ИВ), Ax (аксиомы ИВ), Re g (правила вывода ИВ)
L  A (алфовит), V (слова), F (формулы)
сим волы

 спец




  

A   A, B, C ,..., Z , A1 , B1 , C1 ,..., Z1 ,...., An , Bn , C n ,..., Z n    V,&,

,
(,
 ) 




сим волы перем енных

 
 логич связи скобки 

Опр: V – словом в алфавите А, называется любая конечная упорядоченная последовательность его букв.
Опр: Формативная последовательность слов – конечная последовательность слов и
высказываний u1 , u 2 ,..., u n , если они имеют формат вида:
vi  символ переменной

 v  (u V u ), где u  подслова i, j  k
i
j
i, j
 i
v k   vi  (u i & u j ), где u i , j  подслова i, j  k
 v  (u ), где u  подслова i, j  k
i
i, j
 i
vi  (u i  u j ), где u i , j  подслова i, j  k
Опр: F – формулой ИВ, называется любое слово, входящее в какую-нибудь формативную последовательность.
Пример: ((( A1999  A)))  F
u1  A1999
u 4  (( A1999  A))
u2  A
u  ((( A1999  A)))
u 3  ( A1999  A) 5
Опр: Аксиомы – специально выделенное подмножество формул. Ax  F
( A  ( B  A))
1)
(( A  ( B  C )  (( A  B)  ( A  C )))
2)
(( AB)  A)
3)
28
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
(( AB)  B)
(( A  B)  (( A  C )  ( A  ( BC ))))
( A  ( A V B ))
( B  ( A V B ))
(( A  C )  (( B  C )  (( A V B)  C )))
( A  ((A)))
(((A))  A)
(( A  B)  ((B)  (A)))
Reg – правила вывода ИВ (некоторые правила преобразования первого слова в другое).
a – символ переменной a  A
 - произвольное слово ИВ (формула)
( F  F если   А) действует так, что на место каждого
вхождения символа а , пишется слово  .
Пример: a  B;   AB  Sa ( A
B B AC )  ( A
AB AB AC )
Отображение Sa : V  V
Правило modus ponens: V 2  V
m. p( , (  x))  x
3.1.2 Формальный вывод.(простейшая модель доказательства теоремы)
Опр: Последовательность формул ИВ, называется формальным выводом, если каждая
формула этой последовательности имеет следующий вид:
  Ax (аксиома )

u k   Sa (u i ), i  k
m. p (u , u ), i, j  k
i
j

Опр: Выводимый формулой (теоремой) ИВ называется любая формула входящая в какой-нибудь формальный вывод.   - выводимая формула ИВ.
Пример:  ( A  A)
( A  ( B  A))
1)
( A  ( B  C ))  (( A  B)  ( A  C )))
2)
( A  ( B  A))  (( A  B)  ( A  A)))
3)
 Ax(1)
 Ax( 2)
 S AC (( 2))
 m.p((1), (3))
4)
5)
(( A  B)  ( A  A))
(( A  ( B  A))  ( A  A))
 S (BB A) ((4))
6)
( A  B)
 m.p((1), (5))
Правило одновременной подстановки.
Замечание: Если формула  выводима, то выводима и Sa ( )
Возьмем формативную последовательность вывода  u1 , u 2 ,..., u n и добавим в неё
u n1  Sa ( ) , получившаяся последовательность является формальным выводом.
(Если выводима   то если  (   ) , то выводима   )
an
Теор: Если выводимая формула  , то Sa11 ,,a22,...,
,..., n ( ) ( a1 , a 2 ,..., a n - различные символы
переменных) выводима
29
Выберем b1 , b2 ,..., bn - символы переменных которые различны между собой и не входят не в одну из формул  , 1 , 2 ,..., n , сделаем подстановку S ba11 ( ) и последовательно применим S bann ....S ba22 S ba11 ( ) и в новом слове делаем последовательную подста-


новку: Sbnn ....Sb22 Sb11 Sbann ....Sba22 Sba11 ( )  Sa11a22......ann ( ) , где u1 ,..., (u n   ), S ba11 ,..., Sbnn ,..... - является формальным выводом.
3.1.3 Формальный вывод из гипотез.
Опр: Формальным выводом из гипотез  1 , 2 ,..., n (формулы), называется такая последовательность слов u1 , u 2 ,..., u N , каждая из которых удовлетворяет условию:
  выводима ( u k )

u k     l , l  1,2,..., n.
 m. p (u , u ), i, j  k
i
j

 1 , 2 ,..., n   если формулу  можно включить в некоторый формальный вывод
из гипотез  1 , 2 ,..., n .
Лемма:  1 , 2 ,..., n   ;  1 , 2 ,..., n  (   ) : то тогда  1 , 2 ,..., n  
Напишем список:
W1 ...
W2 ...
u1


u N   WS  (   )
  m. p( , (   )) 
 m. p(u N , WS )
0 
Лемма: 1 , 2 ,..., n  (   );  1 , 2 ,..., n  (  (   ))   1 , 2 ,..., n  (   )
u1
S A,,B,,C ( Ax2)  (  (   ))  ...  A
W1
m. p (Ws , A)  ((   )  (   ))  B

Док: 
u N  (   ) WS  (  (   )) m. p (u N , B)  (   )
3.1.4 Теорема Дедукции.
Если из
 1 ,  2 ,...,  n   то, тогда
1)  





, где   2а)    i , i  n

 2б )   
u N   
n

 ( 1  ( 2  (... n 1  ( n   )...)
1) и 2а) ( A  ( B  A)) , где A   B   n (  ( n   )) по правилу m.p.
( n   ) , ч.т.д.
2б)    n , ( A  A) - уже выводили  ( n   n ) , ч.т.д.
 1 ,  2 ,...,  ( n   )
u1
Базис индукции: N=1  - формальный вывод из длинного списка  
    i (только что доказано), осуществим переход по индукции:
     i   m. p. u1 ,..., u i   ...u j  (   )...u N  
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   ) по индукции
30
1 ,  2 ,...,  n1  ( n  (   )) и по лемме 2
1 ,  2 ,...,  n1  ( n   )
Пример: ( A  ( B  C )), A, B,  C
1) ( A  ( B  C ))
2) A
по теореме дедукции
3) B
4) ( B  C )
 m. p (1,2)
5) C
 m. p (4,3)
( A  ( B  C )), B  ( A  B )
( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C ))
 (( A  ( B  C ))  ( B  ( A  C )))
3.2 Критерий выводимости в ИВ.
3.2.1 Формулировка теоремы.
     1 - тавтология
при любой интерпретации алфавита (символов переменных)
    ( )  1
3.2.2 Понятие интерпретации.
( A  ( B  A))  ( x1  ( x2  x3 ))




слово
булева функция
символ переменной  x1 , x2 ,..., xn  переменную поставим в соответствие.
A  x1 ( 11 ( x1 )) , где  32 ( x1 , x 2 , x3 )  x 2 - проекция на x 2 .
 : A   ni ( x1 ,..., x n )
u1   (u1 )
u2   (u2 )

un   (un )
def
Где:
символ переменной
  (u  u ), i, j  n
i
j

un    (ui V u j ), i, j  n
  (u ), i  n
i

  (ui & u j ), i, j  n
; u1 - только символ
переменных, т.к.
это заглавное слово
формативной последовательности вида:
 (u i  u j )   (u i )   (u j )
def
 (u i & u j )   (u i ) &  (u j )
def
;  (u i V u j )   (u i ) V  (u j )
def
;  (u i )   (u i )
3.2.3 Доказательство теоремы.
1 
 2 


 N 
 k  Ax,  ( k )  1, k  N
формальный

 Ax
 N  Sa ( i ),  ( i )  1   ( Sa ( i )  1)
вывод 

a
 k    S ( i ), i  k
  m. p.( i ,  j ), i, j  N
 m. p.( ,  ), i, j  k N
i
j

продолжение см. (1)
 i   ( i )  1
 j   ( j )  1
(1)
 j  ( i   N )
 ( N )( x1* ,..., x n* )  0
 ( i )( x1* ,..., x n* )  0  1
 ( i )( x1* ,..., x n* )  1 
пришли 31

 N   ( N ) 1

*
*
 ( i )( x1 ,..., x n )  0
 к противоречию
 ( i   N )  1,  ( i )  1
ч.т.д.
def
 ( i   N )   ( i )   ( N )  1   ( N )  1
?
3.3 Непротиворечивость ИВ.
3.3.1 Определение.
1) ИВ противоречиво, если формула А выводима в нем. A  алфавиту .
2)   F :  ( формула выводима в ИВ)  ИВ противоречиво.
3)   F ::  ,  ( )  ИВ противоречиво.
ИВ непротиворечиво, если оно не является противоречивым.
Теорема: ИВ является непротиворечивым исчислением по отношению к любому из
трех определений.
Док-во: (1) Если  A , то соответствующая ей булева функция будет тождественно
равна 1.
( A)  1  : A   i ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( x1 )  x1 при x1  0 f (0)  0  1  противоречие
(2) Если любая формула выводима, то выводима и А, что соответствует пункту 1.
(3) Пусть   и  ( ) ( )  ( x1 , x2 ,..., xn )  1 - булева функция
def
 (( ))   ( )   ( x1 , x 2 ,..., x n )  0, но  (( ))  1, т.к.  ( ) - противоречие.
3.4 Формальные исчисления.
Алфавит – конечное или счетное множество символов, возможно, разбитых на группы.
Алфавит должен быть упорядоченным множеством.
Слово – конечная упорядоченная последовательность символов алфавита, в т.ч. пустое
слово.
V – множество всех слов.
Вычислимая функция от нескольких натуральных переменных f ( x1 , x2 ,..., xn )
( f – может быть не всюду определенной )
f – называется вычислимой, если  такая машина Тьюринга, которая её вычисляет.
M  N - разрешимое множество, если характеристическая функция
def 1, x  M

- является вычислимой.
X M ( x)  
0, x  M
Множество M  N называется перечислимым, если  такая вычислимая функция
f ( x1 ) : f ( N )  M
М - разрешимо  М и N \M перечислимы.
М – перечислимо  М – область определения некоторой вычислимой функции.
Множество всех формул F – некоторое разрешимое подмножество V.
Т – счетное множество, если  его биективное отображение на V.
T  K 0 - обозначение счетного множества. ( K 0 - алеф-нуль)
11
N (выЕсли  и зафиксировано биективное и вычислимое отображение f : L 
чис.),
32
то L – ансамбль.
V – ансамбль (слова лексикографически упорядочены и занумерованы)
Определение: В произвольном формальном исчислении: Ax  F - множество всех аксиом – разрешимое подмножество множества всех формул.

  
;F2  F
Sa : F  F
a

S ( )
Правило вывода:
r ( 1 ,  2 ,...,  n )   , F n  F ,при n  N разрешимо. Для ИВ N=2.
Пример:
L : A  a j ; V ; F  V
Ax   (пустое слово) , Ax  1
Re g  r1 , r1 (u)  uaa
 

 



1 :  aa 2 :  3 : aaaa
aaaa





1 и 2 – формальные выводы.
3 – не является формальным выводом.
4 Предикаты и кванторы.
4.1 Определение предиката.
P  1055  1999
P( x)  x  1999 - высказывание, содержащее переменную.
x  N - предметная область предиката.
x1 , x2  N P( x1 )  1 P( x2 )  0 P : N  E  0,1
Пусть А – множество объектов произвольной природы (предметная область предиката).
n -местный предикат – произвольное отображение P : A n  E
P( x1 ,..., xn )  E, xi  A i


Множество истинности данного предиката P : T p  ( x1 ,..., xn )  An : P( x1 ,..., xn )  1
P  X A (x) - характеристическая
функция от x на множестве
А - совпадает
с предикатами
P( x) V Q( x, y)  R1 ( x, y)
P( x)Q( x, y)  R2
TPVQ  TP  TQ
TP &Q  TP  TQ
P  Q  R3
 ( P, Q)  R4 ( x, y)
4.2 Понятие квантора.
k – связанная переменная
n
n
a

a
 k  S n – свободная переменная
S 1
S 1
33
t

0
t
f ( x)dx   f ( s)ds t – свободная, x – связанная.
0
b
 F ( x, y)dx , a,b,y – свободные переменные, x – связанная.
a
P( x) " x  1999" ,
(x) P( x)  1
xN
(x) P( x)  0
Q(m, n) " m делит n", A  N \ 0
(m)Q(m, n)  R(n) (m)Q(m, n)  T (n)  1
(n)Q(m, n)  S (m) (n)Q(m, n)  T (m)  1
(x) R( y, z )  R( y, z )
(x) R( y, z )  R( y, z )
1, m  1
S ( m)  
0, m  1
4.3 Геометрическая интерпретация навешивания кванторов.
(y ) P( x, y )
x, y  R
x  T( y ) P  (y ) P( x, y )  1 
 (y )( x, y )  TP
T( x ) P ( x , y ) - ортогональная
проекция на ось x
(y ) P( x, y )
Пронесение отрицания через кванторы
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
(x) P( x, y )  (x) P( x, y )
def
Q( x, y )  P( x, y )
(x)Q( x, y )  (x)Q( x, y )
(x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))  (x)Q( x, y )  ((x) P( x, y ))
(y ) P( x, y )  (y ) P( x, y )
Геометрическое 'доказательство':
* : x0  T(y ) P  R \ T(y ) P A \ TP  TP ; x0 не обладает свойством, что прямая x  x0 целиком лежит в TP
( x0 , y 0 )  TP y 0  R; ( x0 , y 0 )  R 2 \ TP
( x0 , y 0 )  TP , y 0  R : ( x0 , y 0 )  TP
(y ) P ( x, y )  1
(y ) P( x, y )
x0  T( y ) P ч.т.д.
y  A,
y1 , y 2 ,....
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) V P( x, y 2 ) V ...
(y ) P( x, y )  P( x, y1 ) & P( x, y 2 ) & ...
34
(x)( P ( x, y ) V( y )Q ( x, y )) 


 (y )( P ( x, y ) V Q ( x, y )) 
 (x)( P ( x, y ) V( z )Q ( x, z )) 
 (x)(( z ) P( x, y ) V( z )Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P( x, y ) V Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P ( x, y ) V Q ( x, z )) 
 (x)(z )( P ( x, y ) V Q ( x, z ) ).

предикат от ( x , y , z ) зав от y
35