Лабораторная работа 5 Осциллятор с несинусоидальной внешней силой

Лабораторная работа 5
Осциллятор с несинусоидальной внешней силой
Выполнил: Вокин Андрей
Группа: 1539
Дата выполнения работы: 02.05.04
Дата представления отчета: 05.05.04
Цели работы:
• Изучить закономерности установившихся вынужденных колебаний линейного
механического осциллятора при несинусоидальном возбуждении (с периодической кусочнопостоянной зависимостью от времени).
• Познакомиться со спектральным разложением сложного воздействия (на примере
прямоугольных импульсов) и тем, как осциллятор осуществляет преобразование спектра
гармонических составляющих сложного входного сигнала.
• Получить представление о вынужденных колебаниях линейного осциллятора под действием
кусочно-постоянной силы как о чередующихся собственных колебаниях около сменяющих
друг друга смещенных положений равновесия.
• Изучить общие закономерности вынужденных колебаний под действием периодической, но
негармонической внешней силы.
• Изучить переходные процессы установления вынужденных колебаний при
несинусоидальном периодическом внешнем воздействии.
Теоретическое введение
1. Моделируемая физическая система
В данной работе рассматривается механический торсионный пружинный осциллятор.
Внешнее периодическое воздействие на осциллятор виде симметричных прямоугольных
импульсов можно реализовать, если через равные промежутки времени поворачивать шатун
то в одну то в другую сторону на один и тот же угол. Необходимо производить эти повороты
шатуна настолько быстро, чтобы за время поворота ротор не успел повернуться на скольконибудь заметный угол. Сменив угол шатуна, мы сменили положение равновесия маятника, а
это равносильно приложению в нему постоянного внешнего момента, значит можно считать,
что на маятник действует внешняя периодическая, но на гармоническая сила.
2. Дифференциальное уравнение колебаний осциллятора
Пусть повороты шатуна происходят через промежутки времени
протяжении интервала времени (0,
T
, так что на
2
T
) шатун отклонен на угол 0 вправо, а в течение
2
T
, T ) шатун смешен влево на тот же угол. Таким образом T - период колебаний.
2
Будем считать, что стрелка, прикрепленная к маховику, при ненапряженной пружине
ориентирована параллельно шатуну. Таким образом, пока шатун смещен вправо, на маховик
со стороны пружины действует момент упругой силы, равный:
J   D  0  (1)
D
Из (1) заменой  02 
получается уравнение:
L
2   02   020 (2)
времени (
Уравнение (2) описывает движение маятника, когда шатун повернут влево, если же он
повернут вправо, то его движение описывается аналогичным уравнением, отличающимся от
(2) только знаком. Поэтому:
T
 2
 0  0 , (0, )


2
(3)
 2   02  
T
2
   , ( , T )
 0 0 2
При наличии трения уравнение принимает вид:
T
 2
 0 0 , (0, )


2
(4)
 2  2   02  
  2 , ( T , T )
 0 0 2
3. Гармоники внешней силы и установившихся колебаний осциллятора
Для нахождения формы установившихся колебаний можно воспользоваться разложением
временной зависимости внешней силы в ряд Фурье, т. е. на представлении этой силы в виде
суперпозиции синусоидальных составляющих, называемых гармониками.
Т.к дифференциальное уравнения осциллятора линейно, то каждую из гармонических
составляющих можно рассмотреть отдельно и найти соответствующее данной гармонике
синусоидальное вынужденное колебание осциллятора. Результирующее вынужденное
колебание находится как наложение (как сумма) этих синусоидальных колебаний с разными
частотами.
Таким образом, каждой гармонике входного внешнего периодического воздействия на
осциллятор соответствует своя гармоническая составляющая той же частоты в выходных
установившихся колебаниях осциллятора. Но разные гармоники вносят совершенно разный
вклад в выходные колебания. В частности, может оказаться, что какая-либо n-я
гармоническая составляющая вынуждающей силы с относительно небольшой амплитудой
вызывает особенно сильные колебания осциллятора.
Разложив правую часть уравнения (4) в ряд Фурье получим:

4 0 02
(5)
 2  2   02  
k
k 1, 3, 5...
Периодическое частное решение (5) при установившихся колебаниях имеет следующий вид:

4 0
 02
 (t )  
sin  k t   k  (6)
k 1, 3, 5... k
( 02   k2 ) 2  4 2 k2
Где фазы  k определяются соотношением:
tan  k 
2 k
(7)
 k2   02
4. Вынужденные колебания осциллятора как собственные колебания
около чередующихся смещенных положений равновесия
Другой способ нахождения установившихся колебаний, основан на представлении
установившегося движения, как сменяющих друг друга затухающих собственных колебаний
осциллятора около чередующихся положений равновесия 0 и  0 . На протяжении первого
T
полуцикла от t  0 до t  положение равновесия находится в точке   0 . Движение в
2
данном случае описывается уравнением:
 (t )  0  Ae t cos1t    (8)
T
где 1  02   2 , на протяжении второго полуцикла от t  до t  T движение
2
происходит по закону:
T
 ( t  )
  T

2
 (t )   0  Ae
cos 1  t      (9)
2
 

A
Значения и  находим из начальных условий:
tan   
e
e
 T
 T
 sin  T 2  cos T 2 
 cos T 2  sin  T 2 
2
1
2
1
1
A
e
 T
1
1
2

1
20

cos 1 T    cos 
2
(10)
1
(11)
5. Переходные процессы при раскачке осциллятора ступенчатым
внешним моментом
Будем считать, что изначально ротор покоился в положении равновесия, то есть когда
шатун отклоняется вправо, ротор начинает движение, когда   0 и   0 . Поэтому уравнение
движения в данном случае описывает уравнение:
 (t )  0  0 e t cos 1t (12)
При слабом трении ротор почти достиг бы отклонения   20 , в этот момент шатун
отклоняется в противоположную сторону, и получается, что ротор отклонен от положения
равновесия на угол близкий к 30 . Далее ротор почти достигает отклонения   40 . Таким
образом, за период внешнего воздействия размах амплитуды ротора увеличивается на 40 ,
если этот период совпадает с периодом собственных колебаний или превышает его в четное
число раз. На практике же бесконечное увеличение амплитуды колебаний невозможно из-за
влияния трения.
6. Оценка размаха установившихся колебаний
Проведем оценку размаха колебаний в случае T  T0 . В этом случае замкнутая фазовая
траектория состоит из одного витка, пересекающего ось  в точках   m и  m . В случае
высокодобротного осциллятора колебания будут почти синусоидальными, потому что вклад
более высоких гармоник на выходе оказывается ничтожным.
Относительное изменение амплитуды из-за трения за половину периода затухающего

T0


 e , поэтому для верхнего полувитка левое и правое
колебания составляет q  e
крайние отклонения связаны соотношением:
( m  0 )q   m  0 (13)
Откуда для искомого размаха получаем:
1 q 4
 m  0
 Q0 (14)
1 q 
2
2Q
7. Установившиеся перевороты при частых поворотах шатуна
В данном случае маховик совершает лишь небольшие вынужденные колебания около
положения своего среднего положения. Эти колебания происходят в противофазе с
принудительными поворотами шатуна. График угловой скорости маховика в установившихся
колебаниях при частых перескоках шатуна состоит из отрезков почти прямых линий,
соответствующих равноускоренному вращению под действием постоянного момента силы
упругости деформированной пружины.
8. Превращение энергии
При возбуждении колебаний внешним моментом с прямоугольной зависимостью от времени
внешний источник не совершает никакой работы, пока шатун неподвижен в промежутках
между своими поворотами. Значит, обмен энергией между осциллятором и источником,
приводящим в движение шатун, может происходить только в моменты перескоков шатуна. В
течение времени, когда шатун неподвижен, осциллятор совершает затухающие собственные
колебания.
Каждому из положений равновесия маховика соответствует своя параболическая
потенциальная яма.
Выразим потенциальную энергию маховика как функцию от угла отклонения от среднего
положения:
1
2
U ( )  k   0  (15)
2
Мгновенный перескок шатуна приводит к вертикальному переходу изображающей точки. В
течение времени, пока шатун остается неподвижным, осциллятор совершает затухающие
колебания. То есть точка, изображающая потенциальную энергию из-за трения постепенно
опускается.
9. Электромагнитный аналог осциллятора
Колебания заряда конденсатора в последовательном резонансном LCR-контуре, на вход
которого подается переменное напряжение, имеющее форму прямоугольных импульсов,
описывается уравнением:
q  2q   02 q   02CV (t ) (16)
Где  0 - частота собственных колебаний заряда в контуре в отсутствии затухания.
Ответы на вопросы для самоконтроля
1. Для изучения вынужденных колебаний линейного осциллятора при несинусоидальном
периодическом внешнем воздействии рассматривается механический торсионный
пружинный осциллятор. Осциллятор характеризуется моментом инерции I маховика,
модулем кручения (жесткостью) D пружины и добротностью Q (при наличии вязкого
трения).
Математическая модель осциллятора, используемая в лабораторной работе, определяется
заданием добротности Q, характеризующей затухание собственных колебаний.
2. Второй конец пружины соединен с шатуном, который можно поворачивать вокруг оси,
общей с осью маховика. Поворот шатуна на некоторый угол смещает положение равновесия
маховика на такой же угол.
Параметры, характеризующие внешнее воздействие – это период принудительного
движения шатуна и величина угла, на который его отклоняют от среднего положения.
3. Для вывода дифференциального уравнения вынужденных крутильных колебаний
торсионного осциллятора можно воспользоваться динамическим законом вращения твердого
тела вокруг фиксированной оси:
I  D   (t )
Действующий на маховик момент силы упругости пружины пропорционален мгновенному
значению угла, на который она закручена относительно своего недеформированного
состояния, а этот угол равен разности между углом  , отклонения маховика и углом
отклонения возбуждающего шатуна. В данном случае этот угол зависит от времени по
D
кусочно-постоянному прямоугольному закону. Вводя обозначение  02 
и добавляя еще
L
момент силы вязкого трения, получаем следующее линейное дифференциальное уравнение:
 2   02   02 0
Знак «+» в правой части этого уравнения соответствует первой половине каждого периода
возбуждения, знак «−» – второй половине каждого периода.
4. Электромагнитным аналогом механического осциллятора, совершающего вынужденные
колебания при периодическом кусочно-постоянном воздействии, является колебательный
контур из последовательно соединенных катушки индуктивности, конденсатора и резистора,
на вход которого подается напряжение с прямоугольной зависимостью от времени. При этом
заряд конденсатора служит аналогом угла отклонения ротора из среднего положения, а
угловая скорость – аналогом силы тока в контуре. Индуктивность катушки можно
рассматривать как аналог момента инерции ротора, емкость конденсатора – как аналог
жесткости упругой пружины, а резистор (вместе с сопротивлением катушки и
соединительных проводов) – как аналог вязкой смазки в подшипниках ротора и
окружающего ротор воздуха, которыми обусловлено вязкое трение, тормозящее движение
ротора.
5. Целесообразно представлять эту зависимость в виде ряда Фурье, потому что реакция
именно на синусоидальные составляющие имеет резонансный характер. Критерием
резонансной реакции осциллятора служит только наличие соответствующей гармоники в
спектре возбуждающей силы, а отнюдь не простое совпадение периода внешней силы с
собственным периодом осциллятора, как это нередко утверждается.
6. Ряд Фурье для прямоугольной (кусочно-постоянной) периодической функции содержит
только нечетные гармоники (первую, третью, пятую и т.д.). Период первой гармоники
(основной, или фундаментальной гармоники) равен периоду T прямоугольной функции, а ее
2
частота  
. Частота гармоники порядка n в n раз выше частоты основной гармоники:
T
2n
 n  n 
. Амплитуды высших гармоник убывают с увеличением порядка гармоники
T
как 1/n.
7. Реакцию осциллятора на сложное периодическое воздействие можно находить как сумму
независимых реакций на отдельные гармонические составляющие потому, что
дифференциальное уравнение, описывающее колебания маятника, линейны.
8. Фома временной зависимости установившихся колебаний отличается от формы входного
воздействия из-за избирательности реакции осциллятора на синусоидальные внешние
воздействия разных частот.
9. Резонансная реакция осциллятора на прямоугольное кусочно-постоянное внешнее
воздействие наступает, когда его период T равен собственному периоду осциллятора T0 и
когда период T в нечетное число раз больше собственного периода или, что тоже самое,
необходимо, чтобы частота одной из гармоник внешнего воздействия совпала с собственной
частотой осциллятора.
10. Гармоники входного сигнала с частотами ниже собственной частоты осциллятора будут
на выходе иметь практически такие же относительные фазы как и на входе, но их
относительные амплитуды растут по мере приближения их частот к собственной частоте.
Гармоники частотами выше собственной частоты осциллятора входят в состав выходных
колебаний с инвертированными фазами (по сравнению с фазами на входе). Их относительные
амплитуды убывают по мере удаления от резонанса. Относительный вклад гармоники,
частота которой близка к собственной частоте, больше других возрастает с входа на выход, а

относительная фаза запаздывает на
по сравнению с фазой на входе.
2
11. Частным решением дифференциального уравнения установившихся колебаний можно
пользоваться при слабом и умеренном трении. Исключение составляет окрестность
резонанса, простирающаяся в обе стороны от резонансной частоты на расстояние порядка
постоянной затухания  .
12. Когда период возбуждения в несколько раз больше собственного периода осциллятора
график стационарных колебаний представляет собой соединенные отрезки затухающих
синусоид. Замкнутая фазовая траектория состоит из симметричных отрезков
двух сжимающихся спиралей, скручивающихся к смещенным из начала координат
положениям равновесия.
13. Когда период возбуждения в несколько раз меньше собственного периода осциллятора,
амплитуда установившихся колебаний ротора около среднего положения много меньше
размаха принудительных перескоков возбуждающего шатуна. Это значит, что на протяжении
полуцикла возбуждения натяжение пружины практически постоянно и сообщает ротору
постоянное угловое ускорение в направлении к шатуну. За это время, составляющее малую
долю собственного периода, угловая скорость ротора возрастает по линейному закону.
Соответствующий участок графика угловой скорости – прямая линия, а графика угла
отклонения – парабола. В течение следующей половины цикла возбуждения шатун повернут
в противоположную сторону на такой же угол. Поэтому угловое ускорение изменяет знак,
оставаясь практически таким же по модулю. Таким образом, соседний прямолинейный
участок графика угловой скорости наклонен в противоположную сторону на такой же угол.
Весь график угловой скорости представляет собой «пилу» с треугольными зубцами, а график
угла отклонения «сшит» из плавно сопрягающихся отрезков парабол, поочередно
обращенных выпуклостями в противоположные стороны.
Так как в течение половины периода возбуждения угловая скорость изменяется со
временем по линейному закону, а угол отклонения – квадратично, то соответствующая
половина фазовой траектории представляет собой параболу (с горизонтальной осью
симметрии). Вся замкнутая фазовая траектория образована двумя такими отрезками парабол,
обращенными своими выпуклостями наружу. За цикл возбуждения изображающая точка
один раз обходит эту кривую.
14. При T  2T0 , пока возбуждающий шатун находится в одном из смещенных положений,
ротор совершает ровно один полный цикл собственных колебаний. В установившихся
колебаниях каждый новый полупериод начинается, когда ротор находится в средней точке и
имеет нулевую угловую скорость. К моменту перескока шатуна он совершит полное
колебание около смещенного положения равновесия и вернется в исходное состояние. В
течение следующего полуцикла возбуждения ротор совершит полное колебание около
второго смещенного положения и опять вернется в исходное состояние. Этим объясняется
наблюдаемая форма графиков угла отклонения и угловой скорости. Фазовая траектория
«склеена» из двух витков, соответствующих собственным колебаниям около смещенных
положений равновесия.
Максимальное отклонение ротора от среднего положения примерно равно удвоенному
смещению положения равновесия, т.е. удвоенному размаху принудительного движения
шатуна (в точности равно при отсутствии трения).
15. Для определенности будем считать, что до включения внешнего воздействия ротор
осциллятора покоился в положении равновесия. Когда шатун скачком смещается в
отклоненное положение, осциллятор начинает совершать около него собственные колебания,
причем это движение начинается из среднего положения при нулевой начальной скорости.
Маховик проходит смещенное положение равновесия через четверть периода и достигает
своего крайнего отклонения вправо, равного почти удвоенному смещению шатуна, через
половину периода. Если период принудительного движения шатуна T равен T0 , то маховик
T
оказывается в крайнем положении с нулевой угловой скоростью как раз в тот момент t  ,
2
когда шатун скачком поворачивается в левое отклоненное положение, которое становится
T
новым положением равновесия маховика для следующего интервала времени ( , T). Таким
2
образом, следующий полуцикл его собственных колебаний опять начинается при нулевой
угловой скорости, но уже при отклонении вправо приблизительно на утроенный угол от
смещенного влево положения равновесия.
Таким образом, за каждый период внешнего воздействия размах колебаний осциллятора в
отсутствие трения увеличивается на одну и ту же величину (равную учетверенному
смещению шатуна), если этот период совпадает с периодом собственных колебаний или
превышает его в нечетное число раз. В реальной системе такой линейный во времени
неограниченный рост амплитуды невозможен из-за трения. Амплитуда растет
приблизительно линейно только в начале раскачки осциллятора из состояния покоя.
Резонансный рост постепенно замедляется и устанавливается стационарный
режим колебаний, когда увеличение амплитуды при каждом перескоке шатуна
компенсируется ее уменьшением из-за трения за половину периода.
16. При настройке в резонанс амплитуда колебаний на начальном этапе может убывать, если
на момент включения внешнего воздействия осциллятор уже совершает собственные
колебания, причем фаза этих колебаний такова, что энергия будет передаваться от
осциллятора к источнику возбуждения. Чтобы получить нужные для этого фазовые
соотношения, начальные условия должны быть заданы определенным образом. Так как в
моделирующей программе в начальный момент шатун совершает резкий поворот вправо, для
наиболее эффективной передачи энергии от осциллятора к источнику нужно задать
некоторое начальное отклонение ротора вправо при нулевой начальной скорости.
17. В общем случае переходный процесс установления вынужденных колебаний можно
рассматривать как суперпозицию установившихся колебаний и экспоненциально затухающих
колебаний на собственной частоте. Поэтому время затухания собственных колебаний τ = 1/ γ
можно принять за длительность переходного процесса. Для того чтобы установившиеся
колебания происходили сразу после включения внешнего воздействия (т.е. для того чтобы не
было переходного процесса), начальные условия нужно выбрать специальным образом:
начальное отклонение и начальная скорость должны иметь значения, которые получаются из
периодического частного решения, описывающего установившиеся колебания, при
подстановке в него t = 0.
18. При резонансной раскачке осциллятора (со слабым и умеренным трением) из состояния
покоя в положении равновесия амплитуда растет монотонно от нуля до максимального
значения, равного амплитуде установившихся колебаний. На начальном этапе амплитуда
растет почти по линейному закону. Постепенно рост замедляется, и амплитуда
асимптотически (экспоненциально) приближается снизу к значению, соответствующему
установившимся колебаниям.
Решение задач
1.3
1 q 4
 Q0 , вывод которой производится в пункте 6
1 q 
теоретического введения. Подставляя исходные данные получаем значение  m  190.99 , что
в принципе подтверждается экспериментом.
b) Рост амплитуды колебания происходит по закону:
1 q 4
 m  0
 Q0 ,
1 q 
a) Воспользуемся формулой  m  0

T0


 e . В этом случае замкнутая фазовая траектория состоит из одного витка,
где q  e
пересекающего ось  в точках   m и  m
2
2Q
с) Начальная амплитуда при нулевых начальных условиях равна a  0  0 e
откуда при заданных условиях a  19.006 .
T
2
 0  0 e

2Q
,
d) Подставляя в уравнение установившихся колебаний значение t  0 , имеем    0  A ;
  A cos  1 A sin  , подставляя данные задачи, имеем A  201.13 ;   0.016 ;

(0)  191.13 ;  (0)  0.062 .
4 0
e) Имеем (t )  
k 1, 3, 5... k
 02

( 02   k2 ) 2  4 2 k2
sin(  k t   k ) , поскольку    0 , а  мало, то
первое слагаемое суммы имеет гораздо больший вес, коэффициент при нем равен
тогда как уже при следующем
4 0 Q
3 64Q 2  9
4 0 Q

,
.
2.1 Условия отсутствия переходного процесса при T=2T0
a)Рассматривая общее решение уравнения установившихся колебаний, находим при   0
более простое выражение для A и  :
 2 0
sin( 1T / 2)
;    arctan
.
A
cos(1T / 2   )  cos
cos(1T / 2)  1
Для нашего случая имеем:   0 , откуда A  25 . Подставляя в уравнения для  и  данные
значения, имеем (0)  0 ;  (0)  0 . Форма фазовой траектории в виде двух соприкасающихся
окружностей вытекает из особенностей конкретно данных условий – за первую ½ периода
осциллятор успевает сделать 1 колебание и снова оказывается в исходной позиции. После
этого он совершает колебание около сместившейся точки равновесия. И т. д.
b)Именно из-за того, что перескок точки равновесия происходит в тот момент, когда
кинетическая энергия равна 0, а потенциальная после перескока оказывается той же, а в
процессе колебаний около положения равновесия трение отсутствует, полная энергия
сохранятся.