Теория кодирования - Факультет математики и ИТ МГУ им. Н.П

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Мордовский государственный университет
им. Н.П. Огарёва»
П Р И Н Я Т О
Учёным советом факультета математики
и информационных технологий
“27” сентября 2012 г.
Протокол №8
Рабочая программа дисциплины
“ТЕОРИЯ КОДИРОВАНИЯ”
основной образовательной программы
высшего профессионального образования
по направлению подготовки
010200.62 – Математика и компьютерные науки
(бакалавриат)
профили подготовки
Математический анализ и приложения
Математические методы в экономике и финансах
Трудоемкость дисциплины – 3 зачетные единицы (108 часов)
Саранск 2012
2
1. Цели освоения дисциплины.
Теория кодирования является практически важным разделом алгебры. Целью курса
является систематическое введение в данную область с более глубоким изложением важнейших направлений, имеющих или имевших когда-либо практические приложения.
2. Место дисциплины в структуре основной образовательной программы.
Дисциплина «Теория кодирования» относится к базовой части профессионального
цикла (вариативная часть) основной образовательной программы подготовки бакалавров по
направлению 010200.62 “Математика и компьютерные науки”.
Для усвоения обучающими студентами данной дисциплины требуются знания следующих дисциплин ООП: «Теория чисел», «Фундаментальная и компьютерная алгебра», «Дискретная математика», «Теория графов», «Стохастический анализ».
№
п/п
1
2
3
4
Наименование дисциплины
Требования к «входным» («выходным») знаниям, умениям и готовностям обучающегося
Обеспечиваемые дисциплины
Теория чисел
знание основной теоремы арифметики, функции Эйлера, теоремы Ферма и Эйлера, алгоритма Евклида, теории сравнений по модулю
Дискретная математика
знание булевых функций, многочлен Жегалкина
Фундаментальная и компью- знание основных алгебраических структур, теории литерная алгебра
нейных пространств и линейных операторов, теории
многочленов
Стохастический анализ
знание основ теории вероятности
3. Требования к результатам освоения дисциплины.
Процесс изучения дисциплины «Теория кодирования» направлен на формирование
следующих компетенций:
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Название компетенции
Общекультурные компетенции (ОК)
способность критически переосмысливать накопленный опыт, изменять
при необходимости профиль своей профессиональной деятельности
способность применять в научно-исследовательской и профессиональной
деятельности базовые знания в области фундаментальной и прикладной
математики и естественных наук
способность и постоянная готовность совершенствовать и углублять свои
знания, быстро адаптироваться к любым ситуациям
способность понимать сущность и значение информации в развитии современного общества, соблюдать основные требования информационной
безопасности, в том числе защиты государственных интересов и приоритетов
фундаментальная подготовка в области фундаментальной математики и
компьютерных наук, готовность к использованию полученных знаний в
профессиональной деятельности
способность к анализу и синтезу информации, полученной из любых источников
способность к письменной и устной коммуникации на русском языке
3
Индекс
ОК-5
ОК-6
ОК-8
ОК-9
ОК-11
ОК-14
ОК-15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Профессиональные компетенции (ПК)
Научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность
умение определять общие формы, закономерности, инструментальные
средства отдельной предметной области
умение понять поставленную задачу
умение формулировать результат
умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат
умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата
умение грамотно пользоваться языком предметной области
умение ориентироваться в постановках задач
понимание корректности постановок задач
ПК-1
ПК-2
ПК-3
ПК-5
ПК-6
ПК-7
ПК-8
ПК-10
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
1) знать основы современной теории кодов;
2) уметь находить расстояние, вес кодового слова; кодировать и декодировать линейный и циклический коды;
3) владеть математическими основами проблем передачи данных по каналам связи с
помехами.
4. Образовательные технологии
Реализация компетентностного подхода предусматривает использование в учебном
процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной
работой с целью формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.
Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, составляет не менее 30%
аудиторных занятий.
В учебном процессе при изучении дисциплины «Теория кодирования» используются
следующие формы проведения занятий:
– теоретические лекции с изложением основ теории кодирования информации, изучаемых в рамках дисциплины;
– практические занятия, позволяющие на упражнениях и задачах усвоить и закрепить изученный материал лекционного курса;
– индивидуальные и коллективные консультации с активным участием обучающихся по наиболее сложным частям теоретического материала дисциплины и по задачам повышенной сложности;
– самостоятельная работа по изучению новых кодов и их использования в новых
информационных технологиях, с целью получения более широкого представления и последующее обсуждение проделанной работы во время индивидуальных и коллективных консультаций.
4
5. Структура учебной дисциплины.
№
п/п
Раздел дисциплины
Семестр
Неделя
семестра
1
2
3
4
5
Введение в теорию кодирования
Линейные коды
Декодирование
Теорема Шеннона
Свитчинговые методы построения кодов
Каскадные методы построения кодов
Поля Галуа
Циклические коды
Коды
Боуза-Чоудхури-Хоквингема
(БЧХ)
Другие коды
8
8
8
1
1-2
2-3
3-4
4-5
6
7
8
9
10
8
Виды учебной работы,
включая самостоятельную работу
студентов, и трудоемкость (в часах)
Лекции Практ. Самост.
Всего
занятия работа
2
2
4
5
2
8
15
4
1
6
11
4
1
4
9
4
1
6
11
5-6
7
7-8
8-9
4
2
4
4
1
1
1
1
6
4
8
8
11
7
13
13
9-10
5
1
6
12
Формы текущего
контроля успеваемости (по
неделям семестра)
Формы
промежуточной
аттестации
Контрольная работа
Зачет
5
5.1. Содержание учебной дисциплины. Объем дисциплины и виды учебных занятий.
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
Распределение дисциплины по семестрам:
Вид учебной работы
Аудиторные занятия (всего)
в том числе:
Лекции
Практические занятия
Семинары
Лабораторные работы
Самостоятельная работа (всего)
Виды текущего контроля успеваемости
Контрольная работа
Виды промежуточной аттестации (зачет, экзамен)
Зачет
Общая трудоемкость в часах:
в зач. единицах:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
Всего
часов
50
Семестры
8
50
40
10
40
10
58
58
1
1
1
108
3
1
108
3
5.2. Содержание разделов учебной дисциплины.
Наименование разСодержание раздела
дела дисциплины
Введение в теорию Основные понятия и определения теории кодикодирования
рования. Двоичный симметричный канал связи.
Линейные коды
Линейные коды. Границы объемов кодов. Код
Хэмминга и его свойства. Способы построения
новых кодов.
Декодирование
Декодирование двоичных кодов. Декодирование линейного кода. Вероятность ошибки декодирования.
Теорема Шеннона
Необходимые понятия. Свойства энтропии.
Теорема Шеннона для кодирования в двоичном
симметричном канале связи с шумом.
Свитчинговые метоКоды Васильева. Конструкция Моллара. Обды построения ко- щая идея метода свитчинга. Некоторые свойдов
ства совершенных кодов.
Каскадные методы
Основная идея каскадного способа построепостроения кодов
ния. Коды Соловьевой, Романова, Хямяляйнена.
Каскадная конструкция Зиновьева, Фелпса,
обобщенная конструкция.
Поля Галуа
Основные понятия. Строение конечных полей. Примеры конечных полей. Число неприводимых многочленов.
6
Формы текущего контроля успеваемости
Контрольная
работа
8
Циклические коды
9
Коды БЧХ
10
Другие коды
Определение и свойства.порождающий многочлен. Кодирование циклических кодов. Проверочный многочлен. Декодирование циклических кодов. Минимальный многочлен и его
свойства. Число циклических кодов.
Нули кода. Циклическое представление кода
Хэмминга. Определитель Вандермонда. Граница БЧХ. Коды БЧХ. Двоичные коды БЧХ. Коды
Рида-Соломона. Коды Юстесена.
Матрица Адамара. Матрица Сильвестра.
Матрица Адамара по типу Пэйли. Коды Адамара. Коды Рида Миллера. Коды Препараты.
5.3. Разделы учебной дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами.
№
п/п
1
2
4
6
Наименование
обеспечиваемых
(последующих)
дисциплин
Теория чисел
Фундаментальная
и компьютерная
алгебра
Дискретная математика
Стохастический
анализ
Разделы данной дисциплины, необходимые для изучения
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5.4. Разделы учебной дисциплины и виды занятий.
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Наименование
раздела дисциплины
Введение в теорию кодирования
Линейные коды
Декодирование
Теорема Шеннона
Свитчинговые методы построения
кодов
Каскадные методы построения
кодов
Поля Галуа
Циклические коды
Коды БЧХ
Другие коды
Лекции
Практ.
занятия
2
5
4
4
4
2
1
1
1
Самост.
работа
2
8
6
4
6
Всего
часов
4
15
11
9
11
4
1
6
11
2
4
4
5
1
1
1
1
4
8
8
6
7
13
13
12
6. Лабораторный практикум.
Лабораторные работы по дисциплине «Теория кодирования» не предусмотрены.
7
7. Практические занятия (семинары).
№ Номер раздела
п/п дисциплины
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
Наименование практических занятий (семинаров)
Линейные коды
Декодирование
Теорема Шеннона
Свитчинговые методы построения кодов
Каскадные методы построения кодов
Поля Галуа
Циклические коды
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема (БЧХ)
Другие коды
Трудоемкость
(в часах)
2
1
1
1
1
1
1
1
1
8. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
8.1. Программа экзамена по дисциплине «Теория кодирования».
Основные понятия теории кодирования. Блочные коды, примеры. Основные параметры блочного кода. Расстояние Хемминга. Минимальное расстояние кода. Коды с обнаружением и исправлением ошибок, связь с минимальным расстоянием. Код Хемминга, кодирование и декодирование, параметры кода. Оценка Хемминга, совершенный код.
Линейные коды, их структура. Порождающая и проверочная матрица. Вес кодового
вектора, связь с минимальным расстоянием. Граница Синглтона, коды с максимальным минимальным расстоянием. Теорема о минимальном расстоянии и проверочной матрице линейного кода. Синдромы, синдромное декодирование. Групповая структура линейного кода,
оценки для минимального расстояния, полный и неполный декодер. Систематическое кодирование.
Повторим общую алгебру. Циклические коды, определение. Описание циклического
кода, как идеала кольца многочленов. Порождающий многочлен, определение и критерий.
Проверочный многочлен, критерий принадлежности многочлена коду. Несистематическое и
систематическое кодирование. Пример циклического кода, исправляющего две ошибки, кодирование и декодирование.
Свойства порождающего многочлена в примитивном случае: сопряженные корни и
вид неприводимого многочлена. Порождающая и проверочная матрица циклического кода.
Критерий принадлежности многочлена циклическому коду с использованием корней порождающего многочлена, матричная запись. Свойства порождающего многочлена в непримитивном случае.
Коды Боуза-Чоудхури-Хоквингема. Определение и примеры, конструктивное расстояние. Декодер Питерсона-Горенстейна-Циклера. Алгоритм декодирования, пример.
Код Рида-Соломона как частный случай кода БЧХ, его минимальное расстояние. Второе определение кода Рида-Соломона, кодирование и декодирование. Обоснование корректности декодера. Пример. Эквивалентность двух определений. Коды Юстесена.
9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.
а) Основная литература.
1. Мак-Вальямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с
англ. - М.: Связь, 1979. - 744 с.
2. Берлекэмп Е.Р. Алгебраическая теория кодирования: Пер. с англ. - М.: Мир, 477 с.
8
3. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ. - М.:
Мир, 1986. – 576 с.
4. Касами Т., Токура Н., Ивадари Е., Инагасаки Я. Теория кодирования: Пер. с яп. –
М.: Мир, 1978. – 576 с.
5. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. – М.: Наука, 1982. – 416
с.
6. Конвей Дж, Н., Слоэн Н. Дж. А. Упаковка шаров, решетки и группы: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. – Т. 1-2.
7. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки: Пер. с анг. – М.: Мир, 1976.
– 594 с.
8. Сидельников В.М. Теория кодирования. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. – 324 с.
9. Фано Р.М. Передача информации. Статистическая теория связи. – М.: Мир, 1965.
10. Шеннон К.Е. Работы по теории информации и кибернетики. – М.: Иностр. лит.,
1963.
11. Шоломов Л.А. Основы теории дискретных логических и вычислительных
устройств. – М.: Наука, 1980. – 399 с.
б) Дополнительная литература.
1. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Коды и математика (рассказы о кодировании). – М.:
Наука, 1983. – 144 с.
2. Гоппа В.Д. Введение в алгебраическую теорию информации. – М.: Наука: Физматлит, 1995.
3. Камерон П., Ван Линт Дж. Графы. Коды и схемы: Пер. с англ. – М.: Наука, 1980. –
140 с.
4. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. – М.: Наука, 1987. –
304 с.
5. Марков А.А. Введение в теорию кодирования. - М.: Наука: Физматлит, 1982.
10. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Материально-техническое обеспечение дисциплины «Теория кодирования» не требуется.
11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины.
При изучении данной дисциплины рекомендуется включить некоторые упражнения и
задачи, позволяющие отработать некоторые алгоритмы без использования компьютера, что
соответствует более полному усвоению студентами лекционного материала.
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки бакалавров 010200.62 “Математика и
компьютерные науки”.
Программа одобрена на заседании учебно-методической комиссии факультета математики и информационных технологий от “20” сентября 2012 г., протокол № 6.
9